文摘

一个旋转的动态特性和参数不稳定电流变(ER)三明治梁回转振荡进行了数值分析。假设一个ER夹层梁的角速度变化谐波,首先推导出旋转梁的动力学方程基于哈密顿原理。然后耦合和非线性方程离散,通过有限元方法解决。多尺度方法是用来确定参数不稳定的结构。电场对固有频率的影响,损耗因子,提出了参数不稳定的地区。获得的结果表明,ER材料层具有显著影响的振动特性和参数不稳定地区,和ER材料可以用来调整旋转柔性梁的动态特性和稳定性。

1。介绍

旋转柔性梁的动力学已被广泛研究的主题由于许多重要的应用程序在工程如机械手、直升机、涡轮叶片,等等。许多研究的动态建模和振动特性固定轴旋转梁已经发表在最近几十年。钟和柳1]研究了旋转梁的动态特性使用有限元法(FEM)和获得时间响应和变形分布和应力在给定转速。旋转梁的非线性动态灵活的根连着一个旋转中心与分析了弹性地基Al-Qaisia [2]。他根灵活性的影响,讨论中心刚度、扭矩类型、转矩和激励频率和振幅的动态行为beam-hub旋转。李等人。3]调查发散不稳定和旋转的得票率最高的振动梁precone和俯仰角度。一个旋转梁的非线性模态分析研究了阿尔文和Bakhtiari-Nejad [4]。的稳定性和动态特性的非线性正常模式相图等,庞加莱截面,功率谱图已经被检查过了。但到目前为止,大多数研究只检查了稳定速度的影响在柔性梁的振动特性,不考虑梁的速度变化的动态特性。旋转柔性梁与变量的速度,比如操纵者,展示复杂的动态特性,因为角速度的变化。光束可以受到动态不稳定在一定的运动参数。因此,柔性梁的振动稳定性变角速度近年来吸引了越来越多的关注。阿巴斯(5]研究了旋转柔性梁的动力学固定在一个灵活的基础上,并使用有限元法分析了旋转速度的影响和灵活的基础振动的静态屈曲载荷和地区的不稳定。年轻和林6参数化)调查了兴奋与随机旋转梁的振动速度。Sinha et al。7]分析了旋转柔性梁的动态稳定性和控制不同的阻尼系数和边界条件。钟等。8]研究了动态稳定性的固定轴悬臂梁与定期谐波摇摆在不同摆动频率和速度。Turhan和Bulut9]旋转柔性梁的振动特性研究中心刚体在周期性变量速度,和模拟系统的动态稳定性在不同运动参数。变速旋转梁的非线性振动分析了Younesian和Esmailzadeh [10]。他们调查了参数敏感性和不同的参数包括中心半径的影响,结构阻尼,加速,减速利率振动振幅。

电流变(ER)材料是一种智能材料,其物理性质可以瞬间和可逆控制电场的应用。这些不同寻常的特性使ER的材料被使用在许多潜在的工程应用,如减震器、离合器/制动器系统、阀门和自适应结构。的一个最常见的研究呃呃夹层梁结构,在其中一个ER材料层夹在两层包含表面(11]。这些三明治结构的自适应控制能力不同的阻尼和刚度梁通过改变外加电场的强度。自从甘地et al。12)首次提出ER流体的应用自适应结构,取得了在梁的振动控制13- - - - - -15]。最近,ER夹层梁的动态稳定性问题吸引了一些关注。叶等。16)研究一个ER夹层梁的动态稳定性问题受到轴向动力。他们发现ER核心动态稳定区域有显著的影响。叶和施17)调查了临界载荷、参量不稳定性和动态响应的简支ER适应梁受到周期性的轴向力。然而,研究ER材料中的应用旋转运动梁的振动控制是罕见的。在我们以前的工作(18),应用的可行性ER流体旋转柔性梁的振动控制进行了讨论。结果表明,梁的振动引起的旋转运动在不同的旋转速度和加速度可以通过施加电场迅速抑制ER材料层。当旋转的角速度ER夹层梁是可变的,旋转梁会遭受参数不稳定在某个关键的运动参数。为了成功ER材料适用于旋转梁的振动控制和优化控制效果,需要探讨非线性动态特性和振动旋转ER夹层梁的稳定性。

