我们引入一个显式迭代方案计算一系列近扩张映射的公共不动点的映射定义在一个封闭的凸子集的一个真正的希尔伯特空间也是一个解决方案的一个变分不等式问题。我们证明生成的序列的强收敛定理认为迭代计划在合适的条件下。我们的强收敛定理扩展和提高几个几乎扩张映射上下文中的相应结果。
<年代p一个nclass="end-abs">
1。介绍
让<年代vg height="10.6125" id="M1" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的一个真正的希尔伯特空间的子集<年代vg height="10.325" id="M2" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
与内积<年代vg height="14.6" id="M3" style="vertical-align:-2.67102pt;width:28.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.075001 14.6" width="28.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⟨
⋅
,
⋅
⟩
和规范<年代vg height="13.8625" id="M4" style="vertical-align:-2.37006pt;width:27.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.887501 13.8625" width="27.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为
⋅
为
,分别。一个映射<年代vg height="10.625" id="M5" style="vertical-align:-0.16302pt;width:80.537498px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.537498 10.625" width="80.537498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
被称为:<年代p一个nclass="list">(1)<年代p一个nclass="list-content">单调如果<年代p一个nclass="equation" id="eq1">
(2)<年代p一个nclass="list-content">
- - - - - -<我>强单调如果存在一个正实数<年代vg height="9.875" id="M8" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这样<年代p一个nclass="equation" id="eq2">
(3)<年代p一个nclass="list-content">
- - - - - -<我>Lipschitzian如果存在一个常数<年代vg height="11.0625" id="M11" style="vertical-align:-0.30096pt;width:35.799999px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.799999 11.0625" width="35.799999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
这样<年代p一个nclass="equation" id="eq3">
(4)<年代p一个nclass="list-content">扩张如果<年代p一个nclass="equation" id="eq4">
(5)<年代p一个nclass="list-content">近扩张(<一个href="#B1">1,<一个href="#B2">2对于一个固定的序列<年代vg height="14.6625" id="M14" style="vertical-align:-3.13504pt;width:29.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.0625 14.6625" width="29.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
n
}
在<年代vg height="13.45" id="M15" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
与<年代vg height="14.6875" id="M16" style="vertical-align:-3.20526pt;width:50.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.212502 14.6875" width="50.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
0
如果<年代p一个nclass="equation" id="eq5">
在[<一个href="#B3">3],Moudafi提出粘度近似方法,选择某一给定扩张映射的不动点在希尔伯特空间(见[<一个href="#B4">4]为进一步发展在希尔伯特和巴拿赫空间)。让<年代vg height="13.4875" id="M18" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个收缩在<年代vg height="10.325" id="M19" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。从任意初始<年代vg height="14.2375" id="M20" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.25 14.2375" width="49.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,定义一个序列<年代vg height="14.75" id="M21" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
递归的<年代p一个nclass="equation" id="EEq1.1">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M23" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M24" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
。它证明了在<一个href="#B4">4在适当的条件下,对<年代vg height="14.75" id="M25" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
,序列<年代vg height="14.75" id="M26" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
由(<一个href="#EEq1.1">1.6)强烈收敛于独特的解决方案<年代vg height="11.95" id="M27" style="vertical-align:-0.33858pt;width:46.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 46.1875 11.95" width="46.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∗
∈
的变分不等式<年代p一个nclass="equation" id="eq7">
在哪里<年代vg height="13.45" id="M29" style="vertical-align:-2.21957pt;width:58.662498px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.662498 13.45" width="58.662498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
)
固定的集合点<年代vg height="10.325" id="M30" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。
在2006年,马里诺和徐<一个href="#B5">5]介绍了粘度扩张映射的迭代方法。从任意初始<年代vg height="14.2375" id="M31" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.25 14.2375" width="49.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,定义一个序列<年代vg height="14.75" id="M32" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
递归的<年代p一个nclass="equation" id="EEq1.2">
他们证明了序列<年代vg height="14.75" id="M34" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
由(<一个href="#EEq1.2">1.8)强烈收敛变分不等式的唯一解<年代p一个nclass="equation" id="eq9">
最小化问题的最优性条件是什么<年代p一个nclass="equation" id="eq10">
在哪里<年代vg height="10.95" id="M37" style="vertical-align:-0.1254pt;width:9.1374998px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.1374998 10.95" width="9.1374998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
是一个潜在的功能<年代vg height="13.4875" id="M38" style="vertical-align:-2.34499pt;width:18.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.612499 13.4875" width="18.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(例如,<年代vg height="13.725" id="M39" style="vertical-align:-2.34499pt;width:87.675003px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.675003 13.725" width="87.675003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
′
(
)
=
(
)
对所有<年代vg height="10.75" id="M40" style="vertical-align:-0.33858pt;width:43.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.162498 10.75" width="43.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
),<年代vg height="10.55" id="M41" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是强烈积极的有界的线性算子<年代vg height="10.325" id="M42" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
;也就是说,有一个常数<年代vg height="15.1" id="M43" style="vertical-align:-2.34499pt;width:35.262501px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.262501 15.1" width="35.262501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
这样<年代p一个nclass="equation" id="eq11">
迭代法的应用(<一个href="#EEq1.2">1.8)已经被一些研究者研究(见[<一个href="#B6">6,<一个href="#B7">7])。
同时,王(<一个href="#B8">8,<一个href="#B9">9和王、胡<一个href="#B10">10]介绍了扩张映射的迭代方法。
最近,田(<一个href="#B11">11)提出了一个隐式和显式方案相结合的迭代方法马里诺和徐<一个href="#B5">5和山田<一个href="#B12">12]。他还证明了这两个方案的强收敛扩张映射的不动点的映射<年代vg height="10.325" id="M45" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在合适的条件下真正的希尔伯特空间上定义。
最近,蹭et al。<一个href="#B13">13]介绍了隐式和显式方案使用的属性寻找扩张映射的不动点的投影映射定义在闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。他们也证明了生成的序列的强收敛提出计划扩张映射的不动点也变分不等式的解的集合上定义固定的点。
青山et al。<一个href="#B14">14]证明了强收敛扩张映射序列的迭代计划如下。
<年代p一个nclass="statement" id="thm1.1">定理1.1。<我>让<年代vg height="10.325" id="M46" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个一致凸的巴拿赫空间的规范统一而后可微和C是一个非空的封闭的凸子集<年代vg height="10.325" id="M47" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="14.75" id="M48" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列的扩张映射的映射<年代vg height="10.6125" id="M49" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到自己这样<年代vg height="17.487499" id="M50" style="vertical-align:-3.84473pt;width:96.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.137497 17.487499" width="96.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
∞
=
1
(
)
≠
∅
。让<年代vg height="10.325" id="M51" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的一个映射<年代vg height="10.6125" id="M52" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为自己定义的<年代vg height="14.8" id="M53" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9875 14.8" width="115.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
l
我
米
→
∞
对所有<年代vg height="10.85" id="M54" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
和<年代vg height="17.487499" id="M55" style="vertical-align:-3.84473pt;width:116.3625px;" version="1.1" viewbox="0 0 116.3625 17.487499" width="116.3625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
(
)
=
∞
=
1
(
