使用有限差分对比源反演地震波形反演方法

文摘

本文扩展了有限差分对比源反演方法重建质量密度的二维弹性波反演框架的全波形反演。对比源反演方法是一种非线性迭代方法,或者重建的对比来源和对比功能。其中最杰出的该反演方法是计算效率高的优点,因为它不需要对每个反演迭代模拟一个完整的提出问题。反演方法的另一个吸引人的特点是它强大的能力在处理非线性反问题在一个不均匀背景介质中,由于有限差分算子是用来表示控制二维弹性波传播的微分算子。此外,乘法正规化和连续的多频反演技术是用来提高重建质量的反演方法。数值重建结果表明,反演方法有一个很好的重建对象嵌入性能均匀或不均匀背景介质。

1。介绍

全波形反演(FWI)是一个强大的工具来获得高分辨率参数模型在地震断层的背景下。FWI的这一特性使它非常适合估计地下参数,这是勘探地震学的终极目标。近年来,随着计算机技术的发展和更高质量的地震成像的要求,为勘探地震学FWI成为一种非常有前途的技术收购的规模和密度提高。FWI的过程就是找到一个最优参数模型通过最小化客观功能测量观察震动图之间的差异和合成地震记录。换句话说,FWI的具体实现是基于一个迭代的过程,通常是基于梯度优化,在时域或频域(见[1- - - - - -9])。在本文中,我们只关注频域情况。在频域模拟有其固有的优点:它可以获得相对较好的重建结果只有几个频率,这意味着它可以显著降低数据冗余;此外,并行计算编程可以很容易地实现不同频率反演,结果每个独立的频率。大多数FWI框架中的方法是基于梯度或牛顿法。基于这些梯度优化方法的一个共同特征是非常昂贵的转发估计物体的梯度计算功能对感兴趣的参数。一种特殊的方法来估计基于梯度法的梯度为一个最小化问题伴随方法(见[10])。此外,地震通常是非线性和illposed逆问题,使地震反演很难处理。简而言之,FWI合并走时和振幅信息是一个高度计算的过程,无论它在时间域或频率域实现,和这个特性极大地阻碍其广泛应用于勘探地震学。

van den Berg提出的另一种方法是和Kleinman(见[11]),延长van den Berg和Abubakar有效地重建感兴趣的参数的微波成像领域的(见[12])。方法被称为所谓的对比源反演(CSI)方法,它有两个版本:IE-CSI基于积分方程的配方(见[11,12])和基于有限差分算子(见[FD-CSI13])。IE-CSI方法是非常有效的均匀或简单分层背景介质逆问题,自从IE-CSI方法需要计算格林函数的背景介质,而FD-CSI解决高度复杂的问题的方法有很好的性能不均匀背景介质。另一个名为subspace-based优化方法的高效散射反演方法(SOM)股票好属性CSI的方法,也有两个变种采用齐次和非齐次背景介质,分别(见[14,15])。SOM之间的详细比较和CSI (14),这个引用也认为CSI是在精神上接近特例SOM和SOM可能收敛的几个特殊问题。有趣的CSI方法的优势在于它不需要解决任何完整的提出问题在每一个迭代反演;因此,它可以显著降低计算成本,它可能是非常有效的大规模和高维度的逆问题(见[16])。IE-CSI和FD-CSI方法将乘法正则化约束已经成功地应用于电磁波成像和声波成像(见[17- - - - - -21])。

在本文中,我们扩展了FD-CSI质量密度重建方法,基于二维弹性波方程(事实上,所有理论本文适用于三维问题没有任何变化)在一个各向同性介质,均匀或不均匀背景介质,其ie版本提出了(22时),它被成功地应用于弹性动力学背景介质是均匀的。对于我们的建模,一个完美匹配层(PML)吸收边界条件是用来减少边界反射(见[23,24]),考虑到刚度矩阵通常是大型和高度稀疏矩阵的压缩存储技术和稀疏矩阵的LU分解用于减少存储空间和提高计算效率(见[25])。反演处理,因为所有的有限差分算子涉及FD-CSI算法只依赖于背景介质和角频率的反演过程中,他们都是不变的,我们使用一个直接解算器如LU分解法来解决这些有限差分对提高远期建模的效率。我们转化这些有限差分运营商只有一次的反演处理,可以重用,结果连续多个源位置和迭代反演。