在这篇文章中,一个旋转的动态特性和参数不稳定与旋转振荡研究ER夹层梁。假设ER夹层梁与时变谐波周期性固定轴旋转运动,旋转ER夹层梁系统参数化被认为是一种兴奋。根据哈密顿原理和有限元方法(FEM),旋转梁的控制方程。多尺度方法是用来确定简单和不稳定的区域组合共振。电场对固有频率的影响,损耗系数,研究了参数不稳定的地区。稳定性分析的结果验证了通过调查的时间响应ER夹层梁。

2。ER流体的性质

ER流体表现为牛顿流体在没有电场。电场的应用程序,他们的外貌变化类似于固体凝胶。然而,它们的流变响应更改之前和之后的屈服点。由于这种差异在屈服点前后的流变行为,ER流体的流变学是大约在pre-yield和post-yield机制建模(图1)。pre-yield政权可以通过一个线性粘弹性模型,建模和post-yield政权被宾汉塑性模型建模。

现有的研究(16,17,19,20.]证明ER材料表现为线性粘弹性性质时填写一个夹层梁配置。因此,剪切应力τ与剪切应变由复杂的剪切模量,

复杂的剪切模量是电场强度的函数应用于ER流体,并且可以书面形式 在哪里储能模量,损耗模量,损耗因子,。所以三明治梁满ER流体像粘弹性阻尼梁与可控剪切模量。

3所示。有限元建模的旋转ER三明治梁

因为ER材料表现出线性剪切行为在小应变水平类似于许多粘弹性阻尼材料,发现viscoelastically阻尼结构的模型开发可能适用于ER材料梁(20.]。所以在目前的研究中,旋转梁的有限元模型约束阻尼层(21,22)采用旋转的ER夹层梁模型。

3.1。旋转梁的基本运动的关系

一个ER夹层梁的结构如图2。ER材料层是夹在两层弹性表面。梁的长度和宽度在水平面旋转角速度对轴。

假设没有下滑发生在弹性层和ER流体之间的界面层,和横向位移在一段不沿梁的厚度不同。从光束偏转的几何形状(图3),剪切应变和纵向挠曲ER流体的层可以表示为(11] 与 在哪里()纵向位移的变化th层;梁的横向位移,下标吗表示偏微分法对坐标;()的厚度kth层;和脸表示层、核心层,分别和较低的层。

3.2。控制方程

旋转的动能ER夹层梁可以表示为 在哪里和()的密度和截面面积th层;是梁的长度。

假设弹性表面的剪切应变层以及纵向和横向ER流体层的压力可以忽略不计,系统的应变能可以表示为 在哪里()的杨氏模量层,上、下表面分别;()的惯性矩层,上、下表面分别;是一个复杂的ER流体的剪切模量;ER的剪切应变材料层。

潜在的能量由于离心力是写成(21,22] 与 在哪里是转速,夹层梁的横截面,是系统的密度,是距离的固定端梁的任何部分的离心力作用,是中心半径。

所做的功外力施加的转动力矩和外部分布力作用在梁上。在这项研究中,只有横向负载被认为是。外部力量的总功可以表示为

旋转的ER夹层梁的控制方程是通过应用哈密顿原理

3.3。有限元离散化

有限元法(FEM)用于离散化旋转ER夹层梁在这项研究中。这里介绍的基本模型由两个节点组成,每一个都有四个自由度。给出了节点位移 在哪里和元素节点的数量,,,,表示上层和下层的纵向位移,横向位移,和旋转角度,分别。

位移向量可以表示的节点位移向量和有限元形状函数 在哪里,,,有限元形状函数,给出了 与和元素的长度。

用(3.10)(3.3)- (3.7)和哈密顿原理(3.8),旋转夹层梁的元素方程可以获得如下 在哪里,,,陀螺质量元素,元素,该元素刚度、和元素motion-induced旋转梁的刚度矩阵,分别;是元素负载向量。这些元素的矩阵和向量可以表示为