)
。让<年代vg height="14.75" id="M56" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="10.6125" id="M57" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="eq12">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M59" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.125" id="M60" style="vertical-align:-1.95624pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.125" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
]
满足下列条件:<年代p一个nclass="list">(一)<年代p一个nclass="list-content">
和<年代vg height="17.3375" id="M62" style="vertical-align:-3.78203pt;width:84.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.150002 17.3375" width="84.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
=
∞
;(b)<年代p一个nclass="list-content">要么<年代vg height="17.3375" id="M63" style="vertical-align:-3.78203pt;width:135.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 135.2625 17.3375" width="135.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
|
+
1
−
|
<
∞
或<年代vg height="14.6875" id="M64" style="vertical-align:-3.20526pt;width:66.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.3125 14.6875" width="66.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
]
和<年代vg height="15.15" id="M65" style="vertical-align:-3.49493pt;width:129.16251px;" version="1.1" viewbox="0 0 129.16251 15.15" width="129.16251" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
+
1
/
=
1
;(c)<年代p一个nclass="list-content">
对于任何有界的子集<年代vg height="10.325" id="M67" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的<年代vg height="10.6125" id="M68" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。
然后,序列<年代vg height="14.75" id="M69" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="12.925" id="M70" style="vertical-align:-1.90608pt;width:20.924999px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.924999 12.925" width="20.924999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,在那里<年代vg height="12.925" id="M71" style="vertical-align:-1.90608pt;width:12.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.325 12.925" width="12.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是阳光明媚的扩张收缩的<年代vg height="10.325" id="M72" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到<年代vg height="13.45" id="M73" style="vertical-align:-2.21957pt;width:28.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.7875 13.45" width="28.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
。
让<年代vg height="10.6125" id="M74" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的一个真正的希尔伯特空间的子集<年代vg height="10.325" id="M75" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="14.8625" id="M76" style="vertical-align:-3.20526pt;width:71.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.412498 14.8625" width="71.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
=
{
}
是一个序列的映射<年代vg height="10.6125" id="M77" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为本身。我们表示<年代vg height="13.625" id="M78" style="vertical-align:-2.21957pt;width:34.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.450001 13.625" width="34.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
序列的公共不动点的集合<年代vg height="11.1" id="M79" style="vertical-align:-0.1881pt;width:14.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.375 11.1" width="14.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,也就是说,<年代vg height="17.487499" id="M80" style="vertical-align:-3.84473pt;width:122.025px;" version="1.1" viewbox="0 0 122.025 17.487499" width="122.025" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
(
)
=
∞
=
1
(
)
。修复一个序列<年代vg height="14.75" id="M81" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.0375 14.75" width="29.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
在<年代vg height="13.45" id="M82" style="vertical-align:-2.21957pt;width:39.337502px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.337502 13.45" width="39.337502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
∞
)
与<年代vg height="14.6875" id="M83" style="vertical-align:-3.20526pt;width:50.212502px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.212502 14.6875" width="50.212502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
0
,让<年代vg height="14.75" id="M84" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列的映射<年代vg height="10.6125" id="M85" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
成<年代vg height="10.325" id="M86" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。然后,序列<年代vg height="14.75" id="M87" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
被称为<我>近乎扩张映射的映射(<一个href="#B15">15对一个序列<年代vg height="14.75" id="M88" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.0375 14.75" width="29.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
如果<年代p一个nclass="equation" id="eq13">
很明显,几乎扩张映射序列的映射是一个更广泛的类扩张映射序列的映射。
在这篇文章中,灵感来自青山et al。<一个href="#B14">14),曾et al。<一个href="#B13">13],Sahu et al。<一个href="#B15">15),我们引入一个显式迭代计划和证明计算元素的强收敛定理<年代vg height="13.625" id="M90" style="vertical-align:-2.21957pt;width:34.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.450001 13.625" width="34.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
组公共不动点的一个序列<年代vg height="14.8625" id="M91" style="vertical-align:-3.20526pt;width:63.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.424999 14.8625" width="63.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
{
}
近扩张映射的映射也变分不等式的解<年代vg height="13.625" id="M92" style="vertical-align:-2.21957pt;width:34.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.450001 13.625" width="34.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
。我们的结果推广和改进了蹭的结果等。<一个href="#B13">13,田<一个href="#B11">11),和许多其他相关的工作。
2。预赛
在这篇文章中,我们表示<年代vg height="10.325" id="M93" style="vertical-align:-0.0pt;width:9.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.0375004 10.325" width="9.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的标识符<年代vg height="10.325" id="M94" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。同时,我们表示<年代vg height="7.125" id="M95" style="vertical-align:-0.0pt;width:19.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.8125 7.125" width="19.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
和<年代vg height="7.8499999" id="M96" style="vertical-align:-0.0pt;width:19.387501px;" version="1.1" viewbox="0 0 19.387501 7.8499999" width="19.387501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⇀
分别强收敛和弱收敛。符号<年代vg height="10.475" id="M97" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.0375 10.475" width="11.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℕ
代表所有自然数的集合。
让<年代vg height="10.6125" id="M98" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M99" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。然后,对任何<年代vg height="10.75" id="M100" style="vertical-align:-0.33858pt;width:43.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.162498 10.75" width="43.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,存在一个独特的最近的点<年代vg height="10.6125" id="M101" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,用<年代vg height="14.725" id="M102" style="vertical-align:-3.24037pt;width:37.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.25 14.725" width="37.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
,这样<年代p一个nclass="equation" id="eq14">
映射<年代vg height="14.375" id="M104" style="vertical-align:-3.24037pt;width:18.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.25 14.375" width="18.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
被称为<我>度量投影从<年代vg height="10.325" id="M105" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到<年代vg height="10.6125" id="M106" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(见[<一个href="#B1">1])。
