文摘
提出了两种新的算法来计算一个矩阵的非奇异的平方根一个。这些新算法的收敛性定理和稳定性分析。数值结果表明,新算法是可行的和有效的。
1。介绍
考虑下面的非线性矩阵方程: 在哪里是一个复杂的矩阵非奇异的判定。一个解决方案(1)的平方根。矩阵根边值问题中有许多应用(1和矩阵的计算对数2,3]。
在过去的几年里已经有了不断增加的兴趣发展理论和数值方法的矩阵的平方根。矩阵的存在性和唯一性平方根(可以找到4- - - - - -6]。在这里,值得指出的是,任何满秩矩阵的平方根,和平方根也非奇异的4]。许多方法已经提出了计算矩阵的平方根(5,7- - - - - -16]。矩阵的平方根的计算方法一般可以分为两类。第一节课是所谓的直接方法,例如,舒尔算法由Bjorck和Hammarling [7]。第二类是迭代方法。矩阵的迭代,在那里是一个多项式或定量函数,是有吸引力的替代计算平方根(9,11- - - - - -13,15,17]。一个著名的迭代法计算矩阵的平方根是牛顿法。它有很好的数值行为,例如,二次收敛。牛顿法解(1)提出了18]。后来,一些简化的牛顿方法是(11,19,20.]。不幸的是,这些简化的牛顿方法的数值稳定性差。
在本文中,我们提出了两种新的算法来计算一个矩阵的非奇异的平方根,它具有良好的数值稳定性。我们首先运用Samanskill技术,特别是提出了(21计算矩阵的平方根。这些新算法的收敛性定理和稳定性分析的部分3和4。节5中,我们使用一些数值例子表明这些新算法在某些方面比已知的更有效。最后给出结论6。
2。两个新算法
为了计算矩阵的平方根,一个自然的方法是应用牛顿法(1),这可以表示如下。
算法1(见[11,19](牛顿法(1)))。我们考虑以下。
步骤0。鉴于和,设置。
步骤1。让。如果,停止。
步骤2。解出西尔维斯特方程:
步骤3。更新,步骤1,去。
应用标准算法局部收敛定理1(19p . 148],我们推断出序列由算法生成1收敛到一个平方的平方根的如果初始矩阵足够接近。
在本文中,我们提出了两种新的算法来计算矩阵的非奇异的平方根。我们的想法可以表示如下。如果(1)有一个非奇异的解决方案,然后我们可以变换(1)为一个等价的非线性矩阵方程: 然后我们运用牛顿法(3)计算的非奇异的平方根。
F-differentiable的定义和一些简单的计算,我们得到,如果矩阵是满秩的,然后映射F-differentiable在和 因此牛顿法(3)可以写成 结合(4),迭代(5)相当于以下。
算法2(牛顿法(3))。我们考虑以下。
步骤0。鉴于和,设置。
步骤1。让。如果,停止。
步骤2。解出在广义西尔维斯特方程:
步骤3。更新,,去步骤1,。
通过使用Samanskii技术(21牛顿法)(5),我们得到以下的算法。
算法3(牛顿法(3)Samanskii技术)。我们考虑以下。
步骤0。鉴于,,,设置。
步骤1。让。如果,停止。
步骤2。让
。
步骤3。如果,转到步骤6。
步骤4。解出在广义西尔维斯特方程:
第5步。更新,,进入步骤3。
步骤6。更新,步骤1,去。
备注4。在本文中,我们只考虑的情况。如果,然后算法3是算法2。
备注5。迭代(5等)更适合理论分析部分的收敛定理和稳定性分析3和4,而算法2和3更便于数值计算部分5。在实际计算中,西尔维斯特方程可能解决的算法开发的(22]。
虽然算法2和3也是牛顿方法,算法2和3比算法更有效1。算法3特别是,立方收敛速度。
3所示。收敛性定理
引理6(见[23,p . 21])。让是一个从巴拿赫空间(非线性)操作符到自己,让是一个解决方案。如果在邻可微的与,然后迭代,,收敛于,前提是足够接近。
引理7(见[17,p . 45])。让和假设是可逆的,。如果和,然后也是可逆的,
引理8。如果矩阵是满秩的,那么存在吗和这样,,它认为, 在哪里和,F-derivative映射吗定义为(4),。
证明。让,我们选择。
从引理7由此可见,是满秩和为每一个。然后被很好地定义,所以呢,在那里。根据(4),我们有
