文摘
弱收敛半马尔科夫过程的扩散近似方案研究。这个问题并不新鲜,它在许多研究论文,用随机过程的收敛性。与其他的研究中,我们使用本文补偿算子的概念。它使变弱收敛的充分条件条件下输出半马尔科夫过程的地方特色。
1。介绍
弱收敛条件半马尔科夫随机过程的扩散近似方案没有平衡条件进行了研究。马尔可夫和半马尔科夫过程理论用于证券市场(Black-Sholes方程,Vasicek模型,及其修改)(1[],排队系统2,3)、工程(4)、生物(5),气候模型(6,7),和宣传模式(8]。但许多论文致力于马尔可夫过程的收敛性问题。这种方法产生误差的数学模型,因为预计逗留时间的指数分布状态。假设允许在任何时候有非零概率。这在物理系统是不可接受的。这就是为什么本研究的主题是半马尔科夫过程。旁边这个,其他技术使用的弱收敛性研究在许多论文。在这种情况下,作者得到不同收敛的充分条件。例如,在[9]阐述他的结果解决一些鞅的问题。它使测试这些条件。在[3]作者关注特征函数的收敛和索赔为地限制过程特征函数的收敛性。在[10]作者声称的发电机地限制过程的收敛一些扩散过程的发电机。
abovelisted作品相比,只有时刻的条件使用当地特有的半马尔科夫过程。使用补偿期限操作符可以不使用收敛地限制发电机的过程。
2。主要结果
考虑半马尔科夫随机过程的弱收敛的条件(SMP)的扩散近似方案。考虑这些问题可以在找到3,9- - - - - -15]。让我们考虑SMP,概率空间(11,16,17在欧式空间),马尔可夫更新过程生成的,它是(MRP) 这是 在哪里是计算过程。
表示状态的逗留时间,。MRP是由位内核,跳的条件概率值,和逗留时间的分布状态: 在哪里,,,,是波莱尔代数上,
注意,在本节中重要的事实时将一个内核分解: 因为一般来说这种假设是无效的。
本文假设平衡条件没有持有;这意味着
在这种情况下是不可能考虑扩散近似方案的过程,所定义的关系 因为它是不可能写出的渐近表示补偿算子(CO)的过程。这就是为什么我们认为半马尔科夫过程,在平均方案,由方程定义的
我们可以证明弱收敛的过程,在那里是微分方程的解决方案 在哪里
考虑随机过程:
根据(11),我们得到
让我们定义
考虑补偿算子对一些过程。
定义1。补偿运算符对于SMP,定义的关系 在测试函数。
在这种情况下有一个弱收敛SMP扩散近似方案的不平衡状况。
定理2。让满足下列条件:(D1)一致可积性(有限时间状态): (D2) ,,不平等 是统一的和。(D3)边界第二跳的时刻的价值: (D4)内核满足下列条件: 在哪里,。(D5)函数满足条件 (D6)收敛的初始条件如下: 然后发生在弱收敛,,因为: 在哪里,,是发电机的扩散过程
备注3。边界算子取决于平均进化;这就是为什么它是明智的考虑双组分演化的弱收敛。但是,根据(11,18- - - - - -20.),我们将证明定理的过程,由参数系列换句话说,。
定理的证明2由两个步骤组成。
步骤1。让我们解决公司的奇异摄动问题的过程作为。
考虑一个演化方程 与相对应 和半群
类似物的演化方程 与运营商 与半群
引理4。有限公司双组分的过程在测试函数是由 在哪里
证明。通过定义1,我们有一个关系的跳跃和时间值的更新:
然后
所以,根据条件我们得到了
对于嵌入式链,,我们得到
然后计算
所以,最后我们得到表示双组分补偿算子的进化:
我们想展示。
引理4是证明。
考虑渐近行为的公司,从引理4作为。
引理5。在测试函数公司的流程已渐近表示 在哪里是由以下关系: 和可以忽略不计, 是真的。
证明。让我们用一个代数的身份
根据引理4和代数身份(40),我们得到
让我们使用方程半群(9]:
然后这个词半群的性质和条件(D5),我们得到了以下关系:
同样的我们得到了
从分解根据(40),条款,被认为是。是由这些术语。很容易检查的其他项的和作为,如果条件(D3)——(D5)。
使用表示半群,,,很容易显示项是可以忽略不计作为。
引理5是证明。
步骤2。让我们展示过程的相对密实度的家庭作为。我们将使用定理1.4.6从[21]。让我们制定和证明声明我们需要使用这个定理。
引理7。有一种不平等
对测试函数,常数只取决于函数。
对于功能有一个绑定
在恒定的只取决于函数,独立于。
证明。让我们用引理的结果5:
根据测试函数的定义我们有。证明引理,边界条件(D3)的第一个和第二个时刻,条件(D4)和条件(D2)仍被使用,它遵循。
然后
在恒定的只取决于,。
为了证明条件(46)函数的性质仍记得;即
引理7是证明。
引理8。 ,,是相对紧凑的家庭。
证明。确定的相对密实度的家庭,根据定理1.4.6 [21]submartingality随机过程为非负无穷可微的和一个常数和不平等(45)和(46)还有待证明,。
让我们证明随机过程非负次鞅相对的吗代数,:
最后两个方面倾向于0。由引理7
过程的可测性相对到流是显而易见的。所以,非负次鞅。
引理8是证明。
根据引理8 ,,是一个相对紧凑的家庭。完成这个定理的证明,收敛于鞅还有待证明。考虑随机过程:
然后
根据引理7第三项满足的关系
通过同样的方式,我们可以证明,第一和第四条款往往为0,因为是连续的。
上学期往往由引理为05,因为 在测试函数,统一的任意阶导数有界。
第二项等于 和鞅条件根据引理6.111]。
让我们利用鞅条件:
最后,我们有 在哪里作为。
现在从定理的条件(D6) 换句话说,是鞅。
我们有检查所有条件的弱收敛性,即流程家族的密实度和martingality有限的过程。根据引理这旁边5收敛于扩散过程的发电机。
定理2是证明。
3所示。数值例子
考虑半马尔科夫过程,,在。对这一过程均匀分布在和伯努利分布与参数。然后 和平均进化,,表示 在哪里初始条件。很容易验证定理的条件。地限制过程如图1和2为。
4所示。结论
半马尔科夫过程的弱收敛的扩散近似方案条件在当地半马尔科夫过程的特点是本文研究。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。