让<年代vg height="10.6125" id="M107" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的一个真正的希尔伯特空间的子集<年代vg height="10.325" id="M108" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="14.3375" id="M109" style="vertical-align:-3.13504pt;width:107.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 107.8375 14.3375" width="107.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
2
∶
→
是两个映射。我们表示<年代vg height="13.625" id="M110" style="vertical-align:-2.21957pt;width:35.862499px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.862499 13.625" width="35.862499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℬ
(
)
,所有有界的子集的集合<年代vg height="10.6125" id="M111" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。之间的偏差<年代vg height="14.2375" id="M112" style="vertical-align:-3.13504pt;width:14.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.8125 14.2375" width="14.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="14.2375" id="M113" style="vertical-align:-3.13504pt;width:14.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.8125 14.2375" width="14.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
在<年代vg height="13.625" id="M114" style="vertical-align:-2.21957pt;width:66.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.137497 13.625" width="66.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
ℬ
(
)
,用<年代vg height="14.775" id="M115" style="vertical-align:-3.13504pt;width:68.925003px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.925003 14.775" width="68.925003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
,
2
)
,被定义为<年代p一个nclass="equation" id="eq15">
需要以下引理证明我们的主要结果。
<年代p一个nclass="statement" id="lem2.1">引理2.1(见[<一个href="#B16">16])。<我>度量投影映射<年代vg height="14.375" id="M117" style="vertical-align:-3.24037pt;width:18.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.25 14.375" width="18.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
具有以下属性:<年代p一个nclass="list">(一)<年代p一个nclass="list-content">
对所有<年代vg height="10.75" id="M119" style="vertical-align:-0.33858pt;width:43.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.162498 10.75" width="43.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
;(b)<年代p一个nclass="list-content">
对所有<年代vg height="10.75" id="M121" style="vertical-align:-0.33858pt;width:43.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.162498 10.75" width="43.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
和<年代vg height="13.2875" id="M122" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39px;" version="1.1" viewbox="0 0 39 13.2875" width="39" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
;(c)<年代p一个nclass="list-content">
对所有<年代vg height="10.75" id="M124" style="vertical-align:-0.33858pt;width:43.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.162498 10.75" width="43.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
和<年代vg height="13.2875" id="M125" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39px;" version="1.1" viewbox="0 0 39 13.2875" width="39" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
;(d)<年代p一个nclass="list-content">
对所有<年代vg height="13.1875" id="M127" style="vertical-align:-2.29482pt;width:57.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.424999 13.1875" width="57.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∈
。
引理2.2(见[<一个href="#B13">13])。<我>让<年代vg height="10.675" id="M128" style="vertical-align:-0.20064pt;width:80.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.9375 10.675" width="80.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.325" id="M129" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射和<年代vg height="10.625" id="M130" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M131" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M132" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子。然后,对于<年代vg height="13.6125" id="M133" style="vertical-align:-2.34499pt;width:83.050003px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.050003 13.6125" width="83.050003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,<年代p一个nclass="equation" id="eq16">
也就是说,<年代vg height="13.25" id="M135" style="vertical-align:-2.34499pt;width:57.400002px;" version="1.1" viewbox="0 0 57.400002 13.25" width="57.400002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
强烈和系数单调吗<年代vg height="13.25" id="M136" style="vertical-align:-2.34499pt;width:54.112499px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.112499 13.25" width="54.112499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
。
引理2.3(见[<一个href="#B12">12])。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M137" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的一个真正的希尔伯特空间的子集<年代vg height="10.325" id="M138" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。假设<年代vg height="13.45" id="M139" style="vertical-align:-2.21957pt;width:60.512501px;" version="1.1" viewbox="0 0 60.512501 13.45" width="60.512501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
)
和<年代vg height="13.55" id="M140" style="vertical-align:-2.29482pt;width:36.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.849998 13.55" width="36.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
。让<年代vg height="10.625" id="M141" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M142" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M143" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子在<年代vg height="10.6125" id="M144" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。定义的映射<年代vg height="10.7625" id="M145" style="vertical-align:-0.16302pt;width:83.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.412498 10.7625" width="83.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
通过<年代p一个nclass="equation" id="eq17">
然后<年代vg height="10.75" id="M147" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.9125 10.75" width="11.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是收缩提供<年代vg height="16.7125" id="M148" style="vertical-align:-2.29482pt;width:63.5625px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.5625 16.7125" width="63.5625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<
2
/
2
。更准确地说,<年代vg height="16.7125" id="M149" style="vertical-align:-2.29482pt;width:88.300003px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.300003 16.7125" width="88.300003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
2
/
2
)
,<年代p一个nclass="equation" id="eq18">
在哪里<年代vg height="20.4125" id="M151" style="vertical-align:-2.43468pt;width:222.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 222.175 20.4125" width="222.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
1
−
1
−
(
2
−
2
)
∈
(
0
,
1
]
。
引理2.4(见[<一个href="#B1">1])。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M152" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M153" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="10.625" id="M154" style="vertical-align:-0.16302pt;width:77.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 77.224998 10.625" width="77.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个扩张映射的映射。然后<年代vg height="10.325" id="M155" style="vertical-align:-0.0pt;width:36.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.375 10.325" width="36.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
demiclosed为零;也就是说,如果<年代vg height="14.75" id="M156" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="10.6125" id="M157" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
弱收敛一些<年代vg height="10.85" id="M158" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
