一个室内Projected-Like次梯度混合变分不等式的方法

文摘

室内projected-like次梯度混合变分不等式方法在有限维空间中,提出了基于使用非欧几里得的投影式运算符。在适当的假设下,我们证明了该方法生成的序列收敛于混合变分不等式的一个解决方案。此外,我们给方法的收敛估计。本文给出的结果推广了一些最近的文献中给出的结果。

1。介绍

让被赋予的内积和相关的规范。让是一个非空的,关闭,凸子集,让是一个集值映射。让是一个适当的、凸和下半连续函数。混合变分不等式问题(用(本研究)包括找到一个这样存在令人满意的 这是众所周知的一个非常有用的工具,制定大型类力学中遇到的问题,控制,经济、结构工程,社会科学,等等1- - - - - -3]。在这篇文章中,我们表示由溶胶(本)(本)的解集。

众所周知,(本研究)包含了大量各种各样的问题作为特殊情况。例如,如果,在那里指标函数在约束集吗,也就是说,如果和否则,然后(本研究)减少到广义变分不等式(简而言之(GVI)):找到一个这样存在令人满意的 如果和是单值的,那么(本研究)崩溃Stampacchia变分不等式问题:发现了什么这样

最有趣和重要的问题之一,变分不等式理论的发展是一个有效的迭代算法计算近似解,算法的收敛性分析。提出了很多方法来解决(本)(见,例如,(4- - - - - -15])。它们中的大多数都是投射式方法。最近,次梯度投影方法已经成为有效和强大的工具来解决(本)(见,例如,(8,14])。然而,所有的这些方法都是基于欧几里得投影算符产生迭代的边界约束,可能往往会导致混乱的影响导致慢收敛性质。此外,投影本身可以计算昂贵,如果约束不简单。

最近,为了克服上述困难,Auslender和Teboulle [16)提出了一个方法解决(GVI),该协议将取代经典的投影与非欧几里得的远远看去就像函数,可以自动消除约束和生产室内轨迹。这条线的分析研究和发展近些年[17,18]。

另一方面,不同的问题(2)和(3),一般来说,(本研究)不是相当于不动点问题涉及投影算符,因为非线性项的存在在问题(本研究)。然而,投影式地图引入Auslender和Teboulle16- - - - - -18不改善这一状况。一个自然的问题是,[提供的技术16)可以从(GVI)广义的设置(本研究)。这是我们希望设计一个方法来解决(本研究),这不仅可以继承好属性的内点法Auslender和Teboulle16- - - - - -18),但也克服困难的存在非线性项。这是本文的主要动机。

动力,受上述研究工作的启发,在本文中,我们针对扩展(中提出的方法16)混合变分不等式引入室内projected-like次梯度混合变分不等式的方法。该方法是基于使用非欧几里得的投影式运算符。在适当的假设下,我们证明了该方法生成的序列收敛于混合变分不等式的一个解决方案。此外,我们给方法的收敛估计。本文给出的结果推广和改进一些最近的结果。

2。预赛

定义1。让是一个集值映射。然后映射据说是(我)单调,如果任何,,, (2)最大单调单调的图,用不是正确的图像中包含的其他任何单调算子;(3)上层hemicontinuous在如果对任何,映射上连续在。

备注2。众所周知,最大单调当且仅当吗(我)对于任何,是一个封闭的凸子集;(2) 是上层hemicontinuous。

对于许多应用程序的目的,这将是有用的考虑地面集(本研究)的形式 在哪里非空的,开放的,和凸集的闭包和,在那里是一个线性映射,(见,例如,16- - - - - -18])。

定义3。让是一个为每个近距离满足以下属性: 得当,降低半连续和凸在,和(的梯度关于第一个变量); dom和dom,在那里表示函数的次梯度图关于第一个变量; 是强烈凸,;也就是说,存在这样对所有, 对于一些规范在。

我们表示家庭的功能满足上述三个属性。

备注4。很容易看到,通常的平方欧氏距离满足以上三个属性;也就是说,。因此,近距离的概念扩展了通常的平方欧氏距离。

鉴于2.1,它遵循从命题的证明(18),每对于每个存在一个唯一(通过强大的凸性)解决 从这个事实,一个可以定义一个projected-like地图如下。

定义5。对于任何,任何,一个projected-like地图被定义为

注6。(我)凸问题的最优性条件(8)(见,例如,(19]),存在这样
(2)我们想要提到的投影式地图仍在,也就是说,一个内点对约束集。然而,我们也注意到地图的属性保持有效的任意封闭和凸集。由此产生的投影映射在这种情况下会导致noninterior投影式地图定义为 和特征通过 在特定的,我们有,在那里是一般的欧几里得投影算符。

引理7(命题4.1的18])。对于任何和任何和,重点满足和以下属性:(我) ;(2) 。

建立我们的摘要算法收敛,每个,我们需要一个相应的近距离满足一些可取的属性。

定义8。鉴于、开放和凸,一个函数被称为诱导近距离如果是有限的价值在这样,对于任何, 和(我)对于任何和在有界,一个;(2)对于任何和收敛于,一个;(3)对于任何,。