组装每个元素,全球旋转ER夹层梁的方程 在哪里是全球质量矩阵;是全球陀螺矩阵;是全球刚度矩阵,这是复杂的,由于复杂的剪切模量ER的材料;是全球motion-induced刚度矩阵,然后呢是全球负载向量。

自第一纵向梁的固有频率远分开第一横向固有频率,陀螺耦合条件(3.14)可以认为微不足道,忽略了(23]。这样的假设,(3.14)可以简化为

假设ER夹层梁绕固定轴旋转一个正弦周期摆动和速度 在哪里的最大角速度旋转梁和摇摆的频率。用(3.16)(3.15),旋转ER夹层梁的动力学方程没有外部力量可以得到应用

假设是归一化模态矩阵的,(3.17可以转换为以下)马修耦合方程ifa线性变换介绍,只有齐次方程的一部分: 在哪里的特征值和复杂的矩阵的元素吗。和被编写为

4所示。稳定性分析

方程(3.18参数化)代表一个典型的兴奋系统因为上学期的左手边是一个周期时间的函数。当系统参数达到特殊的共振条件下,旋转梁会发散不稳定(24]。这些条件的确定问题被称为动态稳定性分析。在本节中,稳定的解决方案(3.18)将由多尺度方法研究。

假设ER的空间最大角速度旋转梁可以表示为一个小值的函数: 基于多尺度方法的解决方案(3.18)可以写成 在哪里和代表快和慢的位移函数尺度,分别;是快时间尺度;和是缓慢的时间尺度。

用(4.1)和(4.2)(3.18),比较相同的顺序指数,我们获得 在哪里,是uniterm行吗和列在矩阵。应该注意的是,有效的激励频率在(4.4),这是源于(3.18)。这不同于轴向振动悬臂梁的运动方程,在其中而不是(9]。

使用一阶近似,一般的解决方案(4.3)可以表达形式 在哪里是缓慢的时间尺度的复杂函数,表示的复共轭。

解决方案(4.5)替换成(4.4)获得 的复共轭cc代表所有以前的项目。人工智能复杂的函数应该选择满足条件是有界的。如果条款的右边(4.6)激励频率共振发生,因为激励频率与固有频率同时发生。这些术语,叫做世俗条件,应该淘汰(4.6)。所以扰动的频率需要检查其近似个人固有频率以及它们的组合。这个近似,有三个主要类别的简单组合共振(25]。各自的动态稳定性行为将在下面进行分析。

(a)和类型的组合共振
如果变异频率方法的和任意两个系统的固有频率,求和参数可能发生共振。的近似来可以表示通过引入解谐参数定义为 在哪里和分别是th和ER旋转梁的固有频率。
用(4.7)(4.6),消除世俗方面所需的条件(4.6)可以获得 在哪里和复杂的配合吗和,分别。应该说的和()(4.8由于复杂的剪切模量)是复杂的ER材料层,所示(3.19)。
的条件是重要的解决方案(4.8)应该是有界的,不稳定的边界地区,在这种情况下是由(9,22] 在那里,和分别是真实的和虚构的组件系统的复杂特征值;和和分别代表的真实和想象的成分。
当,(4.9)可以简化为临界条件不稳定的秩序谐波共振,

(b)不同类型的组合共振
当激励频率固有频率之间的差异在不同的订单和,这种现象称为组合不同类型的共振。它的不稳定的边界条件可以得到改变的迹象在上面的情况。相应的稳定和不稳定的边界曲线曲线

(c)无法共振的情况
考虑的激励频率是远离对所有可能的正整数的值和。在这种情况下,消除世俗方面所需的条件(4.6)是 因此,特定的解决方案(4.6)是
因为不存在的情况同时也在附近和,没有不稳定的解决方案(4.7)。因此该系统时总是稳定的是远离。

5。数值模拟和讨论

验证的可靠性计算方法在本文中,我们首先假设的角速度旋转ER夹层梁把它当作是一种静态的悬臂梁。梁的结构和材料参数(19)被用来计算固有频率和模态损耗因子前五个订单时电场强度kV /毫米。结果如表所示1。从表中我们可以看到,虽然在每个订单通过固有频率的方法本文略高于从Mead-Markus获得建模方法(19),不同的是最小的。损失因素通过两种方法基本上是相同的。我们也使用旋转梁的几何和材料参数在积极约束阻尼层(26)计算的固有频率和模态阻尼比前两个订单在不同旋转速度(表2),发现本文方法的结果几乎是一样的,从(26]。