和序列<年代vg height="14.75" id="M159" style="vertical-align:-3.20526pt;width:73.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.9375 14.75" width="73.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
(
−
)
}
强烈收敛<年代vg height="10.9125" id="M160" style="vertical-align:-0.17555pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 10.9125" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
,然后<年代vg height="13.45" id="M161" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.775002 13.45" width="56.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
。
引理2.5(见[<一个href="#B17">17])。<我>假设<年代vg height="14.75" id="M162" style="vertical-align:-3.20526pt;width:26.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 26.075001 14.75" width="26.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个非负实数序列,这样<年代p一个nclass="equation" id="eq19">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M164" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
和<年代vg height="14.75" id="M165" style="vertical-align:-3.20526pt;width:28.887501px;" version="1.1" viewbox="0 0 28.887501 14.75" width="28.887501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
的非负实数序列满足下列条件:<年代p一个nclass="list">(一)<年代p一个nclass="list-content">
和<年代vg height="17.3375" id="M168" style="vertical-align:-3.78203pt;width:84.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.150002 17.3375" width="84.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
=
∞
;(b)<年代p一个nclass="list-content">
,或(b)<年代p一个nclass="list-content">
是收敛的。然后<年代vg height="14.8" id="M171" style="vertical-align:-3.20526pt;width:94.300003px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.300003 14.8" width="94.300003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
=
0
。
引理2.6(见[<一个href="#B18">18])。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M172" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M173" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="14.7125" id="M174" style="vertical-align:-3.2316pt;width:39.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.8125 14.7125" width="39.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
。<年代vg height="13.45" id="M175" style="vertical-align:-2.21957pt;width:121.0125px;" version="1.1" viewbox="0 0 121.0125 13.45" width="121.0125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
=
1
,
2
,
3
,
…
,
)
这样<年代vg height="19.799999" id="M176" style="vertical-align:-3.80836pt;width:73.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.6875 19.799999" width="73.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
=
1
=
1
。让<年代vg height="14.4875" id="M177" style="vertical-align:-3.25793pt;width:176.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 176.5 14.4875" width="176.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
2
,
3
,
…
,
∶
→
扩张映射等<年代vg height="19.9625" id="M178" style="vertical-align:-3.87106pt;width:92.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 92.0625 19.9625" width="92.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
=
1
(
)
≠
∅
,让<年代vg height="19.799999" id="M179" style="vertical-align:-3.80836pt;width:87.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.087502 19.799999" width="87.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
=
=
1
。然后<年代vg height="10.325" id="M180" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
扩张的<年代vg height="10.6125" id="M181" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为自己和<年代vg height="19.9625" id="M182" style="vertical-align:-3.87106pt;width:112.3px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.3 19.9625" width="112.3" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
(
)
=
=
1
(
)
。
3所示。主要结果
定理3.1。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M183" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M184" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="10.625" id="M185" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M186" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M187" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子和<年代vg height="10.675" id="M188" style="vertical-align:-0.20064pt;width:80.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.9375 10.675" width="80.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.325" id="M189" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射。让<年代vg height="14.8625" id="M190" style="vertical-align:-3.20526pt;width:63.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.424999 14.8625" width="63.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
{
}
是一个近扩张映射序列<年代vg height="10.6125" id="M191" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到自己对一个序列<年代vg height="14.75" id="M192" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.0375 14.75" width="29.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
这样<年代vg height="13.625" id="M193" style="vertical-align:-2.21957pt;width:62.275002px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.275002 13.625" width="62.275002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≠
∅
和<年代vg height="10.325" id="M194" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的一个映射<年代vg height="10.6125" id="M195" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为自己定义的<年代vg height="14.8" id="M196" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9875 14.8" width="115.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
l
我
米
→
∞
对所有<年代vg height="10.85" id="M197" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。假设<年代vg height="16.7125" id="M198" style="vertical-align:-2.29482pt;width:190.075px;" version="1.1" viewbox="0 0 190.075 16.7125" width="190.075" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
)
,
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M199" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.724998 13.6125" width="73.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,在那里<年代vg height="20.4125" id="M200" style="vertical-align:-2.43468pt;width:170.2375px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.2375 20.4125" width="170.2375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
1
−
1
−
(
2
−
2
)
。对于一个任意<年代vg height="14.3375" id="M201" style="vertical-align:-3.13504pt;width:45.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.9375 14.3375" width="45.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,考虑到序列<年代vg height="14.75" id="M202" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
在<年代vg height="10.6125" id="M203" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="EEq3.1">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M205" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M206" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
满足条件:<年代p一个nclass="list">(一)<年代p一个nclass="list-content">
和<年代vg height="17.3375" id="M208" style="vertical-align:-3.78203pt;width:84.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.150002 17.3375" width="84.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
=
∞
;(b)<年代p一个nclass="list-content">要么<年代vg height="17.3375" id="M209" style="vertical-align:-3.78203pt;width:135.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 135.2625 17.3375" width="135.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
|
+
1
−
|
<
∞
或<年代vg height="15.15" id="M210" style="vertical-align:-3.49493pt;width:134.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 134.375 15.15" width="134.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
+
1
/
=
1
;(c)<年代p一个nclass="list-content">要么<年代vg height="17.3375" id="M211" style="vertical-align:-3.78203pt;width:151.60001px;" version="1.1" viewbox="0 0 151.60001 17.3375" width="151.60001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