为了更好地重建概要文件和一些几何信息异常,一个叫做FD-MRCSI乘法正则化因子结合,首次引入的van den Berg et al。(见[26])。乘法正则化因子具有相同的函数作为总变异(电视)正规化。最有前途的乘法规则化的优势是正则化参数自动计算在每个反演。此外,为了减轻非线性,提高重建的结果,采用序贯多频反演方法;地震反演,从高频低频,向上。为了说明有限差分的性能对比源反演方法在地震反演问题,我们给出了一些数值试验,在均匀或不均匀背景介质。

2。提出建模

在本节中,我们提出二维建模使用有限差分方法,反演方法是非常重要的。提出建模模拟弹性波的传播过程在一个各向同性非均匀介质和驱动反演算法。在时域中,PDE管理系统,称为弹性动态系统,是写成下列微分方程系统: 在哪里位移矢量,质量密度,表示弹性介质的应力张量,代表了散度算子对空间变量,用术语和外部力量。在一个各向同性介质,应力张量由以下公式给出: 的指标和可以1或2,是著名的克罗内克符号象征,表示应变张量和瘸子参数各向同性的介质。

为简单起见,在频域中所有物理变量也用相同的符号在时间域,除非它是一个歧义。例如,也代表了在频域位移矢量。用(2)和(3)(1两侧),采用傅里叶变换(1),我们得到的纳维方程 在哪里表示空间变量,表示源位置,是角频率,源项是一个雷克子波在频域在这篇文章中,是一个矩阵的转置,是一个梯度算子对空间变量。

系统(1)和(4)定义了无限介质中的波传播时间和频率域,分别。然而,波场数值模拟在一个有限的领域。因此,波浪将反映的计算域的边缘,和人工海浪将被记录下来。在时间域,这些反射可以消除的时间窗口;然而,这样的反射在频域无法消除。因此,我们应该减弱或抑制不必要的波来模拟一个有限域的建模,和一种吸收边界条件应当被应用。对于我们的建模,一个稳定的不可分割的卷积完全匹配层(PML)使用(见[24),和源项f我们添加的纵波入射激发。

参数和波字段是在常规二维均匀离散域的间隔和通过使用二阶有限差分中描述(27,28]。注意,空间采样间隔和必须足够小,这样的数值解的线性方程离散化系统(4)是足够精确的。通常,这五点网格模板需要大约10分的最低速度区剪切波的波长准确建模(见普拉特(28])。在每个网格点的未知命令行规则,得到一个线性方程系统 在哪里有限差分矩阵、刚度矩阵,它是不对称的,极其稀少,是未知数向量,表示源项的离散向量。解决线性方程系统(5),我们选择直接求解方法基于稀疏矩阵的LU分解,而不是一个迭代解算器。我们采用直接求解法的主要原因是,刚度矩阵仅仅是依赖于背景介质和一个角频率吗。因此,我们可以得到所有解决方案所有源励磁的同时通过分解有限差分矩阵只有一次。然而,一个新的矩阵分解需要另一个频率。

3所示。有限差分对比源反演算法

3.1。问题公式化

我们认为二维弹性波在均匀或不均匀背景介质反演问题。整个论文中,反演领域或对象的域散射嵌入用符号,数据域是源和接收器的表面。我们假设这两个领域都包含在总域被称为有限差分计算域。通过这个反问题的配置,我们可以稍微降低反演领域。假设有先后照亮了反演来源域和指数源用下标。对每个源,总磁场向量和入射场矢量分别满足以下纳维方程: 在(7),参数包括下标表示相对参数方程时用来描述已知的背景介质的地震波传播。减去(7)(6总提起)和使用之间的关系,事件,分散了,满足分散字段 在哪里对比源向量,定义为 的对比功能是由

根据(7),微分算子与已知的参数和只取决于背景质量密度。的逆算子正式的线性算子。因此,的解向量(8)可以象征性地用以下方程: 通过使用(11),测量散射场数据向量的接收器位置可以正式由以下方程: 对象方程和状态方程满足 在哪里操作员选择测量表面散射场吗散射场的总计算域,和运营商选择反演领域内的字段。

请注意,(12)和(13CSI方法的基本方程,用于建立功能成本。从(12)和(13),数据误差和对象(或状态)错误分别用以下方程:

建立目标函数,我们应该首先给内积的具体表达式规范, overbar表示的每个组件的复杂的复共轭向量和象征代表两个向量的乘积。是积分域,可以吗或。

为简单起见,场量的显式的依赖和在本文的其余部分了。

3.2。有限差分对比源反演方法

框架的对比源反演方法(见[11),它不消除源数量的对比在(12)和(13)。相反,或者它可以对比和对比功能通过最小化成本功能。为了避免造成nonquadratic目标函数最小化的对比功能在这两种分子和分母,我们借的想法14),稍微修改CSI的成本函数方法。因此,修改后的成本最小化的功能th步骤是定义为以下形式: 在哪里代表了数据误差方程和代表对象方程误差。散射场数据减去模拟背景场的模拟模型。从(14),(15)和(18),我们注意到背景中不会改变整个反演过程;因此,有限差分算子的反演的计算成本为每个频率相对便宜,LU分解的结果只需要一次。

CSI的主要思想方法是重建两个交错的序列,和,通过最小化目标函数(18)。FD-CSI方法的第一步是更新对比源向量用共轭梯度法与Polak-Ribiere搜索方向。同时更新源的对比,对比功能被假定为。在th步骤,对比来源更新由以下公式: 在哪里是一个更新步骤大小和Polak-Ribiere搜索方向(见[29日)由 在这是成本函数的梯度对吗评估在迭代。这种类型的共轭梯度的细节可以在[30.]。更新后的梯度,update-steps可以通过最小化功能成本好吗;也就是说, 和最小值的显式表达式(21)可以通过设置导数成立等于零;也就是说, 规范化的因素和是

CSI方法的第二步是更新对比功能。一旦我们更新对比源向量共轭梯度法,对比功能通过更新功能的最小值。我们假设对比源向量在这个过程中是不变的。它可以显示更新公式具有封闭形式如下: 在哪里 在(24),符号表示复数的实部。找到最小值对的细节的目标函数(18)中可以找到11]。

开始FD-CSI算法,考虑到非线性和illposedness的逆问题,和当地FD-CSI方法的收敛性,一个很好的初始估计是非常重要的为了更好地重建结果。我们初始化算法通过以下方式: 计算和对比函数通过使用(24)和(25)。在(26),算子的共轭算子吗,它被定义为 在哪里 和象征有相同的含义,测量表面上的字段值映射到整个计算域。这个初始化方法称为反向传播方法,事实证明,它可以提供一个很好的初始估计(见[8])。

提高重建质量的结果,乘法正则化技术引入van den Berg et al。(见[26)应用于这逆问题,也有同样的效果总变分正则化方法。将乘法正则化因子后,成本函数写成 正则化成本函数在哪里的加权规范正规化的定义是 在哪里 在哪里的面积是反演领域和是细胞区。更多细节有限差分乘法正规化对比源反演(FD-MRCSI)方法可以在附录A中找到的8]。

它非常类似于最小化功能(29日使用共轭梯度方法)。没有改变而更新对比源向量,因为正则化因子只是依赖对比函数和。然而,对比功能更新使用共轭梯度法与Polak-Ribiere搜索方向。

与添加剂正则化方法相比,它不需要人工权重确定正则化参数,因为它是自动计算在每一个迭代。作为我们知道选择正则化参数是一个耗时和困难的工作,尤其是没有测量数据信息之前,乘法正则化方法非常适合转化实验数据所示(20.]。

3.3。计算复杂度分析

FD-MRCSI计算成本最高的部分是计算这些操作符和估计共轭和update-steps。因此,一个有效的方法来计算这些操作符的作用是非常重要的提高反演算法的效率。考虑到这些操作符只依赖于背景中,不改变整个反演过程对于一个给定的频率,我们选择一个有效的直接法,也就是说,LU分解,分解的两个离散化操作符和只完成一次反演过程的一开始,然后在每个后续步骤中重用。分解过程需要操作,是未知的离散系统(,是网格细胞)的数量(见[25])。替换回去需要操作每个源的位置。FD-MRCSI的框架,需要替换回去的两家运营商的两倍和每个迭代。因此,计算复杂度的FD-MRCSI频率大约是由 在哪里和反演的迭代的数量和来源的数量,分别。

为常规反演方法(UIM),目标功能涉及分散观测数据和分散合成数据以下公式: 第一项(33)确保得到目标的将最优的参数模型,而第二个是正则化项,保证问题的稳定和力量得到吗(33),以满足一定的规律特性,和表示正则化参数平衡数据错误和正则化项。如果功能(33)也最小化利用非线性共轭梯度法,该算法的计算复杂度为这个反问题中可以大概估计类比FD-MRCSI方法如下: 在这代表了LU分解建模和计算成本表示回代计算每个迭代过程中对每个源。表1显示的细节FD-MRCSI和常规反演方法的计算复杂度。