在哪里。
因此,我们有
定理9。如果(3)有一个非奇异的解决方案和映射是可逆的,然后有一个球吗这样,,序列由算法生成2成平方收敛至少解决方案。
证明。让。泰勒公式在巴拿赫空间(24,p . 67)
因此,F-derivative在是0。由引理6,我们推导出序列生成的迭代(5)收敛于。也获得的序列由算法生成2收敛于。
让,根据和引理7;足够大的,我们有
由引理8,我们有
利用泰勒公式再一次,我们有
因此,
结合(13)- (16),我们有
这意味着序列由算法生成2成平方收敛至少解决方案。
定理10。如果(1)有一个非奇异的解决方案和映射是可逆的,然后有一个球吗这样,,序列由算法生成3收敛至少体积的解决方案。
证明。让。泰勒公式在巴拿赫空间(24,p . 67)
因此,F-derivative在是0。由引理6,我们推导出序列由迭代生成(5)收敛于。也获得的序列由算法生成3收敛于。
让,根据和引理7;足够大的,我们有
由引理8,我们有
利用泰勒公式再一次,我们有
因此,
结合(19)- (22)和定理9,我们有
在哪里。因此,序列由算法生成3收敛至少体积的解决方案。
4所示。稳定性分析
按照(2我们定义一个迭代稳定在一个附近的一个解决方案,如果误差矩阵满足 在哪里是一个线性算子的有界的权力;也就是说,存在一个常数这样,和任意单位的规范,。这意味着一个小扰动中引入一定的步骤将不会被放大在随后的迭代。
注意,这个定义的稳定是一个渐近特性,不同于通常的数值稳定性的概念,涉及全球误差传播,旨在约束最小相对误差在迭代计算。
现在我们考虑迭代(5)和定义误差矩阵;也就是说, 为了简单起见,我们执行一个一阶误差分析;我们省略所有的条款二次错误。平等由二阶条件的象征。
用(25)(5),我们得到 结合(4)我们有 这意味着 省略所有条款中二次错误, 通过使用,我们有 也就是说, 这意味着迭代(5)是自适应;也就是说,这个错误在th迭代不传播()圣迭代。当和没有共同的特征值,特别是矩阵方程有一个独特的解决方案(17,p . 194)。因此,条件下和没有共同的特征值,迭代(5)最优稳定;也就是运算符中定义的(24)正值空符。
5。数值例子
在本节中,我们与我们的算法进行比较。
11 (Denman-Beavers迭代算法9])。考虑
12(按比例缩小的Denman-Beavers迭代算法13])。考虑
13 (Pade迭代算法13])。考虑 在哪里是一个选择的整数:
14(按比例缩小的Pade迭代算法13])。考虑
所有测试执行通过使用MATLAB 7.1个人电脑(奔腾IV / 2.4 G),与机器的精度。这些算法的停止准则的相对剩余错误: 在哪里当前,说th,迭代值。
例1。考虑到矩阵 我们使用的算法1,2,3与和算法11- - - - - -14计算非奇异的根。我们列表的迭代步骤(用”它”),CPU时间(用“CPU”),相对残差(用“犯错”)在表1。
例2。考虑到矩阵 我们使用的算法1,2,3开始的矩阵和算法11- - - - - -14计算非奇异的根。我们在表列出数值结果2。
从表1和2,我们可以看到算法2和3比算法1,11,12,13在迭代步骤和近似精度,算法3优于算法1,2,11- - - - - -14在这两种迭代步骤和近似精度。因此,我们的算法在一些方面比已知的更有效。
6。结论
在本文中,我们提出了两个新算法计算一个矩阵的非奇异的平方根将牛顿法应用于非线性矩阵方程。这些新算法的收敛性定理和稳定性分析。数值例子表明,我们的方法比已知的一个在某些方面更有效。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢编辑和匿名裁判提供非常有用的建议以及教授雪峰段深刻和有益的讨论和建议。这项工作是由中国国家自然科学基金(11101100号,11301107,和11261014)和广西省级自然科学基金(2013号。2012 gxnsfba053006 gxnsfba019009)。