文摘
通过使用Sherman-Morrison-Woodbury公式,我们引入一个预调节器广义鞍点问题的基于参数化分割的想法可能是单数和非对称。通过预处理矩阵特征值的分析,我们发现,当α足够大,它有一个特征值和多样性至少1吗,剩下的特征值都是位于单位圆集中在1。特别是,当预调节器用于广义鞍点问题,它保证特征值在1相同的多样性,剩下的特征值会1作为参数。因此,这可能会导致一个很好的收敛当一些gmr用于维子空间迭代方法。斯托克斯问题的数值结果和奥新问题提出来说明预调节器的行为。
1。介绍
在科学和工程应用,如有限元方法求解偏微分方程(1,2)和计算流体动力学(3,4),我们经常考虑解决方案的广义鞍点问题的形式 在哪里,,半正定,,。当,(1)是一个广义鞍点问题也为许多作者研究对象。
众所周知,当矩阵,大而稀疏,迭代的方法比直接的方法更有效和有吸引力的假设(1)有一个很好的预调节器。近年来,大量的预处理技术的出现为解决线性系统;例如,Saad [5和陈6)全面调查了一些经典的预处理技术,包括ILU预调节器,三角形预调节器,SPAI预调节器,多级递归舒尔补充预调节器,稀疏的小波预处理。特别是,许多预处理方法鞍最近提出问题,如维分裂(DS) [7),放松维分解(RDF) (8],[分割预处理9[],埃尔米特和斜厄密分裂预处理10]。
在这些结果中,曹et al。9)分裂的想法给预调节器用于鞍点问题的矩阵是对称的正定和的完整行秩。根据他的预处理,预处理算子的特征值矩阵会时参数。因此,正如我们已经看到的例子(9),预调节器保证了良好的收敛一些迭代方法时使用。
在这篇文章中,被[动机9),我们使用的分裂思想提出预调节器系统(1),可能非对称和奇异(什么时候)。我们发现,当参数是足够大,预处理算子矩阵的特征值与多样性至少1,剩下的特征值都是位于单位圆集中在1。特别是当precondidtioner用于一些广义鞍点问题(即),我们看到的多样性特征值至少1是也,但剩下的特征值会1作为参数。
本文的其余部分组织如下。节2基于分裂思想,我们提出我们的预处理和分析预处理算子矩阵的特征值的绑定。节3中,我们使用一些数值例子显示新的预处理的行为。最后,我们得出一些结论和大纲我们未来工作的部分4。
2。参数化分割预调节器
现在我们考虑使用分割概念的可变参数提出预调节器系统(1)。
首先,很明显,当系统(1)等价于 让 的系数矩阵(2可以表达的。增加双方的系统(2)从左边矩阵,我们有 因此,我们从(先决条件获得一个线性系统1)使用分裂的概念和相应的预调节器 现在我们分析预处理算子的特征值系统(4)。
定理1。预处理矩阵有一个特征值和多样性至少1吗。剩下的特征值满足 在哪里,满足
证明。因为
我们可以很容易地得到
这意味着预处理矩阵有一个特征值和多样性至少1吗。
剩下的特征值,让
与;然后我们有
乘以两边留下的平等,我们可以得到
这就完成了定理的证明1。
备注2。从定理1我们可以得到,当参数足够大,nonnil模量特征值将位于区间。
备注3。在定理1,如果矩阵,然后nonnil特征值
数据1,2,3是预处理算子矩阵的特征值的阴谋获得预调节器。在下列数值实验中,我们可以看出这种好现象有助于加速收敛的迭代方法维子空间。
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
此外,为了实际执行我们的预调节器 我们应该有效地处理的计算。这可以解决的著名Sherman-Morrison-Woodbury公式: 在哪里,可逆矩阵,,任何矩阵,任何正整数。
从(15我们立即得到 在接下来的数值例子我们将始终使用(16)来计算在(14)。
3所示。数值例子
在本节中,我们给出数值实验来说明我们的预调节器的行为。数值实验是通过使用MATLAB 7.1。线性系统是通过使用有限元方法在斯托克斯问题和稳定的奥新问题,他们分别的情况下(1) ,这是由于使用Q2-Q1有限元法;(2) ,这是由于使用Q1-P0有限元法。
此外,我们比较我们的预调节器与(9在一般的情况下鞍点问题(即)。广义鞍点问题,9提出了预调节器 与作为一个参数,并证明当是对称的正定,预处理矩阵特征值1和多样性,剩下的特征值满足 在哪里,都是积极的矩阵的奇异值。
所有这些系统可以通过使用广义国际金融机构软件包(11(这是一个免费的包,可以从网站上下载http://www.maths.manchester.ac.uk/ dj /国际金融机构)。我们使用重启gmr维多(20)的子空间方法,和我们总是零初始猜测。停止的标准是 在哪里的残余向量迭代。
在整个计算过程中,我们总是取代在(14)和(16)和使用因式分解解决,在那里是一种相应的向量的迭代。具体地说,让;然后我们完成的乘积通过在MATLAB的术语。在以下表、符号规范(,来回)意味着弗罗贝尼乌斯的矩阵形式。陆总时间的总和时间和迭代时间,陆和时间计算LU分解的时间。
情况下1(我们的预调节器)。在斯托克斯(使用Q2-Q1有限元问题和稳定的奥新问题具有不同的粘度系数。结果在表中1,2,3,4)。
情况下1”(预调节器的9])。在斯托克斯(使用Q2-Q1有限元问题和稳定的奥新问题具有不同的粘度系数。结果在表中5,6,7,8)。
情况下2。 在斯托克斯(使用Q1-P0有限元问题和稳定的奥新问题具有不同的粘度系数。结果在表中9,10,11,12)。
从表1,2,3,4,5,6,7,8我们可以看到,这些结果与理论分析一致(13)和(19),分别。此外,与表中的结果进行比较9,10,11,12,我们发现,尽管案例1中使用的迭代的预调节器((9]或预调节器)小于2,所花费的时间的情况下1比2的情况。这是因为由Q2-Q1有限元系数矩阵广义的密度远远大于由Q1-P0广义有限元法。这可以在一定程度上说明了表13和14同样,和其他人可以演示。
4所示。结论
在本文中,我们介绍了求解广义鞍点的一种分割预处理系统。理论分析表明预处理算子矩阵的特征值的模量将位于区间当参数是足够大的。特别是在子矩阵,特征值会1作为参数。这些表演是由一些例子进行测试,结果与理论分析一致。
未来仍有一些工作要做:如何正确选择参数预先处理,矩阵有更好的属性?如何进一步前提子矩阵改善我们的预调节器吗?
确认
作者会表达他们的感谢裁判和编辑p . n . Shivakumar教授对他们有用的建议修改本文。作者要感谢h . c . Elman, a .鲸和d·j·西尔维斯特的免费国际金融机构的软件包。这项研究是由中国大学专业博士学科点专项基金项目(20110185110020),四川省科学。&技术。研究项目(2012 gzx0080),中央大学和基础研究基金。