应用于不平衡块结构矩阵的vec算子的注记

摘要

vec算子通过将每一列叠加到下一列上，将矩阵转换为列向量。将块结构矩阵的vec写成应用于其每个组件块的vec运算符的形式是很有用的。我们推导了一个简单的公式，无论块的大小是相同还是不同，这个公式都适用。

1.介绍

应用于a的vec算子矩阵,产生一个列向量,表示通过堆叠每一列在下列一栏之上[1]．在这里，我们考虑将vec运算符应用于块结构矩阵的结果，包括块大小不同的情况。这样的矩阵叫做不平衡矩阵[2]．以往vec算子和Kronecker乘积应用于块结构矩阵的研究[2，3.都没有解决这个问题。

在许多应用中，块结构矩阵的出现是因为块代表不同的状态或进程。一般来说，这些块的大小不同，可能依赖于不同的参数。如果将vec运算符应用于这样一个矩阵，那么用每个组件块的vec表示结果可能会很有帮助。这个计算时,在其他事物之外，应用于矩阵演算[4]，包括非线性矩阵种群模型[5和有限状态马尔可夫链[6，7]．在这样的模型中(我们下面给出一个例子)，结果通常是同一个矩阵的向量值函数，并且矩阵具有固有的块结构。

我们的目标是将不平衡块结构矩阵的vec写成应用于每个组件块的vec算子的线性组合。虽然这个解决方案很简单，但它非常有用，所以我们在这里介绍它。

2.结果

如果矩阵包含块，我们把它写成矩阵，每个矩阵包含一个由零矩阵包围的块，如在哪里，,对应的零矩阵可能具有不同的(但兼容的)大小。的矢量为中每个分量矩阵应用的vec算子的和2）.这个组成矩阵集合的一个通用成员可以写成如下结果。

定理1。让是一个块结构矩阵，块的尺寸用下标表示，已写在哪里和和，，，，或任何组合，都可能是零。然后在哪里

证明。转换来需要添加上面有几行0，下面是一行零，左边的零列，还有右边的0列．这是通过乘法实现的在左边在右边,所以将vec运算符应用于(6)，使用Roth的著名结果[8),收益率(4）.

备注2。我们说这很简单。

3.应用程序

这里有几个有趣的例子，演示块结构矩阵的公式和应用vec算子的结果。

(1)有限状态吸收马尔可夫链的转移矩阵瞬态状态和吸收状态可以写成块结构矩阵。对状态进行编号，使暂态先于吸收态得到(列-随机)跃迁矩阵的标准形式(例如，[9]），矩阵描述瞬态状态和之间的转换描述从暂态到吸收态的转换。假设为向量值(的可微函数这和是向量的可微函数(）的参数。在人口统计学和生态学方面，可能描述某些生物生命周期各阶段的转变和生存，并且可能描述向不同死因的过渡(例如，[7，10])。

后(4的导数关于是矩阵获得我们必须对块结构矩阵应用vec算子．应用结果(5)给 (注意和都是零)。应用vec算子和链式法则给出在应用中，感兴趣的参数很可能是根据它们的影响来定义的和；（10)使得可以很容易地将这种依赖性合并到块结构矩阵的必要导数中．

我们注意到连续时间吸收马尔可夫链的强度矩阵也具有块结构(例如，9、章8]);矩阵演算在这类模型中的应用[6将受益于本文的结果。

(2)吸收马尔可夫链的转移矩阵是可约非负矩阵的典范形式的特例[11]．如果一个可约矩阵，它可以写出来吗每个对角线的方块平方是不可约的吗零矩阵)。对角线块的划分对应于其上的向量空间的划分作用到不变子空间。

(3)所有块大小相同的均衡块结构矩阵是不平衡矩阵的一种特殊情况。定理1为这样一个矩阵的vec提供一个简单的结果。考虑到矩阵在哪里每个维度．该案件由[3.]．

从(5) - (6)我们有在哪里的矢量是

4.结论

vec算子通过将矩阵转换为向量，在许多应用中都很有用[1]．当矩阵是块结构的，并且块表示应用程序中涉及的各种过程时，可以方便地将矩阵的vec表示为应用于组件块的vec算子的线性组合。我们已经展示了如何这样做，并描述了几个示例，但这些示例并没有穷尽结果的潜在用途。

相互竞争的利益

两位作者宣称他们没有相互竞争的利益。

致谢

本研究得到ERC先进基金项目322989、NSF基金项目DEB-1257545和nw - alw项目ALWOP.2015.100的资助。

参考文献

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应用数学学报

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