文摘

应用同伦分析方法(火腿)获得的近似解析解Korteweg-de弗里斯(KdV)和汉堡方程。同伦分析方法(火腿)是一种分析技术,为我们提供了一种新的方式来获取系列解决方案的非线性问题。火腿包含辅助参数 ,这为我们提供了一个简单的方法来调整和控制级数解的收敛区域。导致火腿的解决方案在8阶然后14阶近似解与精确孤子解的KdV方程和汉堡,在优秀的协议分别列示。

1。介绍

很难解决非线性问题,尤其是通过分析技术。同伦分析方法(火腿)1,2)是非线性问题的一种分析技术,由廖在1992年首次引入。这种方法已经成功地应用于许多非线性问题在工程和科学,比如磁流体动力学流动的非牛顿流体在拉伸板(3),边界层流动在一个不透水拉伸板(4),非线性模型,结合对流和辐射冷却的球面体(5[],指数衰减边界层6),和非定常边界层流动在拉伸平板(7]。因此,有效性、效率和灵活性的火腿验证通过所有这些成功的应用程序。此外,许多类型的非线性问题解决与火腿被别人8- - - - - -22]。

Korteweg-de弗里斯方程(KdV方程)描述了浅水波理论的渠道,如运河。这是一个重要的数学模型在非线性波的理论和非线性光学。相同的例子是广泛应用于固体物理、流体物理、等离子体物理、量子场理论。

汉堡方程与流体力学基本偏微分方程。它发生在应用数学的各个领域,如气体动力学的建模和交通流。第一个汉堡方程的稳态解是由贝特曼(231915年)。虽然,方程得名于汉堡的巨大的研究(24从1939年开始。伯格斯方程的一般性质的研究可以作为模型的非线性波扩散问题受到破坏(25]。根据所建模的问题,这种破坏可能导致弹性、气体动力学、热传导、化学反应,或其他资源。

在本文中,我们采用同伦分析方法获得的解决方案Korteweg-de弗里斯(KdV)和汉堡方程,为我们提供一种新的分析方法对非线性问题。

2。同伦分析方法的基本思想(火腿)

考虑非线性方程的一般形式: 在哪里 是一个非线性算子, 是未知函数。让 表示一个精确解的初始猜测 , 一个辅助参数 一个辅助函数, 一个辅助线性算子, 作为嵌入参数通过同伦分析方法,我们构造所谓的零阶变形方程 这是非常重要的,一个伟大的自由选择辅助对象火腿。显然,当 它认为, 分别。然后只要 增加从0到1,解决方案 不同初始猜测 确切的解决方案 。

廖(2泰勒定理扩展) 幂级数的 遵循: 在哪里

级数的收敛性(2。4)取决于辅助参数 辅助函数 最初的想 ,辅助线性算子 。如果他们选择得当,该系列(2。4)是收敛的 一个人 根据定义(2。5),可以推断出从控制方程零阶变形方程(2。2)。定义了向量

区分零变形方程(2。2) 次对 和他们除以 最后设置 我们获得所谓的 - - - - - -顺序变形方程 在哪里

定理2.1(廖2])。只要系列(2。6)是收敛,收敛到精确解(2。1)。
注意,同伦分析方法包含辅助参数 ,为我们提供控制和调整级数解的收敛性(2。6)。

3所示。精确解

Korteweg-de弗里斯方程(KdV方程)描述了浅水波理论的渠道,如运河。这是一个由非线性方程 受 我们将假设的解决方案 与它的导数,趋向于零26,27)当 。

2001年,Wazwaz [28提供了一个精确解 或者同样的 汉堡方程描述 受 这个方程的精确解是29日]

4所示。火腿的解决方案

4.1。KdV方程

火腿KdV方程的解决方案我们选择 作为初始猜测 作为辅助线性算子满足 在哪里 是一个常数。

我们考虑辅助函数 零阶变形问题 阶变形问题

我们可以用数学软件求解一组线性方程(4.6)和条件(4.7)。发现解决方案是由一系列形式

的解析解(4.8)包含辅助参数 ,影响火腿的收敛区域和速率近似的解决方案。在图1, 曲线绘制的 当 8阶近似。


图1
的 8阶近似的曲线,虚线的观点: ;实线: ;虚线: 。

廖所指出的(2),有效的地区 是一个水平线段。很明显,这种情况下的有效区域 。根据定理2。1,解决方案系列(4.8)必须精确解,只要它是收敛的。在这种情况下, 和 ,精确解和火腿的解决方案都是一样的,如图2。总结在表获得的数值结果1。

表1
火腿解与精确解的比较 和 ,分别。
(一)
(一)
(b)
(b)
图2
比较精确解的火腿的解决方案 ,当 :(a)精确解,(b)火腿的解决方案。

在图3研究了图的结果火腿 , 相比与精确解(3所示。1);我们可以看到最好的价值 在这种情况下是 。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图3
8阶近似的结果 。实线:精确解;dashing-large为 ;dashing-medium为 ;dashing-tiny为 。
4.2。汉堡方程

在本节中,我们选择火腿汉堡方程的解决方案 作为初始猜测 作为辅助线性算子满足 在哪里 是一个常数。

我们考虑辅助函数 零阶变形问题 阶变形问题

我们可以用数学软件求解一组线性方程(4.14)和条件(4.15)。发现解决方案是由一系列形式

的解析解(4.16)包含辅助参数 ,影响收敛区域和火腿的近似解。在图4, 曲线绘制的 ,当 在14阶近似。


图4
的 曲线在14阶近似实线 ;虚线 。

很明显,这种情况下的有效区域 。根据定理2。1,解决方案系列(4.16)必须精确解,只要它是收敛的。在这种情况下, 和 ,精确解和火腿的解决方案都是一样的,如图5。总结在表获得的数值结果2。

表2
火腿解与精确解的比较 和 ,分别。
(一)
(一)
(b)
(b)
图5
比较精确解的火腿的解决方案 ,当 :(a)精确解,(b)火腿的解决方案。

在图6研究了图的结果火腿 和 相比与精确解(3所示。5);我们可以看到最好的价值 在这种情况下是 。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图6
获得的结果为各种14阶近似的火腿 。实线:精确解;dashing-tiny: ;dashing-large: ;dashing-small: ,当 。

5。结论

在本文中,同伦分析方法(火腿)2)应用于获得单独解决KdV方程和汉堡。火腿为我们提供了一个方便的方式来控制近似级数的收敛性,这是一个基本定性火腿和其他方法之间的差异分析。这些例子展示的灵活性和潜在的复杂的非线性问题的同伦分析方法在工程。

确认

这项研究部分由邻蒙古德意志联邦共和国嗓音起始时间不。78675年和UTM地毯嗓音起始时间不。PY / 2011/02418。作者要感谢匿名评论者的评论导致一些改进的演示结果。