文摘
我们最近的研究调查类的函数对数完全单调。两个开放问题。
1。介绍
回忆(1),一个积极的功能据说是对数完全单调(LCM)一个开区间如果衍生品的订单吗和所有,
LCM函数完全单调(CM)相关函数(2),强烈对数完全单调(SLCM)函数(3强烈,几乎完全单调(ASCM)函数(3),几乎完全单调(ACM)函数(4)、拉普拉斯变换和斯蒂尔吉斯变换,有广泛的应用。很明显,SLCM函数的集合是一组非平凡的子集的模块功能,这是一个重要的功能的子集的厘米,CM功能的集合是一组非平凡的子集的ACM的功能。它成立3]SLCM函数的集合是一个非平凡的子集组ASCM功能和组SLCM函数在区间分离与强烈的设置完全单调(SCM)功能(见[5)在区间的定义)。
众所周知,古典欧拉伽马函数定义通过 的对数导数,用 被称为ψ函数,为被称为多函数。
为和,定义 概率论与数理统计中遇到。
自 如果且仅当对数完全单调对数完全单调吗 如果且仅当对数完全单调对数完全单调,我们只需要研究对数函数的单调性完成吗
在[6定理3.2),证明了函数减少和对数凸吗到的函数增加和对数凹的到。
在[7定理1],显示 为 单调函数的属性和的时间间隔被获得。
在[8给出了定理2],它的功能减少间隔为当且仅当 和增加间隔当且仅当
在[9后),证明完全对数函数的单调性和美德的詹森不等式为凸函数,上下界Gurland比率的建立:正数和的不平等 适用,中词的地方(10)Gurland的比率10]。
在[11]作者证明了下面的结果。
定理1(见[11])。如果 然后函数对数完全单调区间。
功能的必要和充分条件和完全是对数区间上的单调也给出了(11]。
使用单调函数的属性和不平等(6)是延长(见[11注1]) 来
在[12作者证明了以下结果。
定理2(见[12])。如果和,那么这个函数对数完全单调区间。
定理3(见[12])。为,一个函数的必要条件完全是对数区间上的单调是,
定理4(见[12])。为,一个函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调是,
作为上述结果的直接影响,以下Kečkić-Vasić-type不等式推导出。
定理5(见[12])。让和是正数。 为,下面的不平等 当且仅当适用,在那里 identric或指数的意思。 为不平等(16)如果同样适用。
在[13),建立了以下结果。
定理6(见[13])。
为,如果
然后函数对数完全单调区间。
为,如果
然后函数对数完全单调区间。
从定理6我们可以直接获得以下的新结果。
推论7。
为,如果
然后函数对数完全单调区间。
为,如果
然后函数对数完全单调区间。
为,如果
然后函数对数完全单调区间。
获得一个充分必要条件(13)如下。
定理(见[813])。为 一个函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调是,
关于完成对数函数的单调性和他们的应用程序。在[14),作者证明了以下结果。
定理(见[914])。如果函数对数完全单调区间,然后 或
定理(见[1014])。为 函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调是,
下列不等式作为第一应用程序,推导利用对数完全单调函数的性质的时间间隔。
定理(见[1114])。
为、双不平等
适用于区间。
当,不平等
适用于区间为。
当,不平等
适用于区间为。
当,不平等
适用于区间为。
下列不等式作为第二个应用程序,推导利用对数凸函数的性质在。
定理(见[1214])。让和 还假设 如果任何一 或 然后 如果 那么不平等(37)逆转。
如下不平等最终的应用程序,可以通过使用渐减地单调函数的性质在。
定理(见[1314])。如果 然后 适用于与,在那里,定义为(17),是identric或指数的意思。
所示的结果(15]。
定理(见[1415])。为 函数的一个充分条件完全是对数区间上的单调是,
评论15。从定理9和14我们看到,函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调是, 这个结果是定理2 (11]。在这里我们恢复它。
16(见[定理15])。让 然后函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调是,
以下结果是上述定理的应用。
定理(见[1715])。当 下面的不平等 适用于区间。
定理(见[1815])。让和 还假设 如果 然后
19(见[定理15])。如果 然后 在(53),定义为(17),是identric或指数的意思。
2。开放的问题
2.1。开放问题1
从定理8我们已经知道, 一个函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调。
为 函数的充分必要条件是什么完全是对数区间上的单调
2.2。开放问题2
从评论15,定理10和16我们已经知道, 一个函数的充分必要条件完全是对数区间上的单调。
为 函数的充分必要条件是什么完全是对数区间上的单调
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢编辑和审稿人的宝贵的意见和建议来提高文章的质量。目前调查的支持,在一定程度上,中国自然科学基金批准号下11326167。