∞
=
1
(
,
+
1
)
<
∞
或<年代vg height="15.2125" id="M212" style="vertical-align:-3.49493pt;width:196.6125px;" version="1.1" viewbox="0 0 196.6125 15.2125" width="196.6125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
(
,
+
1
)
/
+
1
=
0
为每一个<年代vg height="13.625" id="M213" style="vertical-align:-2.21957pt;width:66.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 66.137497 13.625" width="66.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
ℬ
(
)
;(d)<年代p一个nclass="list-content">
。然后,序列<年代vg height="14.75" id="M215" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="13.625" id="M216" style="vertical-align:-2.21957pt;width:62.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.424999 13.625" width="62.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
∈
(
)
,在那里<年代vg height="10.2375" id="M217" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.2375" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
变分不等式的独特解决方案吗<年代p一个nclass="equation" id="EEq3.2">
证明。让<年代vg height="10.325" id="M219" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的一个映射<年代vg height="10.6125" id="M220" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为自己定义的<年代vg height="14.8" id="M221" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9875 14.8" width="115.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
l
我
米
→
∞
对所有<年代vg height="10.85" id="M222" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。很明显,<年代vg height="10.325" id="M223" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个扩张映射的映射。所以,我们有<年代vg height="13.45" id="M224" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.612499 13.45" width="56.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≠
∅
。现在,我们继续下面的步骤。
步骤1。(<年代vg height="14.75" id="M225" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是有界的。让<年代vg height="13.625" id="M226" style="vertical-align:-2.21957pt;width:61.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.637501 13.625" width="61.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
。从(<一个href="#EEq3.1">3所示。1),我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq22">
请注意,<年代vg height="14.8" id="M228" style="vertical-align:-3.20526pt;width:121.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 121.0625 14.8" width="121.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
/
=
0
,所以存在一个常数<年代vg height="11.0625" id="M229" style="vertical-align:-0.30096pt;width:39.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.237499 11.0625" width="39.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
这样<年代p一个nclass="equation" id="eq23">
因此,我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq24">
因此,<年代vg height="14.75" id="M232" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是有界的。所以<年代vg height="14.75" id="M233" style="vertical-align:-3.20526pt;width:44.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.4375 14.75" width="44.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
和<年代vg height="14.75" id="M234" style="vertical-align:-3.20526pt;width:38.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.775002 14.75" width="38.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是有界的。
步骤2。(<年代vg height="15.2625" id="M235" style="vertical-align:-3.49493pt;width:112.575px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.575 15.2625" width="112.575" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为
+
1
−
为
→
0
作为<年代vg height="7.25" id="M236" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
∞
)。从(<一个href="#EEq3.1">3所示。1),我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq25">
为一个常数<年代vg height="11.0625" id="M238" style="vertical-align:-0.30096pt;width:43.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 43.037498 11.0625" width="43.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
。因此,使用引理<一个href="#lem2.5">2.5,我们得到<年代vg height="15.2625" id="M239" style="vertical-align:-3.49493pt;width:112.575px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.575 15.2625" width="112.575" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为
+
1
−
为
→
0
作为<年代vg height="7.25" id="M240" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
∞
。
步骤3。我们有(<年代vg height="14.9" id="M241" style="vertical-align:-3.20526pt;width:108.2125px;" version="1.1" viewbox="0 0 108.2125 14.9" width="108.2125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为
−
为
→
0
作为<年代vg height="7.25" id="M242" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
∞
)。请注意,<年代p一个nclass="equation" id="eq26">
自<年代p一个nclass="equation" id="eq27">
由此可见,<年代vg height="14.9" id="M245" style="vertical-align:-3.20526pt;width:155.2625px;" version="1.1" viewbox="0 0 155.2625 14.9" width="155.2625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
为
−
为
=
0
。
步骤4。我们有(<年代vg height="15.3" id="M246" style="vertical-align:-3.2303pt;width:240.35001px;" version="1.1" viewbox="0 0 240.35001 15.3" width="240.35001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
年代
u
p
→
∞
⟨
−
̃
,
(
−
)
̃
⟩
≤
0
)。让我们选择一个子序列<年代vg height="17.475" id="M247" style="vertical-align:-5.39853pt;width:34.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.637501 17.475" width="34.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
的<年代vg height="14.75" id="M248" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
这样<年代p一个nclass="equation" id="eq28">
不失一般性,我们可以假设<年代vg height="17.15" id="M250" style="vertical-align:-5.39853pt;width:82.175003px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.175003 17.15" width="82.175003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⇀
∈
。利用引理<一个href="#lem2.4">2.4,我们得到<年代vg height="13.45" id="M251" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.974998 13.45" width="55.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
。请注意,<年代vg height="13.625" id="M252" style="vertical-align:-2.21957pt;width:82.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 82.5 13.625" width="82.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
(
)
,接下去<年代vg height="13.625" id="M253" style="vertical-align:-2.21957pt;width:61.637501px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.637501 13.625" width="61.637501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
)
。因此从(<一个href="#EEq3.2">3所示。2),我们得到以下:<年代p一个nclass="equation" id="eq29">
第5步。我们有(<年代vg height="14.0875" id="M255" style="vertical-align:-3.20526pt;width:51.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.737499 14.0875" width="51.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
̃
作为<年代vg height="7.25" id="M256" style="vertical-align:-0.10033pt;width:50.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.724998 7.25" width="50.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
→
∞
)。集<年代vg height="14.6875" id="M257" style="vertical-align:-3.20526pt;width:195.1125px;" version="1.1" viewbox="0 0 195.1125 14.6875" width="195.1125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
+
(
−
)
和<年代vg height="14.6875" id="M258" style="vertical-align:-3.20526pt;width:101.575px;" version="1.1" viewbox="0 0 101.575 14.6875" width="101.575" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
−
)
。注意到<年代vg height="15.05" id="M259" style="vertical-align:-3.49493pt;width:89.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 89.474998 15.05" width="89.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
+
1
=
(
)
。从(<一个href="#EEq3.1">3所示。1),我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq30">
因此,我们有<年代p一个nclass="equation" id="eq31">
在哪里<年代p一个nclass="equation" id="eq32">
