的CS重建条件Undersampled Spectrum-Sparse信号

文摘

压缩感知(CS)重建undersampled spectrum-sparse信号的数据,事实上,一个不适定问题。在本文中,我们在数学上证明,在某些情况下,精确的CS重建spectrum-sparse信号从undersampled数据是不可能的。那么我们现在的确切CS重建条件undersampled spectrum-sparse信号,这对于数字信号压缩是有价值的。

1。介绍

在数字信号处理中,奈奎斯特抽样定理表明,采样率必须两倍模拟信号的带宽至少获取完整信息的信号。限制的定理,这是一个挑战,数字化ultrawide带宽信号(UWB)因为不高的采样率要求模拟-数字转换器(ADC)。另一方面,大规模的抽样数据压缩来节省存储,这意味着许多数据被遗弃的压缩处理。因此,为什么不直接获得信号的压缩数据,而不是样本和超高速度信号,然后放弃大部分的树苗吗?

新兴的压缩传感(CS)理论(1)提供了一种有效的方法来解决这个问题,最近备受关注的(2- - - - - -7]。考虑一个信号假设它是稀疏的正交基与-简约表示(),,在那里是一个列向量,非零元素。让表示测量矩阵和让是信号的测量向量;它可以表示为,在那里是一个矩阵,表示数量的测量。因此,采样率与奈奎斯特率相比显著降低。一般来说,经济复苏的信号从测量是不适定的,因为(8]。然而,CS理论表明,如果有限制等距性质(RIP),那么它确实是可以恢复的最大当足够大(3,9]。很难验证如果测量矩阵满足RIP约束(9直接,但幸运的是,之间不连贯的RIP密切相关和,那里的行不提供的列的稀疏表示吗反之亦然(4]。此外,为了确保精确重建,两个不同的-简约信号可能不被测量矩阵投影到同一个采样合奏(1,2,10]。

当在频谱稀疏,维逆离散傅里叶变换(IDFT)矩阵()可以被选为稀疏表示矩阵()。在这种情况下,一个简单的方法来获得信号的压缩数据是undersample信号采样率低于奈奎斯特率(2]。因此,测量矩阵实际上是部分单位矩阵(11]。重要的是调查压缩传感重建的数学性质对于这种undersampled spectrum-sparse信号。在下面,我们用数学证明的确切CS重建spectrum-sparse信号从undersampled数据在一定条件下是不可能的。为了重建spectrum-sparse信号从undersampled数据准确,相应的确切CS重构条件,这对于数字信号压缩是有价值的。

2。不精确的CS重建情况

当一个信号在频谱稀疏,IDFT矩阵可以选择和部分单位矩阵的稀疏表示矩阵和测量矩阵,分别。通过定义将采样率奈奎斯特速率之间的比例和欠采样率,一个不精确的CS重建情况可以描述为下面的定理。

定理1。假设与奈奎斯特采样率是在频谱域-简约;是一个任意的子集,在那里是将采样率,,,是一个常数,,是所有自然数的集合。不能完全重建CS。

证明。根据的表达,我们有 在哪里是-简约;测量矩阵的大小吗:(2)
方程(1)等价于 在哪里是维DFT矩阵。因为是同分异构地downsampled从,也是稀疏。在(3),我们定义一个新的测量矩阵它可以表示为(4)
根据CS理论,如果满足撕开,可以完全重建。让是th排;我们有 在哪里。因为,根据克莱姆法则方程具有独特的解决方案;也就是说,
让是th元素;它可以获得
这山峰 在哪里设置所有的非负整数。因为,我们有 和是一个自然数;因此 在哪里返回的。当不满足(10),相对很小。它表明,是稀疏的。同样,它可以证明和也稀疏。因此,列可以稀疏表示的吗;也就是说,不满足RIP,不能完全重建。

图1显示的值,,当,,,。很明显,,,稀疏和峰值的位置与理论吻合较好值取决于(10)。

由定理1和它的证据,我们也可以获得以下推论。

推论2。假设与奈奎斯特采样率是在频谱域-简约;是一个任意的子集,在那里是将采样率,,和是一个常数,。让是一个任意的子集;然后不能完全重建CS。

证明。假设的长度是我们有 在哪里是一个部分的单位矩阵。假设的大小是 的解集(1)的解集的一个子集(11)。根据定理1的解决方案(1)不确定;因此,在(11)不能确定不能完全重建。

必然的结果2表明,如果只有一个子集的欠采样信号的设置与采样率低于奈奎斯特采样率,这些采样的信号不能被完全重建的CS。因此,当设计ADC与随机抽样空间、ADC最好拥有的最小采样空间的能力,在那里奈奎斯特速率。从这个意义上讲,美国ADC的采样率要求确实不抑制即使CS理论是利用。

3所示。确切的CS重建条件

在下面,我们现在的确切CS重建条件undersampled spectrum-sparse信号。

定理3。假设与奈奎斯特采样率是在频谱域-简约;和频率的索引非零分谱 。欠采样与速度(,,),分别由所有样品。充分必要条件完全重建的CS是

证明。重建从实际上是要解决以下欠定的方程系统: 在哪里根据采样率是测量矩阵;由采样的与速度。假设解集的频率索引th方程;因为等距downsampling从吗,我们有
因此,解决方案组(13)是
只有在(12)适用的约束下-简约,它的收益率;因此,正是重建。

定理3表明它可以重建一个spectrum-sparse从多重速率的信号完全将采样。这意味着,当条件(12)是满意,可以使用多重速率的将采样压缩数据的数字信号。ADC的结论是有价值的设计当模拟信号先验已知稀疏频谱。

为了验证定理3,一个实验给出如下。在实验中,这个信号与奈奎斯特采样率表示为,。稀疏的在频谱域是3和。的光谱如图2(一个)。让和。因此,我们有

显然,十字路口(16)是。因此,可以完全将采样的重建。在实验中,我们选择正交匹配追踪算法(OMP) (12]重建将采样。由CS重构信号的频谱图所示2 (b),这是非常接近,在图2(一个)。原始信号的比较奈奎斯特采样率和重构信号在时域图2 (c)。从图中,可以发现,重构信号接近原始信号,验证了定理的正确性3。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究支持部分由中国国家自然科学基金会授予和部分61201369和61201369下的陕西省自然科学基金研究项目拨款2013 jq8008。

引用

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