文摘
我们研究的动态数学模型无限长圆柱体组成的一种各向同性不可压缩奥格登材料微孔的中心,在圆筒的外表面是均匀径向拉伸载荷。使用不可压缩性条件和边界条件,我们得到一个二阶非线性常微分方程描述的运动时间的微孔。定性,我们发现这个方程有两个类型的解决方案。一个是经典非线性周期解,描述微孔的运动是一个非线性周期振动;另一个是爆破方案。值得注意的是,对于各向同性不可压缩奥格登材料,存在一些特殊材料的参数值,相位图的同宿轨的运动方程,这意味着一个非线性周期振动的振幅增加不连续地增加负载。
1。介绍
圆柱结构是非常普遍的用于社会生产和人类生活。这种结构的研究动态振荡问题组成的超弹性的材料具有重要的意义。众所周知,这样的问题可以被制定为初始(边界)值问题的非线性演化方程(年代)。诺尔斯(1首先研究了自由不可压缩圆柱管的径向振动组成的一种各向同性Mooney-Rivlin材料;在薄壁圆柱管的极限情况,方程减少Ermakov-Pinney方程。然后,Shahinpoor和Nowinski2)和罗杰斯和贝克(3)使用Ermakov-Pinney方程的非线性叠加原理得到的解决方案。作品在这方面出现了罗杰斯和艾姆斯(4]。2007年,梅森和Maluleke [5]介绍了谎言点对称到这个区域,调查了横向各向同性不可压缩的非线性径向振荡圆柱管受到时间依赖网络应用表面压力;此外,他们证明了径向和切向横向各向同性管微分方程可以简化为亚伯第二类方程。此外,随着数学的发展理论,元et al。6]调查动态通胀问题无限长圆柱管组成的一类方程本身的不可压缩奥格登横向各向同性材料,讨论了材料参数的影响,结构参数和应用压力管的动态行为的细节。任(7]研究了动力反应,比如运动和破坏承受动态负荷超弹性的圆柱壳的内表面。其他引用动态响应的超弹性的圆柱形结构可能发现戴和香港8)、元等。9),等等。
本文的目的是探讨非线性周期振动圆柱的微孔集中在无限长圆柱体,圆柱体在哪里组成的一种各向同性不可压缩奥格登材料(10),其外表面均匀径向拉伸载荷。节2基本控制方程、边界条件和初始条件。节3,一个二阶非线性常微分方程描述的运动微孔。然后,在节4,一些非线性动态方程的分析详细执行。与此同时,一些数值例子。
2。数学模型
数学模型研究了本文列出如下。
(一)基本控制方程
没有体力,平衡微分方程,不可压缩性条件和与已知的奥格登材料相关的应变能函数给出
(b)边界条件和初始条件
给出了边界条件
初始条件如下:
在(2.1)~ (2.5),,校长柯西应力,是静水压力与不可压缩性条件有关,,分别是径向和圆周延伸,,径向变形函数的时间来确定,然后呢和微孔的半径和外半径的圆柱体在未变形的配置,分别。是恒定的质量密度的材料。材料参数。边界条件(2.4)意味着微孔表面的牵引自由和圆筒的外表面受到统一的径向拉伸载荷,用。初始条件(2.5)意味着缸处于未变形的状态。
3所示。解决方案
从不可压缩性条件(2.2)我们发现 在哪里是一个不确定的径向运动微孔的半径的函数。从(3所示。1),很容易知道圆柱体的径向运动可以完全描述。
从(3所示。1),不难证明
用(3所示。2)(2.1),将它与尊重从来使用牵引和边界条件(2.4),我们得到 在哪里,。
显然,(3所示。3)是一种对二阶非线性常微分方程。接下来,我们研究解的定性性质(3所示。3)。
为了方便起见,我们引入无量纲符号如下:
因此,初始条件(2.5)减少 和(3所示。3)可以写成 在哪里
4所示。非线性动态分析
乘(3所示。6),我们得到以下的第一积分: 在哪里
用心,是有效的,这意味着(4.1)只有当真正的解决方案。然而,相当于。的驻点可以获得,这就导致 在哪里,。
4.1。的影响参数的解决方案(3所示。6)
以下4.4.1。材料参数的影响
可以获得以下结论(4.3)。(我)给定的值和,如果,存在一个最大值点写成。单调增加,和减少单调。(2)的情况下,我们有,这意味着(4.3)有一个水平渐近线,写成。给定的值和的曲线与如图1为,。(3)如果,我们有。增加严格的增加。特别是,如果,很容易证明还有另一个渐近线,写成。给定的值和,图2显示的关系与为。(iv)的情况下,或,(在这里,我们只讨论的情况,),它可以证明存在一个临界值,写成,这样增加单调,如果和有一个局部最大值和局部最小值,写成和,分别。曲线的与给出了图3为,和给定的值。
(一)
(b)
4.1.2。结构参数的影响
一次的值,,的影响,给出了吗的关系与如图4。
4.2。数量的平衡分
(1)的情况下,,从图可以看出1有两个不同的根(4.3),,写成和()。这意味着(3所示。6)有两个平衡的点和;此外,是一个中心,是一个鞍点。(2)如果,(3所示。6)有一个独特的平衡点,写成;此外,是一个中心。而,(3所示。6)没有平衡点。(3)的情况下,(3所示。6)只有一个平衡点,如图2,写成,也是一个中心。(4)如果,从上面的分析我们知道有一个局部最大值和一个局部最小值作为,在那里是一个关键的价值。方程(3所示。6)有一个独特的平衡点或,写成,它是一个中心。方程(3所示。6点)正好有三个平衡,写成,,分别在哪里;此外,和是中心和是一个鞍点。给定的值,,,的相图(4.1)如图5。发现微孔的径向振动提出了一种非线性周期振动;此外,振荡的振幅逐渐增加增加从来。然而,非线性周期振动的振幅的增加是不连续的通过。另一个有趣的现象发生,即相图是同宿轨道。
5。结论
摘要非线性周期振动圆柱的微孔集中在各向同性不可压缩奥格登检查气缸。一些有趣的非线性动态特性的数学模型。主要结论如下。(1)如果,,证明了微孔的运动是非线性周期振动对于任何给定的负载,但存在一些特殊材料的参数值,运动方程的相图同宿轨,这意味着非线性周期振动的振幅增加不连续地增加负载。(2)的情况下,微孔的径向振动总是呈现出非线性周期性振荡。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(10872045号,11232003);在大学新世纪优秀人才计划(没有。ncet - 09 - 0096);基础研究基金为中央大学(没有。DC12010112);辽宁高校优秀人才计划(没有。LR2012044)。