注意到<年代vg height="14.8" id="M263" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.85px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.85 14.8" width="115.85" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
/
=
0
,它遵循从引理<一个href="#lem2.5">2.5那<年代vg height="14.8" id="M264" style="vertical-align:-3.20526pt;width:98.787498px;" version="1.1" viewbox="0 0 98.787498 14.8" width="98.787498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
l
我
米
→
∞
=
̃
。这就完成了证明。
现在,我们获得的主要结果曾et al。([<一个href="#B13">13),定理3.2)如下推论。
推论3.2。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M265" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M266" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="10.625" id="M267" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M268" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M269" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子和<年代vg height="10.675" id="M270" style="vertical-align:-0.20064pt;width:80.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.9375 10.675" width="80.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.325" id="M271" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射。让<年代vg height="10.625" id="M272" style="vertical-align:-0.16302pt;width:77.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 77.224998 10.625" width="77.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
这样是一个扩张映射<年代vg height="13.45" id="M273" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.612499 13.45" width="56.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≠
∅
。假设<年代vg height="16.7125" id="M274" style="vertical-align:-2.29482pt;width:95.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.974998 16.7125" width="95.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M275" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.724998 13.6125" width="73.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,在那里<年代vg height="20.4125" id="M276" style="vertical-align:-2.43468pt;width:170.2375px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.2375 20.4125" width="170.2375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
1
−
1
−
(
2
−
2
)
。对于一个任意<年代vg height="14.3375" id="M277" style="vertical-align:-3.13504pt;width:45.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.9375 14.3375" width="45.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,考虑到序列<年代vg height="14.75" id="M278" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="eq33">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M280" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M281" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
满足条件(a)和(b)的定理<一个href="#thm3.1">3所示。1。
然后,序列<年代vg height="14.75" id="M282" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="13.45" id="M283" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.775002 13.45" width="56.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
∈
(
)
,在那里<年代vg height="10.2375" id="M284" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.2375" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
是以下的唯一解变分不等式:<年代p一个nclass="equation" id="eq34">
再一次,我们得到的结果田([<一个href="#B11">11),定理3.2)如下推论。
<年代p一个nclass="statement" id="coro3.2">推论3.3。<我>让<年代vg height="10.325" id="M286" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个真正的希尔伯特空间。让<年代vg height="13.4875" id="M287" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个<年代vg height="7.1750002" id="M288" style="vertical-align:-0.1254pt;width:8.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.9375 7.1750002" width="8.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
收缩在<年代vg height="10.325" id="M289" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.5375" id="M290" style="vertical-align:-0.16302pt;width:84.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 84.912498 10.5375" width="84.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M291" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M292" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子。让<年代vg height="10.5375" id="M293" style="vertical-align:-0.16302pt;width:83.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.849998 10.5375" width="83.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
这样是一个扩张映射<年代vg height="13.45" id="M294" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.612499 13.45" width="56.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
≠
∅
。假设<年代vg height="16.7125" id="M295" style="vertical-align:-2.29482pt;width:95.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.974998 16.7125" width="95.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M296" style="vertical-align:-2.34499pt;width:71.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.474998 13.6125" width="71.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
,在那里<年代vg height="16.7125" id="M297" style="vertical-align:-2.29482pt;width:109.15px;" version="1.1" viewbox="0 0 109.15 16.7125" width="109.15" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
−
2
/
2
)
。对于一个任意<年代vg height="14.2375" id="M298" style="vertical-align:-3.13504pt;width:49.25px;" version="1.1" viewbox="0 0 49.25 14.2375" width="49.25" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,考虑到序列<年代vg height="14.75" id="M299" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="eq35">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M301" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M302" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
满足的条件<年代vg height="13.45" id="M303" style="vertical-align:-2.21957pt;width:18.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.375 13.45" width="18.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和<年代vg height="13.45" id="M304" style="vertical-align:-2.21957pt;width:17.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.875 13.45" width="17.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
的定理<一个href="#thm3.1">3所示。1。
然后,序列<年代vg height="14.75" id="M305" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="13.45" id="M306" style="vertical-align:-2.21957pt;width:56.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 56.775002 13.45" width="56.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
∈
(
)
,在那里<年代vg height="10.2375" id="M307" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.2375" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
是以下的唯一解变分不等式:<年代p一个nclass="equation" id="eq36">
以下结果获得立即的定理<一个href="#thm3.1">3所示。1。
<年代p一个nclass="statement" id="coro3.3">推论3.4。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M309" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M310" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="10.625" id="M311" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M312" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M313" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子和<年代vg height="10.675" id="M314" style="vertical-align:-0.20064pt;width:80.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.9375 10.675" width="80.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.325" id="M315" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射。让<年代vg height="14.75" id="M316" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列的扩张映射的映射<年代vg height="10.6125" id="M317" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到自己这样<年代vg height="17.487499" id="M318" style="vertical-align:-3.84473pt;width:96.137497px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.137497 17.487499" width="96.137497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
∞
=
1
(
)
≠
∅