从表1,我们观察到FD-MRCSI方法不需要做一个LU分解为每个迭代,而通常的方法需要它,这是计算成本最高的部分。因此,FD-MRCSI方法是一种极大的有效方法。

4所示。数值结果

在本节中,我们提出一些数值例子基于FD-MRCSI算法。这些测试是在一个倒置的领域和边长平方。为了测量确切的概要文件和重建的概要文件之间的差异,相对误差对对比数量介绍,这是由以下公式: 在哪里重建后的结果吗迭代和是我们感兴趣的精确解。

由于“反犯罪”现象可能发生,产生的合成数据使用有限差分时域方法。一个雷克子波与主频率30 Hz是用于生成合成数据。然而,反演算法在频域进行,因此生成的数据集使用向前时域方法转换为频域使用快速傅里叶变换(FFT)(见[31日])。在那之后,我们选择一些频率FD-MRCSI算法。一旦我们得到合成数据,随机噪声被添加到每个频率合成数据使用这个公式如下: 在哪里和字段数据向量有噪声和无噪声数据,分别和在间隔均匀分布随机数,是一个两维向量的分量都等于1,然后呢是理想的分数的噪音。

4.1。重建在均匀背景介质

第一个例子是关于恢复一个正方形散射体从噪声观测数据在均匀背景中,准确的模型是由图1(一)。反演领域设置与边长6平方公里,其中并不包括PML厚度。这个广场散射体,第二个蹩脚的参数等于2.0的绩点,泊松比是0.25。边长的平方1.5公里位于反演领域,及其中心(3.3)公里;散射体的质量密度是1.8克/厘米³,1.5克/厘米³在散射体的外面。因此,对比散射体为0.2。在整个反演过程中,角频率是8赫兹。

反演领域分为使用二阶均匀网格方案,添加PML的网格;所以,总计算域的大小。对于这个实验,和;因此,总计算域的网格尺寸。源和接收器被分配到16岁,这是均匀分布的反演领域的四个方面,和所有添加的形式来源波事件激发。显示FD-MRCSI方法的去噪性能,并给出了数值反演结果,当测量数据集添加5%的随机噪声。数据1 (b)和1 (c)重建的实验和差异1000次迭代后的真实模型和恢复模型。图1 (d)显示了沿深度切片在水平距离3公里的真实模型和反演模型。相对误差为12.26%。

这种类型的均匀背景介质的数值测试,我们将测试FD-MRCSI方法具有的能力重建多个散射与不同的几何信息和不同的物理性质参数。为了这个目的,我们使用一个模型组成的两个长方形散射如图2(一个)。配置包括两个矩形对象,不同的维度。一个是1.2公里×1.2公里,另一个是0.8公里×1公里。我们也假设反演域是方形域的维度6公里×6公里,第二个蹩脚的系数5.2的绩点,泊松比为0.25,质量密度为1.5克/厘米³。大的障碍的质量密度为2.7克/厘米³,小一的质量密度为2.1克/厘米³。因此,两个异常的对比是0.8和0.4,分别。

在反演过程中,我们总计算域离散化统一的网格,其中15 PML网格和24来源和24接收器用于此示例。这些来源和接收器分布反演领域,六个来源或接收器。后测量数据生成使用前面的例子一样,我们选择在8赫兹频率驱动反演算法,和5%的噪音。1000次迭代后,重建概要图2 (b)。图2 (c)表示真正的模型和恢复模型之间的差异1000次迭代后,和图2 (d)显示数据的变化对迭代方程项错误。相对误差为16.05%。

乍一看,我们应该解决这些1000年的多次提出建模反演迭代。自源的对比和对比功能向前纳入这个算法,使刚度矩阵只涉及背景介质为每个给定频率,LU分解整个反演过程只需要一次;因此,提出建模计算成本非常便宜。然而,我们必须付出的代价是LU分解的存储阵列的背景介质的刚度矩阵。

从这些数值结果,我们观察到FD-MRCSI方法能有效重建散射包括它们的位置和形状通过测量散射数据,和去噪能力强的方法。此外,图2 (d)证明了FD-MRCSI方法是收敛的。

