文摘

通过使用一个复杂的变换,我们强加一个分数阶系统的Riemann-Liouville部分运营商。讨论了该系统的解析解。在这里,我们介绍一种同伦摄动方法得到近似解。此外,应用程序的说明。

1。介绍

部分模型已被许多研究人员研究了充分描述的操作各种计算,物理和生物过程和系统。因此,相当多的注意力都集中在分数微分方程的解,积分方程,部分偏微分方程的物理现象。这些分数微分方程的解析解,近似和数值技术(1- - - - - -3]。数值和分析方法包括有限差分方法如Adomian分解方法、变分迭代法、同伦摄动方法,和同伦分析方法(4- - - - - -7]。

分数微积分的概念(即。,calculus of integrals and derivatives of any arbitrary real or complex order) was planted over 300 years ago. Abel in 1823 investigated the generalized tautochrone problem and for the first time applied fractional calculus techniques in a physical problem. Later Liouville applied fractional calculus to problems in potential theory. Since that time the fractional calculus has drawn the attention of many researchers in all areas of sciences (see [8- - - - - -10])。

最常用的工具之一,分数阶微积分理论的家具都是由Riemann-Liouville运营商。它具有快速收敛的优点,高稳定性和高准确性获得不同类型的数值算法。在本文中,我们将处理标量线性时空分数微分方程。时间是在意义上的Riemann-Liouville部分运营商。此外,这种类型的微分方程出现在许多有趣的应用程序。例如,福克尔普朗克偏微分方程、债券定价方程,和布莱克-斯科尔斯公式在这类微分方程(部分和部分)。

在[11),作者使用复杂的变换获得的分数阶系统(非齐次)保持相等的属性。利用同伦摄动方法,给出了解析解耦合系统的分数阶。此外,应用程序对分数阶波动方程等。

2。分数微积分

本节关注一些关于分数微积分预赛和符号。

定义2.1。分数(任意)函数的积分的订单被定义为 当,我们写,在那里表示卷积产品(见[12]),和和作为在哪里δ函数。

定义2.2。分数(任意)函数的导数的订单被定义为

2.3的话。从定义2.1和2.2,,我们有 莱布尼茨的规则是 在哪里

定义2.4。卡普托分数阶导数的秩序被定义为一个光滑函数通过 在哪里(符号代表不大于最大的整数)。
请注意,有一个Riemann-Liouville微分算子和卡普托算子之间的关系 他们在物理问题(即是等价的。,a problem which specifies the initial conditions).

在本文中,我们考虑下面的分数微分方程: 在哪里是复杂的价值函数,分析域和。

上面的方程包括著名的时间部分扩散方程。

3所示。复杂的转换

在本节中,我们将改变分数微分方程(2。8)到一个耦合的非线性分数阶系统也有类似的形式。这是所示(11),复杂的变换 在哪里是一个复杂的复变函数,减少(2。8)到系统 在哪里 此外,结果表明,复杂的变换 减少了非均匀方程 到系统 在哪里

4所示。数值解

让我们把 在哪里和是任意的函数; 的线性部分吗和,分别。而和的非线性部分吗和,分别。此外,我们将同伦系统 在哪里 因此我们得到以下系统: 在哪里 因此,我们有近似解 因此,我们对非线性积分方程在以下公式: 现在我们可以为了这一节的主要结果。

定理4.1。考虑分数微分系统(3所示。6)的初始条件
同伦摄动技术意味着初值问题(3所示。6)- (4.9)可以表示为一个非线性积分方程的形式(4.8)。

我们继续证明我们的解决方案的收敛性分析。

定理4.2。假设序列同伦系列的和被定义为。假设初始近似域内的解决方案。如果对所有,在那里绝对收敛时,那么解决方案。

证明。让的序列部分和的同伦系列。我们的目标是证明是一个柯西序列。考虑 为,我们有 因此 因此,是一个柯西序列在复杂的巴拿赫空间,因此收益率级数解的收敛。这就完成了证明。

最近,同伦方法用于获取time-fractional非线性方程的近似解析解和time-space-fractional非线性方程(见[12- - - - - -17])。

5。应用程序

在本节中,我们将考虑泵波方程沿纤维(薛定谔方程)。这些类型的方程是描述相对论量子力学行为的基本方程形式

在变换这样,要么或,我们有非耦合系统 在哪里。初始条件 操作(5.2),我们有 同样的计算部分5,我们收到 因此,解决方案是由 此外,在相同的变换,(5.1)降低耦合系统 操作(5.7),我们有 因此,

6。结论

我们建议两种类型的复杂变换分数微分方程的系统。我们得出的结论是,复杂的分数微分方程可以转化为齐次和非齐次类型的耦合与非耦合系统。此外,我们采用同伦摄动方案求解复杂非线性分数微分系统。讨论了该方法的收敛域包含最初的解决方案。作为应用程序说明了薛定谔方程。量子力学中使用这种类型的方程,它描述了一个物理系统的量子态随时间变化。在标准的量子力学中,波函数是最完整的解释,可以指定一个物理系统。解决方案不仅Schrdinger方程描述的分子,原子和亚原子系统,但也宏观系统(见图1)。