和<年代vg height="10.325" id="M319" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的一个映射<年代vg height="10.6125" id="M320" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为自己定义的<年代vg height="14.8" id="M321" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9875 14.8" width="115.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
l
我
米
→
∞
对所有<年代vg height="10.85" id="M322" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。假设<年代vg height="16.7125" id="M323" style="vertical-align:-2.29482pt;width:90.775002px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.775002 16.7125" width="90.775002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M324" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.724998 13.6125" width="73.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,在那里<年代vg height="20.4125" id="M325" style="vertical-align:-2.43468pt;width:170.2375px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.2375 20.4125" width="170.2375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
1
−
1
−
(
2
−
2
)
。对于一个任意<年代vg height="14.3375" id="M326" style="vertical-align:-3.13504pt;width:45.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.9375 14.3375" width="45.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,考虑到序列<年代vg height="14.75" id="M327" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
在<年代vg height="10.6125" id="M328" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="eq37">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M330" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M331" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
满足的条件(一)——(c)的定理<一个href="#thm3.1">3所示。1。
然后,序列<年代vg height="14.75" id="M332" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="17.487499" id="M333" style="vertical-align:-3.84473pt;width:96.300003px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.300003 17.487499" width="96.300003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
̃
∈
∞
=
1
(
)
,在那里<年代vg height="10.2375" id="M334" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.2375" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
是以下的唯一解变分不等式:<年代p一个nclass="equation" id="eq38">
4所示。应用程序
回想一下,所谓的图像恢复问题,本质上是找到一个常见的有限元素很多扩张收缩<年代vg height="14.3375" id="M336" style="vertical-align:-3.13504pt;width:86.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 86.625 14.3375" width="86.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
2
,
…
,
的<年代vg height="10.6125" id="M337" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
与<年代vg height="17.637501" id="M338" style="vertical-align:-3.87106pt;width:73.887497px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.887497 17.637501" width="73.887497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
=
1
≠
∅
。很容易看到,每一个扩张收缩<年代vg height="14.3625" id="M339" style="vertical-align:-3.2316pt;width:13.4375px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4375 14.3625" width="13.4375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
的<年代vg height="10.6125" id="M340" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到<年代vg height="14.45" id="M341" style="vertical-align:-3.2316pt;width:14.6375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.6375 14.45" width="14.6375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
向本身是一个扩张映射的C。毫无疑问,图像恢复问题相当于找到有限扩张映射的公共不动点的映射<年代vg height="14.2375" id="M342" style="vertical-align:-3.13504pt;width:83.012497px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.012497 14.2375" width="83.012497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
2
,
…
,
的<年代vg height="10.6125" id="M343" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为本身。应用我们的主要结果,我们得到以下结果改善的结果连接到图像恢复的问题。
<年代p一个nclass="statement" id="thm4.1">定理4.1。<我>让<年代vg height="10.6125" id="M344" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间<年代vg height="10.325" id="M345" style="vertical-align:-0.0pt;width:15.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.175 10.325" width="15.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。让<年代vg height="10.625" id="M346" style="vertical-align:-0.16302pt;width:81.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 81.599998 10.625" width="81.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.7375" id="M347" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M348" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强单调算子和<年代vg height="10.675" id="M349" style="vertical-align:-0.20064pt;width:80.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.9375 10.675" width="80.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
是一个<年代vg height="10.325" id="M350" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射。让<年代vg height="14.7125" id="M351" style="vertical-align:-3.2316pt;width:39.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.8125 14.7125" width="39.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
0
这样<年代vg height="19.799999" id="M353" style="vertical-align:-3.80836pt;width:73.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.6875 19.799999" width="73.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
=
1
=
1
和<年代vg height="14.4875" id="M354" style="vertical-align:-3.25793pt;width:176.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 176.5 14.4875" width="176.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
,
2
,
3
,
…
,
∶
→
扩张映射等<年代vg height="19.9625" id="M355" style="vertical-align:-3.87106pt;width:92.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 92.0625 19.9625" width="92.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
=
1
(
)
≠
∅
。假设<年代vg height="16.7125" id="M356" style="vertical-align:-2.29482pt;width:95.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.974998 16.7125" width="95.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M357" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.724998 13.6125" width="73.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,在那里<年代vg height="20.4125" id="M358" style="vertical-align:-2.43468pt;width:170.2375px;" version="1.1" viewbox="0 0 170.2375 20.4125" width="170.2375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
=
1
−
1
−
(
2
−
2
)
。对于一个任意<年代vg height="14.3375" id="M359" style="vertical-align:-3.13504pt;width:45.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 45.9375 14.3375" width="45.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
∈
,考虑到序列<年代vg height="14.75" id="M360" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
在<年代vg height="10.6125" id="M361" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
由迭代过程如下:<年代p一个nclass="equation" id="eq39">
在哪里<年代vg height="14.75" id="M363" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
是一个序列<年代vg height="13.45" id="M364" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
满足的条件<年代vg height="13.45" id="M365" style="vertical-align:-2.21957pt;width:18.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.375 13.45" width="18.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
和<年代vg height="13.45" id="M366" style="vertical-align:-2.21957pt;width:17.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.875 13.45" width="17.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
的定理<一个href="#thm3.1">3所示。1。
然后,序列<年代vg height="14.75" id="M367" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
强烈收敛<年代vg height="19.9625" id="M368" style="vertical-align:-3.87106pt;width:92.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 92.224998 19.9625" width="92.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
̃
∈
=
1
(
)
,在那里<年代vg height="10.2375" id="M369" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.2375" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̃
