文摘
介绍了最优变分法(OVM技术)和应用计算近似周期解的“真正的非线性振子”。这个过程的主要优势在于,它提供了一种方便的方法来控制近似解的收敛在一个非常严格的方式,允许在必要时调整收敛区域。该方法不依赖于任何小型或大型参数。一个很好的协议被发现之间的近似数值解,证明OVM技术是非常有效和准确的。
1。介绍
众所周知,非线性微分方程的研究仅限于各种特殊类型的方程解的方法通常包括一个或多个技术实现分析近似的解决方案。许多研究人员最近重视发现和开发近似的解决方案。摄动方法已经成功地用来确定弱非线性问题的近似解(1- - - - - -3]。但是使用微扰理论在许多问题是无效的或者它只是分解参数超出某一指定范围。因此,应该开发新的分析技术来克服这些缺点。这样一个新技术应该工作在一个大范围的参数和产量精确解析近似解的覆盖率和能力之外的经典摄动方法。有一个伟大的需要有效的算法来避免传统技术所需的工作,但是很难获得强烈的非线性情况下的收敛结果。
最近,为此提出了许多新方法,如各种修改Lindstedt-Poincare方法(4),一些线性化方法(5,6],Adomian分解方法[7),最优同伦渐近方法(8,9),最优变分迭代法(10),能量平衡法(11),等等。通过构造哈密顿变分原理的非线性振动研究在11]。变分原理在物理和工程因为他们重视建立这些学科之间的联系和他们的应用程序在设计各种近似技术是有用的。变分方法已经和继续成为流行的工具进行非线性分析。他们结合物理的本质洞察问题的解决方案和解决方案获得使用可能试验函数是最好的。众所周知,计算一个拉格朗日动力系统与一般牛顿部队如今只适用于系统的力可诱导的势函数(基本上,保守系统)。严格地说,保守的动力系统不存在在我们的牛顿的环境。因此,保守的拉格朗日表示牛顿系统一般只有一个物理现实的粗略近似值。拉格朗日的存在的问题,哈密顿,或者Routhian可以今天的现代研究和复杂的数学工具,包括使用功能分析,延伸理论,微分几何,引用只有几个。这个问题被称为“牛顿力学反问题”(12),包括识别的构建拉格朗日方法,哈密顿,或者Routhian形式给定的运动方程。
在本文中,我们建立精确的近似周期解和所谓的真正的非线性振荡器的频率(TNO)。后Mickens和Oyedeji13,14),最一般的形式TNO由下列微分方程给出: 的点表示变量的导数吗,是一个积极的任意参数,功能和属性: 和没有对小主导词成正比。
在目前的工作中,我们考虑,因此真正非线性振荡器的建模的非线性微分方程如下: 受初始条件 在哪里,,已知参数。
在(3),不存在小或大参数。
2。最优变分法的基本思想和解决方案
为了开发OVM技术的一个应用,我们认为以下微分方程: 的初始条件(4),是一个任意的奇函数。
引入一个新的独立变量和一个新的未知作为 在哪里系统的频率(5),那么这就变成了 在哪里'表示对新变量的导数。
初始条件(4)成为
的变分原理(7)可以很容易地建立如果存在一个函数 承认为极值的解决方案(7)和(8),是系统的拉格朗日(7):
这个函数由方程给出
我们假设的近似周期解(7)和(8)可以表示为 在哪里在这一刻,是任意的未知数吗是一个正整数的数字。选择解决方案(12)已经按照属性(2)。
应用里茨法(9),我们需要
从(14(8)和从初始条件1),就 我们可以获得最优参数,,频率。
我们的话,近似解的选择(12)不是独一无二的。我们可以选择另一个表达式近似周期解的形式 等等。与参数(称为convergence-control参数)和频率知道,近似周期解是确定。
说明了该方法的有效性在TNO由(3)。使用转换(6),方程(3可以书面形式) 和拉格朗日成为
如果我们考虑到(12),那么近似周期解
计算中间到(18)我们用级数展开15]: 在哪里。如果我们表示在哪里是由(19),然后使用关系 与,,我们可以写先后
我们备注的近似(19计算),有四件事:convergence-control参数的最佳值,,,频率。可以看到,方程的复杂性,只有数值解可以找到特定的参数值,,,这将进一步发展。
3所示。数值例子
为了显示OVM技术的有效性和准确性,我们考虑下面的情况。(1)在第一种情况下,我们考虑和我们获得 的近似解(3)成为 的价值通过数值积分得到。(2)在第二种情况下,和我们有 因此近似解 在这种情况下,价值的通过数值积分得到。(3)在第三个案例中,我们考虑和因此 的近似解(3)可以写成 频率的数值积分的结果在这种情况下。(4)在的情况下和我们得到了 的近似解(3)将 通过数值积分,我们在这种情况下,频率。(5)为和,我们获得 的近似解(3)成为 在这种情况下,数值积分结果的频率。(6)在过去的情况下,我们考虑和因此 的近似解(3)成为 比较的目的,系统的频率获得直接数值积分。
数据1,2,3,4,5,6现在比较目前的解决方案(27)- (37),分别和数值积分的结果(3)和(4)。因此,它更容易强调结果的准确性,因为在这些图形表征,分析结果通过OVM技术与数值的几乎相同的。近似OVM技术获得的频率也在与通过数值积分得到很好的协议,这也证明了近似结果的有效性。
4所示。结论
在本文中,我们介绍了最优的变分方法,提出一种新的分析TNO近似周期解。我们的程序是有效的,即使非线性方程不包含小或大的参数。OVM技术为我们提供了一个简单的和严格的控制和调整解决方案的收敛性通过几个convergence-control参数值的优化确定。这是快速和有效的新方法,我们通过比较证明它的近似周期解与数值积分和频率通过该方法获得的结果。之间的一个很好的协议已经证明分析和数值积分的结果,还有大型的初始振幅值,验证了该方法的有效性。该过程也可以用于发现其他类保守的振子的解析逼近解。
方法的主要优势在于,它为我们提供了一个伟大的自由选择的近似周期解依赖于最初任意数量的未知参数。有趣的是评论,不同于其他已知的近似方法适用于此类问题(如谐波平衡方法,多尺度方法,等等),频率系统的不加一些条件以避免世俗的条款,这是一个通常的程序在其他方法,但是这个频率结果直接从条件最小化剩余功能以及初始条件。
承认
这项工作由CNCS-UEFISCDI支持,项目没有。pn - ii - id - pce - 2012 - 4 - 0358。