具有两个生成元的循环图的能量公式

摘要

我们推导了由循环生成的循环图的能量的封闭公式和哪里是一个整数。我们也找到了一个公式的能量完全图没有汉密尔顿圈。

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让必须是整数。循环图产生于在…上标记顶点二维正则图是这样的，对于所有,连接到以及，全部. 邻接矩阵上的图的性质顶点是具有由顶点索引的行和列的矩阵，以便是连接顶点的边数和. 让,  ，表示邻接矩阵的特征值。图的能量在…上顶点由顶点特征值的绝对值之和定义; 就是， 循环图和积分循环图的能量是被广泛研究的，例如[1.–4.]它在理论化学中有着有趣的应用；也就是说，它与-共轭碳分子的电子能量；参见[5.]在下面的定理中，我们给出了具有两个生成元的循环图的能量公式，和,  .这个公式很有趣大于.

定理1。让表示Dirichlet核。循环图的能量是由 对于，循环图的能量是由 哪里表示小于或等于的最大整数和表示大于或等于的最小整数.

证明。循环图的邻接矩阵是循环的；由此可知，系统的特征值由,  （见[6.]).能源然后由 让. 方程的两个根对于是和. 我们把能量写成 总数连续可以用Dirichlet核来表示，即， 因此,， 能量因此，由 这个公式是根据这样一个事实得出的，对于奇数,对于，甚至,  和.
让.对于奇数这个方程的解对于按递增顺序由平分，它们由. 让别怪了，我们把总数平分了将正项和负项组合在一起的余弦。能量由 用Dirichlet核写出上述关系，我们得到 因此,， 这个公式是根据以下事实得出的：对于.
让保持平衡。至于在什么情况下是奇数，我们将能量写为： 哪里如果很奇怪否则。
平分关系(9), (10)，及(11)同样，这个定理是从以下事实得出的和.对于奇数，我们有 用狄里克莱核表示，我们有 这个定理来自于这样一个事实：对于.

如果一个图的能量大于完整图的能量，则称之为超能量图.的邻接矩阵的特征值由和多元化，因此其能量由.

图形1（a）显示了生长于对于.我们看到它不是超能量的，而且能量的增长或多或少是线性的. 图形1（b）显示出的能量固定的作为变化。我们观察到，能量或多或少保持不变，与温度无关.

作为该定理的一个结果，当顶点的数目与几何量成正比时，我们可以求出Dirichlet核的和.

推论2。给定整数和，循环图的能量是由

证明。让和必须是整数。总和超过指数Dirichlet核的性质是由 将总和乘以使用三角恒等式，我们有 然后，推论首先应用上述关系式,  其次是,  ，及,  .

在[7.]，作者考虑了图形哪里完整的图形在上面吗顶点和是的哈密顿循环，并询问这些图形是否高能[4.]，作者表明是由 那就到无穷远，它是超能量的。在下面的命题中，我们给出了一个公式.

提议3。总的来说的能量是由

证明。我们有 自从，命题如下。

通过初步分析，可以看出越来越多. 因此，我们发现所有人都精力充沛. 这在以前的研究中已经发现[4.].

竞争利益

作者声明，本论文的发表不存在任何利益冲突。

致谢

作者感谢瑞士国家科学基金会第200021132528/1号赠款的支持。

工具书类

1. S.R.Blackburn和I.E.Shparlinski，“关于循环图的平均能量，”线性代数及其应用，第428卷，第8-9号，1956-1963页，2008年。浏览：出版商网站|谷歌学者|数学网
2. A.Ilić和M.Bašić，“积分循环图能量的新结果，”应用数学与计算，第218卷，第7期，第3470-3482页，2011年。浏览：出版商网站|谷歌学者|数学网
3. 关于一些循环图的能量线性代数及其应用，第414卷，第1期，第378-3822006页。浏览：出版商网站|谷歌学者|数学网
4. D.Stevanović和I.Stanković，“关于高能循环图的评论，”线性代数及其应用，第400卷，第1-3期，第345-348页，2005年。浏览：出版商网站|谷歌学者
5. R.Balakrishnan和K.Ranganathan，图论教科书，Universitext，斯普林格，纽约，纽约，美国，第二版，2012年。浏览：出版商网站|数学网
6. 比格斯，代数图论，剑桥数学图书馆，剑桥大学出版社，剑桥，英国，第二版，1993年。
7. 巴拉克里希南，“图形的能量，”线性代数及应用，第387卷，第287-295页，2004年。浏览：出版商网站|谷歌学者|天顶卫星数学|数学网

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