文摘
我们学习不能伸展的流三维欧氏空间中的曲线。本文的主要目的是构造和绘图表面生成的运动不能扩展的曲线。同时,我们研究这些表面的几何特性。我们举些例子不能伸展的流动的曲线我们确定曲线的固有方程(曲率和挠率)。最后,我们决定和情节的表面所产生的运动曲线通过使用Mathematica 7。
1。介绍
曲线和曲面的演化有重要的应用在许多领域,如计算机视觉(1,2),电脑动画(3),和图像处理4]。的运动曲线和表面导致非线性演化方程,通常可积。之间的联系可积系统的微分几何曲线已经被广泛的研究。一些可积系统出现在某些几何图形如仿射不变曲线流动和centroaffine几何图形5- - - - - -7和相似性和射影几何图形8,9]。闵可夫斯基空间中曲线的运动研究了(10- - - - - -12]。桥本(13)表明,非线性薛定谔方程(NLS)可积的 相当于曲率的系统吗和的曲线: 通过所谓的桥本转换。系统(2)相当于涡旋线方程 在哪里是副法线向量的。
在[14],Schief和罗杰斯研究的副法线运动曲线常曲率或扭转。
这条线的研究已经扩展到三维空间曲线的运动形式。
最近,Abdel-All et al。15- - - - - -18)构建新的平面曲线运动的几何模型。同时,他们建造了一个桥本表面从其基本Gauss-Weingarten方程的系数通过数值积分和基本定理的表面。此外,他们研究了运动学的广义曲线维欧几里得空间的内在几何图形。默罕默德(19]研究不能扩展的曲线球的运动空间。
在本文中,我们将介绍曲线的流动。本文的概述如下。
节2研究了几何曲线。在部分3和4我们研究的运动曲线我们得到的时间演化Serret-Frenet框架和曲率的进化。节5研究了几何性质的表面生成的曲线族的运动。节6,我们给一些例子不能扩展的曲线的运动情节,我们的表面所产生的运动曲线。对于这些表面,研究了高斯和平均曲率。最后,部分7致力于的结论。
2。几何预赛
在考虑一个光滑的曲线维空间。假设沿着曲线的参数在吗。让表示一个点在曲线上的位置矢量。曲线上的度量 在哪里曲线的参数。沿着曲线的弧长等于 我们使用作为一个点的坐标曲线。
考虑正交坐标系,这样切向量和吗表示曲线上任何一点的法向量。
引理1。Frenet框架的曲线满足以下几点: 在哪里
引理2。考虑到曲线与一个任意的参数。然后Serret-Frenet框架满足 在哪里和给出了在(6)。
3所示。曲线演化
演化曲线可以被视为一个家庭的曲线参数化时间。这意味着每个曲线的家庭是一个映射为每个参数空间分配而每一次参数;有一个点。一个演化方程微分方程描述的进化可以指定时间的形式 在哪里速度沿框架吗。考虑当地的运动;也就是说,速度只取决于当地的曲率值。
4所示。主要结果
从[18),我们认为是曲线。流动的曲线 在哪里速度的方向吗,我们有以下。
引理3。度规的演化方程是由 在哪里
定理4。的进化框架以矩阵形式可以吗 在哪里是演化矩阵,它的 矩阵的元素在哪里给出明确的
定理5。曲率的时间演化方程的形式 为,我们可以学习曲线的运动;我们选择,;然后我们有以下。
定理6。的时间演化Serret-Frenet框架可以用矩阵形式如下: 在哪里
定理7。的时间演化曲线的曲率和挠率可以由
定义8。不能扩展的曲线是一条曲线,其长度是保存;也就是说,它不进化时间:
必要和充分条件不能扩展的流程将由以下定理。
定理9。流动的曲线不能伸展的当且仅当
引理10。如果曲线不能扩展的(),然后演化方程的曲率和挠率(19)
然后PDE系统(21)可以明确写在下面的形式:
5。不能扩展的流动曲线的例子
例1。如果
PDE系统(22)的形式
该系统的一个解决方案
在哪里,,是常数。
曲线的曲率的家庭作为坐标的函数和绘制在图1。
替代(23)和(25)系统(6)和(16)和解决数值。然后我们可以得到曲线族,所以我们可以确定这个家庭所产生的表面曲线(图2)。
例2。如果
和假设,然后PDE系统(22)的形式
该系统的一个解决方案
在哪里,,,是常数。
曲线的曲率的家庭作为坐标的函数和绘制在图3。
替代(26)和(28)系统(6)和(16)和解决数值。然后我们可以得到曲线族,所以我们可以确定这个家庭所产生的表面曲线(图4)。
例3。如果
然后PDE系统(22)的形式
该系统的一个解决方案
在哪里和是常数。
曲线的曲率的家庭作为坐标的函数和绘制在图5。
替代(29日)和(31日)系统(6)和(16)和解决数值。然后我们可以得到曲线族,所以我们可以确定这个家庭所产生的表面曲线(图6)。
5.1。副法线的例子不能伸展的运动曲线
考虑的副法线运动不能扩展的曲线,所以。那么演化方程(9)的形式
引理11。考虑的副法线运动不能扩展的曲线;的时间演化Serret-Frenet框架可以用矩阵形式如下: 在哪里 PDE系统(22)的形式
例4。运动副法线的著名的例子是涡丝的运动,副法线速度等于曲线的曲率,演化方程
如果,然后PDE系统(35)的形式
PDE的解决方案(37)是
在哪里,是常数。
曲线的曲率的家庭作为坐标的函数和用数据7和8。
替代(38)(6),(33)数值和解决它们。然后我们可以得到曲线族,所以我们可以确定这个家庭所产生的表面的曲线。为见(图9),见(图10)。
例5。如果,然后(35)的形式
PDE的解决系统(39)是
在哪里,,,,是常数。
曲线的曲率的家庭作为坐标的函数和绘制在图11。
替代(40)(6),(33)和解决数值。然后我们可以得到曲线族,所以我们可以确定这个家庭所产生的表面曲线(图12)。
6。几何属性生成的表面
让的表面是由家族的运动曲线。在本节中,我们研究这些表面的几何性质。
引理12。第一基本形式的表面在是由 在哪里第一个基本量和它们的
引理13。单位法向量表面在在一个点从表面上看是由
引理14。第二基本形式的表面在是由 在哪里第二个基本量和它们的 在哪里,,给出了(18)。
引理15。的表面在、高斯函数和平均曲率和分别给出了
引理16。的高斯曲率和平均曲率(图的表面2)是由
引理17。的高斯曲率和平均曲率(图的表面4)是由 因此,表面图4是可展曲面。
引理18。的高斯曲率和平均曲率(图的表面6)是由
引理20。的高斯曲率和平均曲率(图的表面12)是由 因此,表面(图12)是可展曲面。
7所示。结论
在本文中,我们研究了不能伸展的流动的曲线。我们构建和绘制表面生成的运动不能扩展的曲线。同时,我们研究了一些几何属性的表面。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢教授Nassar Hassan Abdel-All名誉教授,数学系,理学院,Assiut大学,有用和有价值的建议讨论本文的主题。作者也要感谢裁判对他们有益的意见和建议。