电场的影响的动态特性和参数不稳定旋转ER夹层梁进行了研究。夹层梁是由一个ER材料核心和两个铝制弹性的脸。材料属性和几何参数如表所示3。ER在这项研究中使用的材料是相同描述(不27]。它的密度是1200公斤/米²,复杂的模量可以表示为 在哪里电场的kV /毫米。剪切储能模量和损耗模量如图4。

旋转夹层梁的动态特性与一个ER核心了。让的角速度旋转梁。固有频率和阻尼损耗因子可以通过特征值方程 在哪里是复杂的(rad / s)和频率相应的特征向量。复特征值表示为 在哪里阻尼损耗因子和吗是固有频率。

比较的ER夹层梁的固有频率和损耗因子与不同转速图所示5和6,分别。图5显示了电场强度的影响在前三个固有频率。可以看出电场强度增量的增加ER夹层梁的固有频率在不同的旋转速度。因此,旋转梁的刚度与外加电场强度的增加。图6说明了电场强度对损失的影响因素。先旋转速度,损耗因子增加随着电场强度的增加。但损耗系数与电场的强度下降当电场强度超过0.5 kV /毫米。这种趋势很明显降低模式和更少的明显更高的模式。数据5和6也表明,固有频率增加和损耗系数随转速的增加而减小。这是因为旋转ER梁的刚度随转速,而其阻尼随转速而减小。因此,旋转ER梁的固有频率和损耗因子可以改变通过改变外加电场的强度。

多尺度方法获得的参数不稳定区域旋转ER三明治梁周期性变量角速度。电场强度的影响参数不稳定的地区图所示7。数据7(一)和7 (b)说明了参数化第一和二阶不稳定区域兴奋共振,分别和数字7 (c)和7 (d)是参数化的不稳定区域兴奋组合共振的总和和不同类型。指出,增加电场强度会增加激励频率,这样不稳定的地区转移到右边。关键的最大转速(即。,the maximal rotating speed when parametric instability occurs) increases and the width of unstable region decreases with an increase in the strength of the electric field. Thus increasing the strength of the applied electric field not only moves the region of instability to a higher frequency, but also reduces the width of the region. That is, increasing the electric field strength will increase the stability of the beam.

稳定性分析的结果可以验证通过调查反应的时间点在图A和B7(一)。横向位移响应的时间计算在ER夹层梁的自由端(3.18)使用四阶龙格-库塔方法。A和B点的坐标图7(一)(0.8,3)和(1,3)。如图7(一)稳定地区,点A和B点不稳定的地区没有一个外加电场,而点A和B都是稳定的地区,当电场强度kV /毫米。

比较A和B点没有时间反应的电场图所示8。点的时间响应,如图8(一个)是有界的,有限的价值。然而,对于B点,这是在不稳定的地区,时间响应的振幅随时间增加,如图8 (b)。图9A和B显示了响应的时间点,当电场强度/毫米。这是表明时间点A和B都是稳定的,因为反应是有界的。因此,它是图的稳定性结果验证7(一)好同意的行为反应数据的时间8和9。

6。结论

的动态特性和参数不稳定旋转ER三明治梁与周期性变量角速度和有限元方法,研究了多尺度方法。电场对固有频率的影响,损耗系数,研究了参数不稳定的地区。当电场强度的增加,ER夹层梁的刚度增加在不同旋转速度和旋转不稳定地区的光束朝着高频部分。不稳定区域狭窄与电场的强度的增加,而所需的最大临界角速度光束参量不稳定性增加随着电场的增加。因此旋转ER的振动特性和动态稳定夹层梁可以调整时受到电场。这是证明了ER材料层可以用来改善旋转柔性梁的参数不稳定。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(11172100和11172100),和中国湖南省教育部科研基金(10 a021)。