文摘

我们首先介绍一类新的收缩映射在度量空间的设置,然后我们现在某些Greguš类型映射不动点定理。作为一个应用程序中,我们推导出某些Greguš类型常见的固定的定理。我们的研究结果扩展Greguš度量空间中不动点定理,推广和统一一些文献中的相关结果。给出一个例子来支持我们的主要结果。

1。介绍和预赛

让巴拿赫空间,让是一个封闭的凸子集。1980年Greguš[1]证明了下面的结果。

定理1。让是一个映射满足不等式 对所有,在那里,,。然后有一个独特的定点。

费舍尔和Sessa [2],Jungck [3],侯赛因et al。4)获得的公共不动点定理的推广1。近年来,许多Greguš密切相关的定理定理出现(见[1- - - - - -21])。最近,Moradi和Farajzadeh21]扩展Greguš完备度量空间中不动点定理。

定理2 ([21定理2.4])。让完备度量空间,让是一个映射,, 在哪里,,,,。然后有一个独特的定点。

让和是self-maps。一个点是一个巧合点(分别地。公共不动点)和如果(职责。)。这一对叫(1)通勤如果对所有;(2)弱通勤(2如果,所有,;(3)兼容的(3如果每当是一个序列,这样对于一些在;(4)弱如果他们上下班巧合点兼容,也就是说,如果每当。显然,地图是弱上下班通勤,弱通勤地图是兼容的。参考文献(2,3]给出的例子表明,既不影响是可逆的。

本文的目的是定义和研究一类新的广义压缩映射(不一定是连续的)度量空间。我们将证明某些定点和常见的固定结果归纳上述定理。

2。不动点结果

我们表示所有非负实数的集合所有功能的集合满足下列条件:( ) 是连续的,( ) 在不减少的,,( ) ,对于每一个,( ) ,对于每一个,( ) 为每一个。

例3。如果为,在那里,,,然后。

例4。如果为,在那里,然后。

例5。让。然后它很容易看到在哪里 为每一个。

现在我们已经准备好我们的主要结果。

定理6。让完备度量空间,让是一个映射满足 为每一个,在那里。然后有一个独特的定点。

证明。我们第一次显示。如果对于一些,然后是一个不动点的做完了。因此,我们可以假设为每一个。从(4),()和(),我们有 所以 现在我们是一个序列,这样 从(4),(6)和(),我们得到 为每一个。从(4),(6),(8)和(),我们有 为每一个。从(6)和(7),我们得到 所以通过(7) 从(7),(9),(11)和(),我们得到 因此,() 现在,让 请注意,(13),为每一个。我们表明, 相反,假设有序列和与令人满意的 从(4),(14)和(),我们有 为每一个。从(14),(16),(17),,我们得到 这与()。因此,(15)持有。因此是封闭的递减序列集非空的因此,康托尔的交集定理, 我们表明,是一个不动点的。自,存在这样对所有。现在每个,我们有 自是连续的,从(20.), 因此,通过,;也就是说,。证明了独特性,注意,如果是一个不动点的,然后因此。

注7。注意,证明定理2,我们可以假设和(见定理2.4的证明(21])。因此,通过例子3,定理6是上述定理的推广2Moradi Farajzadeh。
如果我们把在例子中4从定理6我们得到的主要结果Ćirić[10]。

以下推论改善定理2.4 (6]。

推论8。让完备度量空间,让是一个映射满足 为每一个,在那里和。然后有一个独特的定点。

作为一个简单的结果选择公理,(13第5页),AC5:每一个函数有一个函数这样每,),我们获得以下引理(参见[22])。

引理9。让是一个非空的设置,让是一个映射。然后,存在一个子集这样和是一对一的。

作为一个定理的应用6现在,我们建立一个公共不动点的结果。

定理10。让是一个度量空间,让,是映射满足 为每一个,在那里。假设和完成的子空间。然后和有一个独特的巧合。此外,如果和弱是兼容的,然后他们有一个独特的公共不动点。

证明。由引理9,存在这样和是一对一的。我们定义了一个映射通过 对所有。作为是一对一的和,是定义良好的。因此,它遵循从(23)和(24), 对所有。因此,函数满足所有条件的定理6,所以有独特的定点。作为,存在这样。因此这意味着和有一个独特的巧合。进一步,如果和弱是兼容的,然后他们有一个独特的公共不动点。

如果我们把在例子中5,然后从定理10我们得到以下结果扩展了许多相关文献中结果(见[16,17])。

定理11。让是一个度量空间,让,是映射满足 为每一个,在那里和。假设和是一个完整的子空间的。然后和有一个独特的巧合。此外,如果和弱是兼容的,然后他们有一个独特的公共不动点。

推论12。让是一个度量空间,让,是映射满足 为每一个,在那里。假设和是一个完整的子空间的。然后和有一个独特的巧合。进一步,如果和弱是兼容的,然后他们有一个独特的公共不动点。

线性连续算子的定义在一个封闭的子集赋范空间是封闭的运营商,我们获得以下结果新的不动点定理的推论11。

推论13(见费舍尔和Sessa [2])。让和两个弱通勤映射在一个封闭的凸子集的巴拿赫空间为本身满足了不平等 对所有,在那里和。如果是线性和扩张和,然后和有一个独特的公共不动点的。

推论14(见Jungck [3])。让和兼容self-maps闭凸子集的巴拿赫空间。假设是连续的和线性的。如果和满足不等式(28),然后和有一个独特的公共不动点的。

现在,我们通过下面的例子说明我们的主要结果。

15例。让,让,,,。然后是一个完备度量空间。让是由,,,。那么简单的证明 为每一个。然后是必然的结果8,有一个独特的定点(独特的定点)。
现在,我们证明不满足定理的条件2Moradi Farajzadeh。相反,假设存在非负数字,,,这样 对所有。让和。然后从(30.),我们有 的收益率 一个矛盾。因此我们不能调用上述定理Moradi和Farajzadeh(定理2),显示的不动点的存在。

备注16。定理证明的方法6符合定理2.4的证明(23]。因此读者感兴趣的定点结果广义收缩/扩张映射的一般设置一致凸度量空间是指(23]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

本文是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达。因此,Marwan a Kutbi和n Hussain承认由于安全域,滘、金融支持。a . Amini-Harandi部分支持的卓越中心的数学,Shahrekord大学拨款伊朗和IPM(没有。92470412)。