是以下的唯一解变分不等式:<年代p一个nclass="equation" id="eq40">
证明。定义<年代vg height="19.799999" id="M371" style="vertical-align:-3.80836pt;width:87.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 87.087502 19.799999" width="87.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∑
=
=
1
。然后<年代vg height="10.325" id="M372" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是扩张映射的映射<年代vg height="10.6125" id="M373" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
为本身。因此,使用引理<一个href="#lem2.6">2.6,我们得到<年代vg height="19.9625" id="M374" style="vertical-align:-3.87106pt;width:112.3px;" version="1.1" viewbox="0 0 112.3 19.9625" width="112.3" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
⋂
(
)
=
=
1
(
)
。因此,遵循从推论证明<一个href="#coro3.1">3所示。2。
5。数值例子
显示效果和产生的序列的收敛迭代方案,我们讨论下面的例子。
<年代p一个nclass="statement" id="ex5.1">例5.1。让<年代vg height="10.475" id="M375" style="vertical-align:-0.0pt;width:44.837502px;" version="1.1" viewbox="0 0 44.837502 10.475" width="44.837502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
ℝ
和<年代vg height="13.125" id="M376" style="vertical-align:-1.95624pt;width:62.549999px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.549999 13.125" width="62.549999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
(
0
,
1
]
。让<年代vg height="10.325" id="M377" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
self-mapping定义为<年代vg height="10.825" id="M378" style="vertical-align:-0.11285pt;width:70.762497px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.762497 10.825" width="70.762497" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
−
对所有<年代vg height="10.85" id="M379" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
。让<年代vg height="12.625" id="M380" style="vertical-align:-1.76814pt;width:97.099998px;" version="1.1" viewbox="0 0 97.099998 12.625" width="97.099998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
∶
→
是两个映射定义的<年代vg height="10.825" id="M381" style="vertical-align:-0.11285pt;width:54.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 54.174999 10.825" width="54.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
4
和<年代vg height="10.9375" id="M382" style="vertical-align:-0.20064pt;width:53.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.5 10.9375" width="53.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
2
对所有<年代vg height="10.85" id="M383" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,在那里<年代vg height="10.325" id="M384" style="vertical-align:-0.0pt;width:12.05px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.05 10.325" width="12.05" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个<年代vg height="10.7375" id="M385" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian和<年代vg height="9.875" id="M386" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
强烈的单调,<年代vg height="10.575" id="M387" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个<年代vg height="10.325" id="M388" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
-Lipschitzian映射。我们把<年代vg height="16.7125" id="M389" style="vertical-align:-2.29482pt;width:95.974998px;" version="1.1" viewbox="0 0 95.974998 16.7125" width="95.974998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
2
/
2
和<年代vg height="13.6125" id="M390" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.724998 13.6125" width="73.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
≤
<
,我们有<年代vg height="13.55" id="M391" style="vertical-align:-2.29482pt;width:49px;" version="1.1" viewbox="0 0 49 13.55" width="49" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
/
4
,<年代vg height="10.7625" id="M392" style="vertical-align:-0.0627pt;width:35.325001px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.325001 10.7625" width="35.325001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
和<年代vg height="13.6125" id="M393" style="vertical-align:-2.34499pt;width:47.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.424999 13.6125" width="47.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
/
4
。定义<年代vg height="14.75" id="M394" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.375 14.75" width="29.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
在<年代vg height="13.45" id="M395" style="vertical-align:-2.21957pt;width:32.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.674999 13.45" width="32.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
0
,
1
)
通过<年代vg height="14.6875" id="M396" style="vertical-align:-3.20526pt;width:79.150002px;" version="1.1" viewbox="0 0 79.150002 14.6875" width="79.150002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
/
+
1
。不失一般性,我们可以假设<年代vg height="17.762501" id="M397" style="vertical-align:-3.20526pt;width:73.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.162498 17.762501" width="73.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
/
3
/
2
对所有<年代vg height="10.8875" id="M398" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.1875 10.8875" width="38.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
ℕ
。为每一个<年代vg height="10.8875" id="M399" style="vertical-align:-0.33858pt;width:38.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.1875 10.8875" width="38.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
ℕ
,定义<年代vg height="14.425" id="M400" style="vertical-align:-3.20526pt;width:83.287498px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.287498 14.425" width="83.287498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∶
→
通过<年代p一个nclass="equation" id="eq41">
在[<一个href="#B15">15),它是证明<年代vg height="14.8625" id="M402" style="vertical-align:-3.20526pt;width:63.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 63.424999 14.8625" width="63.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
{
}
是近扩张映射序列<年代vg height="10.6125" id="M403" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 10.6125" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
到自己这样<年代vg height="13.6875" id="M404" style="vertical-align:-2.26974pt;width:88.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.8125 13.6875" width="88.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
{
1
/
2
}
和<年代vg height="14.8" id="M405" style="vertical-align:-3.20526pt;width:115.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 115.9875 14.8" width="115.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
l
我
米
→
∞
对所有<年代vg height="10.85" id="M406" style="vertical-align:-0.33858pt;width:39.849998px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.849998 10.85" width="39.849998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
,在那里<年代vg height="10.325" id="M407" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是扩张映射。
它可以观察到,所有定理的假设<一个href="#thm3.1">3所示。1满意和序列是什么<年代vg height="14.75" id="M408" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
由(<一个href="#EEq3.1">3所示。1)收敛于一个独特的解决方案<年代vg height="10.9125" id="M409" style="vertical-align:-0.17555pt;width:20.1px;" version="1.1" viewbox="0 0 20.1 10.9125" width="20.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
/
2
变分不等式(<一个href="#EEq3.2">3所示。2)/<年代vg height="13.625" id="M410" style="vertical-align:-2.21957pt;width:34.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.450001 13.625" width="34.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
。序列的收敛性的图形演示<年代vg height="14.75" id="M411" style="vertical-align:-3.20526pt;width:29.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.7875 14.75" width="29.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
{
}
生成的迭代计划(<一个href="#EEq3.1">3所示。1)在图给出<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2012/902437/fig1/" target="_blank">1。