4.2。在一个不均匀背景介质重建

在本节中,我们检查的性能FD-CSI使用不均匀介质作为背景介质。背景的配置由一个压缩波2500 m / s的速度,剪切波1443 m / s的速度,和基础课的分布质量密度为1.8,1.6,1.5,和1.8克/厘米³从上到下。图3(一个)显示了背景介质的质量密度分布。反演模型包括一个圆和椭圆提出如图3 (b)。循环异常对比为0.8的半径是0.550公里,这是集中在(3.4,3.6)公里。椭圆的散射体,半轴长0.7公里。和半短轴0.36公里,其中心是(2.3,2)公里。我们还假设反演领域是一个平方的维度。在数值实验中,被分配到6公里。

在反演中,对比功能、对比度来源,和状态变量,,在反演领域在常规二维均匀离散网格的间隔和。这两个和等于0.05公里;换句话说,网格的大小是121121年。测量域表面24接收器和24来源分布反演领域是一个广场。后生成的合成数据集使用有限差分时域上的FFT (FD-DT)数据在频率10 Hz, 5%添加噪声通过使用(35)。运行1000次迭代后,重建结果在图3 (c)。相对误差18.83%。

如图3FD-MRCSI方法可以成功地重建的对象包括其位置和形状出现在均匀背景介质。反演方法的功能结果的灵活性有限差分算子的控制微分方程。

4.3。重建改善使用多个频率

在这些例子中,我们使用之前的低频率反演重建结果作为另一个频率反演的初始猜测,这是所谓的序贯多频反演方法,通常采用这种技术在高斯牛顿或非线性共轭梯度法。这一技术应用于提高反演资料保证了以下两个观察:(1)每个FD-MRCSI算法的频率无关;(2)反演算法局部收敛,因此一个很好的初始估计将导致更好的反演结果。此外,多个频率的非线性反演技术可以迁移弹性反问题。

驱动反演算法,我们应该使用另一个初始化方法,通过引入Abubakar et al。(见[8])。首先,使用前面的反演结果;然后,解决问题总磁场向量;最后,最初的对比来源得到的方程。

我们采用战略重建节中给出的两个测试例子4.1,所有相关参数一样出现在部分4.1。对于一个散射体模型的情况,我们先后选择三个频率(4、6和8 Hz)。两个散射模型的情况下,连续频率应用在多个频率反演是5赫兹,7赫兹,和10赫兹。数据4(一)和4 (b)显示相应的重建结果。相对误差分别为8.13%和12.60%,分别比那些小的部分4.1。表2表明重建相对误差的两个模型使用FD-MRCSI和FD-MRCSI与多个频率的技术。

从图4和表2,我们可以观察到连续的多频方法的使用可以在一定程度上提高重建模型。这可以解释为一个很好的初始估计可以导致更好的计算结果为局部收敛的方法。

5。结论

摘要有限差分对比源反演方法将乘法正则化因子被成功地应用于地震全波形反演重建质量密度。方法是非常有效的,因为它不需要解决一个完整的问题在每一个迭代反演,和远期的高效计算建模使它有一个潜在的处理大型计算逆问题。

从数值实验的结果,算法可以识别的形状散射精确地确定它们的位置,无论背景介质均匀或非均匀介质。测量时的算法是非常健壮的数据受到随机噪声的污染。此外,FD-MRCSI使用连续的多频技术可以成功地提高重建的结果,这是非常希望获得高分辨率勘探地震学。估计其他地下参数使用这种方法,如拉梅系数和速度,是我们未来的工作。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢van den Berg教授给了我们许多有益建议的理论和数值实现对比源反演方法。这项工作是由中国国家自然科学基金,资助下不。91230119,没有。41474102也没有。11301119。