我们写量化的三倍满足定义的前提8。

备注9。一个典型的和有用的例子是对数二次距离给出的 与。在这种情况下,,,一个可以验证(见709页的18])。更多的例子,感兴趣的读者被称为(16- - - - - -18]。

3所示。一个室内Projected-Like次梯度的方法

在本文中,我们采用如下假设。

假设一个。(一个₁)(本)的解集非空的;也就是说,索尔(本研究)。
(一个₂dom)和是最大的单调。
(一个₃)是有界的有界国际扶轮的子集。
(一个₄)低凸,断断续续的,适当的,有限的。
(一个₅)次微分的地图非空的在和有界国际扶轮的有限子集。

备注10。的假设假设是一样的吗(16]。的假设假设是一样的吗(16]。这些假设是相同的14),除了那些映射。

算法11。初始化。让。

迭代步骤。鉴于,取和,计算

评论12。(我)如果,然后(15)减少(16]。因此,算法11概括的基本迭代计划(16从变分不等式)的设置混合变分不等式。
(2)如果,然后(15)成为 这是次梯度投影方法混合变分不等式的基本方案(见,例如,8,11,12,14])。

我们首先建立关键结果给主属性的基本方案(15),将广泛用于建立我们的收敛结果。

引理13。让,让算法所产生的序列11。然后以下属性持有:(一) ;(b) ;(c)对于任何和, 与和。

证明。(一套)。它遵循项目(i)的引理7那 因此,我们有 现在我们。它遵循的不平等(13和的关系9), 自 我们有 这在一起(19)意味着项目(a)。
(b)与任何,我们有 结合项目(a),我们获得项目(b)。
(c),它遵循的单调性,项目(a) 总结了和两个成员除以的凸性,获得, 这就完成了证明。

从现在起,我们分析算法的收敛行为11通过选择参数作为 的参数是自由选择,满足 的参数我们做出以下假设。

假设B。 和是有界的存在这样对所有;
出口有这样对所有。

备注14。我们想要提到有很多知名的替代选择;例如, 感兴趣的读者被称为(8,14,20.,21]。注意,这两个假设(()是通过上述建议的选择。特别是,如果和与,然后算法11减少了夏等人提出的方法。14]。

定理15。让。假设A和B的假设。让算法所产生的序列11,并设置 然后序列,有界和序列的每个集群点吗属于(本研究)的解集。此外,假设 然后整个序列收敛于(本研究)的一些解决方案。

证明。我们将证据分为两个步骤。
步骤1。调用(b)项引理13使用假设,(),我们得到感应 使用,很容易看到是有界的。(3)项的定义8,我们知道是有界的。结果序列是有界的。它遵循从假设()和()序列和也有界。然后,使用假设(),我们得到 自使用不平等(32),有。它遵循从引理(c)项13,对任何和, 让是一个序列的聚点。自和断断续续的低,在双方不平等的限制(32),一个人 此外,。现在设置,在那里表示指标函数;也就是说,如果,然后,否则,。自是每个非空的,接下去是最大的单调。从次微分的定义,我们有 总结双方的不平等(34)和(35),我们得到 自这意味着,最大单调吗,相当于说的解决方案(本研究)。
步骤2。调用(b)项引理13使用假设,(),我们得到感应 使用和(30.),我们得到 从项目(i),我们知道序列是有界的所有集群分属于。因此,完成索赔的证据在整个序列的收敛性的解决方案(本研究),我们只需要证明序列有一个独特的聚点。其余的证明是完全相同的一个由勃拉克(22在定理1的第2步和第3步。为了方便起见,读者也被称为推论1的最近的一篇论文16)(38-40页)所以我们忽略它。

备注16。如果,然后定理15减少(a)项定理1和推论1的16]。因此,我们扩展的主要结果16从变分不等式的设置混合变分不等式。

评论17。相比之下,定理3.5的夏et al。14),定理15说,序列,而不是是收敛的解决方案(本研究)。

定义18。一个函数函数叫做差距(本研究)当下列语句:(我) 对于任何;(2) 当且仅当的解决方案(本研究)。
很明显,差距函数定义的属性18让我们用(本研究)作为一个优化问题,即是
为了建立效率估计混合变分不等式问题,我们将介绍一个缺口函数(本研究)。

19号提案。这个函数 差距是一个函数(本研究)。

证明。证明在两个部分。(我) 很容易看到 (2) 如果解决(本研究),然后存在这样 的单调性,我们有 因此,它遵循 通过项目(i),我们有。
相反,如果然后,通过定义,我们得到 最大单调性的,我们知道是上层hemicontinuous。因此,它是很容易看到的存在这样 这就完成了证明。

为了描述算法的收敛估计11,我们还需要的数量 现在我们的融合估计算法11。

定理20。让。假设A和B的假设。让算法所产生的序列11并设置 如果是有限的,那么我们有什么

证明。如果是有限的,那么估计(49)是一种不平等的直接后果(33)和间隙函数的定义。

备注21。如果,然后定理20.减少的定理1项(b) (16]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究支持广西自然科学基金(2013 gxnsfba019015),广西民族大学的科学研究基金会(2012 qd015),广西重点实验室开放基金的混合计算和集成电路设计分析(2013 hcic08)。