文摘
拉斯韦加斯的存在解决方案baby-Skyrme模型用变分方法证明了球面上。也建立了一些性质的解决方案。
1。介绍
半个世纪以前,Skyrme [1首先表明孤子的非线性模型(2可能解释为重子数,这是对应孤子的圈数。
描述重子的引进Skyrmions最初是在三维空间1]。在非线性标量场理论,Skyrmion是经典的静态字段配置的最小能量。标量场是介子场,Skyrmion代表一个重子。Skyrmion的拓扑电荷防止连续变形对真空场配置。这个费用确认与重子数守恒阻止一个重子衰变成π介子(1,3]。
Skyrmions已被证明存在一个非常宽的几何图形(4),现在物理学的其他领域,发挥着越来越大的作用。例如,在某些物质浓缩系统,Skyrmions用于模型泡沫出现在外部磁场的存在两个维度;他们可以提供一种机制与反铁磁性的消失,宏达电超导,等等。在凝聚态物理5),模型(6)有直接的应用程序可能在量子霍尔系统提供一个有效的描述。在凝聚态物理的背景下(7,8),直接实验观察。在三维空间6),婴儿Skyrmions的上下文中研究了强相互作用作为一个玩具模型为了理解更复杂的动力学通常Skyrmions生活。
本文我们考虑baby-Skyrme模型,也就是说,Skyrmional模型在两个空间维度,在引入9]。我们这篇文章的目的是建立拉斯韦加斯的存在解决方案这个baby-Skyrme模型严格的变分方法。节2,我们将模型的数学结构和主要存在性定理。节3,我们将展示拉斯韦加斯的存在解决方案的变分方法和建立的一些性质的解决方案。
2。的数学结构和存在性定理
婴儿Skyrmions得到非平凡解著名的非线性模型。模型包括三个真正的标量受约束 运动方程承认与有限能源代表一个映射的解决方案成。他们的特点是密度, 和圈数, 这个模型的能量函数如下: 与 在哪里是一个单位向量在内部空间和第三推导是一个参数,认为积极的。
通过使用不平等 我们可能会发现Bogomol那
我们被从上面扩展模型来在哪里two-sphere的半径。由极坐标,和, 转换的雅可比矩阵和指标与极坐标
为了获得明确的静态解的圈数部门,我们引入了刺猬的参数化 在哪里 受边界条件
能量函数如下: 同时圈数密度的结果
不难证明的欧拉方程(13)是
接下来我们要找到边界问题的一个解决方案(15)和(12)。我们将建立解决方案的存在间接的变分法。
这是我们主要的存在性定理,解决了上述问题。
定理1。边值问题(15)和(12)有一个解决方案这样 有锋利的渐近估计
3所示。定理的证明1
在本节中,我们将把定理的证明1成两个前题。
证明。为了得到一个解决方案(15)和边界条件(12),我们可能会寻找解功能(13)。
我们首先介绍容许空间
显然,集不是空的。
我们打算找到一个解决方案(15)和(12通过解决最小化问题):
让是一个最小化的序列(20.)。不失一般性,我们可以假设
否则,我们可能修改序列来完成(21与此同时没有扩大能源。的不平等
我们可以看到,统一为。
同样,我们有
然后,我们会发现统一为。
鉴于(22)和(23),让,我们有
我们可能得到的序列是有界的对于任何
使用弱紧性,我们可以假设(事实上,一个子序列)是弱收敛。应用一个对角线子序列参数,我们可以假设有一个
这样
弱的。紧凑的嵌入定理,我们可以得到的
也就是说,可以简洁地嵌入到吗。所以我们看到收敛(27)是在。因此,我们知道绝对是连续在紧凑的子区间吗和连续。
让
使用的弱下半连续性属性功能,我们获得不平等
对于任何
让
我们有
因此,我们看到实现了完整的边界条件(12)。因此
和(30.让我们获得
也就是说,发现的解决方案(20.)。因此,是一个有限的能量解决方案(12)和(15)。
接下来,我们将建立的一些性质拉斯韦加斯的解决方案。
引理3。让拉斯韦加斯的解决方案获得的引理2。然后
证明。显然,是一个平衡点(15)。我们假设这样
因此,达到其全球最低
使用的唯一性定理常微分方程的初值问题,我们可以得到
这与
所以
同样,我们可能会发现
结合前题2和3,我们完成定理的证明1。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持下的河南省自然科学基金拨款122300410188。作者感谢裁判的有价值的建议,提高文章的质量。他们也感谢S.-X教授。陈他的整个工作的指导和帮助。