引用

1. A . Tarantola”策略的非线性弹性反演地震反射数据,”地球物理学,51卷,不。10日,1893 - 1903年,1986页。视图:谷歌学术搜索
2. p•莫拉”非线性的二维弹性反演多偏移地震数据,”地球物理学,52卷,不。9日,第1228 - 1211页,1987年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. r·g·普拉特和m·h·沃辛顿,“逆理论应用于多源井间层析成像。第1部分:声学波动方程方法,”地球物理勘探,38卷,不。3、287 - 310年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. r·g·普拉特“逆理论应用于多源井间层析成像。第2部分:弹性波动方程的方法。”地球物理勘探,38卷,不。3、311 - 329年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. 汉族,h·s·傅,z,“同伦方法的反演二维声波方程,”在科学和工程反问题,13卷,不。4、411 - 431年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
6. h . Ben-Hadj-Ali s Operto, j . Virieux”速度模型的三维频域,全波形反演的广角地震数据,”地球物理学,卷73,不。5,VE101-VE117, 2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. w•w•赛姆思”偏移速度分析和波形反演。”地球物理勘探卷,56号6,765 - 790年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. a . Abubakar w . Hu t . m . Habashy和p . m . van den Berg”应用有限差分contrast-source反演算法的地震全波形数据,”地球物理学,卷74,不。6,WCC47-WCC58, 2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. j·t·j·j·曹y . f . Wang赵、杨和c,“回顾恢复地震波场基于正则化和压缩传感、”在科学和工程反问题,19卷,不。5,679 - 704年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
10. a . Fichtner p h . Bunge和h·伊格尔”,伴随在地震学方法。即理论”,地球和行星内部的物理,卷157,不。1 - 2、86 - 104年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. p . m . van den Berg和r . e . Kleinman“对比源反演方法,”逆问题,13卷,不。6,1607 - 1620年,1997页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. p . m . van den Berg a . l . van Broekhoven和a . Abubakar扩展源反演相比,“逆问题,15卷,不。5,1325 - 1344年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. A . Abubakar w·胡,p . m . van den Berg和t . m . Habashy“有限差分的对比源反演方法,”逆问题,24卷,不。6篇文章ID 065004 - 17, 2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. “x Chen Subspace-based优化方法求解逆散射问题,“IEEE地球科学和遥感,48卷,不。1,42-49,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. “x Chen Subspace-based逆散射问题的优化方法不均匀背景介质,”逆问题ID 074007条,卷。26日,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
16. l . a . Abubakar g .锅m . Li, t . m . Habashy和p . m . van den Berg,“使用有限差分三维地震全波形反演对比源反演方法,”地球物理勘探卷,59号5,874 - 888年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. r·f·Bloemenkamp a Abubakar, p . m . van den Berg”实验多频反演数据使用对比源反演方法,”逆问题,17卷,不。6,1611 - 1622年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
18. a . Abubakar和p . m . van den Berg”对比源位置和形状重构反演方法,”逆问题,18卷,不。2、495 - 510年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
19. l . p .歌曲,c . Yu,问:h . Liu“穿墙雷达成像(双胞胎):二维层析结果和分析,“IEEE地球科学和遥感,43卷,不。12日,第2798 - 2793页,2005年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. a . m . Li Abubakar, p . m . van den Berg”应用乘法正规化对比反演方法实验菲涅耳3 d数据来源,”逆问题,25卷,不。2、文章ID 024006、23页,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
21. 扎卡里亚,c·吉尔摩,j . LoVetri”有限元对比源微波成像反演方法,”逆问题,26卷,不。11日,ID 115010条,21页,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
22. g . Pelekanos a Abubakar, p . m . van den Berg“对比反演方法在弹性动力学来源,”美国声学学会杂志》上,卷114,不。5,2825 - 2834年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. d . Komatitsch和r·马丁,”一个不可分割的卷积完全匹配层改善在掠入射地震波方程,”地球物理学,卷72,不。5,SM155-SM167, 2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. r·马丁·d·Komatitsch, s·d·格德林”稳定的变分公式不可分割的卷积完全匹配层为各向同性或各向异性地震波方程,”计算机模拟在工程和科学,37卷,不。3、274 - 304年,2008页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
25. t·a·戴维斯稀疏线性系统的直接方法、暹罗、费城,宾夕法尼亚州,美国,2006年。视图:出版商的网站|MathSciNet
26. p . m . van den Berg a . Abubakar和j·t·Fokkema”对比剖面反演乘法正规化,”无线电科学,38卷,不。2、2003。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. k·凯利,r·w·沃德s Treitel和r·m·阿尔福德“合成eismograms:有限差分的方法,”地球物理学第41卷。。1 - 27,1976页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. r·g·普拉特“频域弹性波通过有限差分建模:井间地震成像工具,”地球物理学,55卷,不。5,626 - 632年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. k . w . Brodlie d·a·h·雅各布斯,“无约束极小化”先进的数值分析,页229 - 268,学术出版社,1997年。视图:谷歌学术搜索
30. j . Nocedal和s . j .莱特数值优化施普林格,纽约,纽约,美国,2006年。视图:MathSciNet
31. Duhamel p . m . Vetterli”快速傅里叶变换:教程审查和一个国家的艺术,“信号处理,19卷,不。4、259 - 299年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

版权

版权©2014年博汉等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。