文摘

与当地的立方非线性多自由度动力系统受到超级/次谐波激励被认为是。本文的目的是近似的非线性响应系统在超/亚谐波共振。在很多情况下,单共振模式往往是观察到的主要是系统进入超/亚谐波共振。在这种情况下,单一模态自然共振理论可以应用于减少系统模型和简化模型只有一个自由度总是获得。因此,一个近似解和频率响应关系的解析表达式然后使用经典摄动分析推导。系统是由多个模式,对线性系统模态分析用于确定主导模式。减少模型由这些相关的模式发现和结果在一个近似的数值解。离散非线性振动系统质-弹的一个佐证检查十自由度。近似结果验证通过比较它们与直接数值积分的计算原非线性系统的运动方程。相对良好的协议。

1。介绍

在工程中,许多动力系统组成的大型复杂的组件与当地物理非线性是随处可见的。例如,在结构动力学、有限元分析常被用来获得准确的离散模型的连续系统,通常有数百个自由度。如果一个非线性组件,比如联合或裂纹,添加到有限元模型,那么系统是完全非线性。其他的例子支持的这些系统管道加强弹簧和机动车的排气干摩擦铰链。类的大多数这些系统的非线性是立方的类型。一个典型的cubic-type非线性系统被称为杜芬系统(1]。杜芬系统有许多物理应用的文献[2]。

超级或次谐波响应的动力系统一直受到人们的关注。为例,你可以参考文献[3]。其他相关研究中发现(4- - - - - -8]。在[4),霁和汉森使用平均方法研究周期性地兴奋与分段非线性振荡器nonlinear-linear特点和派生的超谐共振的近似解。比较发达的有效性分析证实了近似解与原方程的直接数值积分的结果。Elnaggar和El-Bassyouny5]研究了谐波、次谐波上低,添加剂类型的组合共振自激两个coupled-second订单系统进行多频激励。理论结果的多尺度方法。用相同的方法Eissa和El-Bassyouny [6)研究的非线性响应滚船在普通梁海域。稳态振幅和相位的谐波振荡主要构造和超谐共振在他的工作。谐波平衡法来分析超级或子谐波响应扭转系统两自由度文献[7,8]。

本文的目标是寻求一个近似解,特别是分析解决方案,参数的系统与当地超级或子谐波共振条件下的非线性。尽管中提到的分析方法(3- - - - - -8),如均值法、多尺度法和谐波平衡法可以生产系统的解析解,给出稳定性分析的解决方案;他们通常应用于非线性系统自由度较低(4- - - - - -8]。对于大型系统,特别是大规模系统,分析方法的使用导致沉重的代数操作和高维非线性方程组。许多具有挑战性的问题(9),例如,坏脾气的迭代矩阵和严重的刚度问题,在解决大型非线性方程组,和特殊的数值算法10)是必需的。因此,分析方法常常失去表演高维动力系统。在这里,作者试图提供一种方法来给超级/子谐波解大型非线性动力系统。为此,基于单一的模型降阶方法自然模态共振理论(11是就业。使用方法是源于古典模型降阶技术(12,13),但很有优势在减少系统模型的总大小。降阶模型由于使用本文的方法具有较小的自由度,通常在许多应用程序中一个或两个自由度。

本文的概述如下。减少方法基于单自然模式共振理论在第一节简要介绍了。一些方法的适用条件也参与了这一节。一个illustratable例子系统质-弹十自由度是检查,并得到一些重要的结果和讨论在随后的部分。获得的结果与数值方法将验证解决原系统。结论是在上一节。

2。理论基础和配方

的运动方程自由度动力系统与当地立方非线性矩阵形式可以表示为: 在哪里是向量的物理坐标,,,是质量、阻尼和刚度矩阵,分别是向量的立方非线性作用力是时间的向量外部荷载。

摘要质量矩阵和刚度矩阵外部激励,认为是对称的吗谐波,阻尼矩阵(2。1)正比于系统的质量和刚度矩阵,即 的参数和是常数。

均匀无阻尼方程 导致特征值或光谱矩阵特征向量矩阵。

光谱矩阵是由 和特征向量矩阵表示为 的特征表示模态频率和模态形状,。

介绍了变换 在哪里是向量的模态坐标。

用(2。6)(2。1)的收益率 乘(2。7)的转置,一个获得

正交特征向量矩阵满足以下属性的质量和刚度矩阵 在哪里是单位矩阵。

瑞利阻尼,阻尼项在(2。8可以编写) 在哪里是模态阻尼系数。

使用(2。9)和(2.10),然后(2。8)转换为 或

比较(2。1)和(2.11)或(2.12),一个可以在数学发现他们是等价的。不像(2。1),条款(2.11)或(2.12)预计,非线性力是分开的。

方程(2.11)或(2.12)给出了模态响应方程系统。对于参数系统,系统的总反应的和所有的自然的反应模式。一般来说,更高的模式贡献少的总响应系统。因此,一个近似响应可以由一些较低的模式,也就是说,(2。6)可以约写的 的变量表示数量的降低模式,总是不超过原系统的自由度的数量。

显然,(2.12)和(2.13)描述一个降阶模型坐标形式的模式l原始模型的自由度。基于上述模型,可以快速获得一些重要的结果数量。它是古典模型降阶技术的关键。

观察和调查后对工程问题在很长一段时间里,郑教授透露实际工程系统总是由一些控制模式,几乎一个或两个模式在许多情况下。他进一步指出,只有一个模式(对应于共振模式)可能是导致系统进入谐振状态。他的发现具有普遍意义。对于许多工程问题,多关心下的系统动力学共振状态。毫无疑问,这一发现权力和加强传统的模型降阶技术。在本文中,我们按照他的理论研究和应用研究非线性动力学的超/亚谐波共振条件下的非线性参数系统。

假设只有th模式系统领导和其他模式小超级或子谐波共振模式发生。因此,系统的总反应大约是由忽视的贡献nonresonance模式和仅存的组件欠共振模式,也就是说,让 用(2.14)(2.11)或(2.12),一个可以减少模型的方程形式的共振模态坐标 和方程的形式non-resonance模态坐标 考虑立方非线性和谐波激励(如励磁余弦)系统,(2.15)可以简洁地重写 在哪里是小参数,,,是常数。表示激励的频率。

显然,(2.17)是一种单自由度方程。它可以很容易地得到一个解决方案的分析方法或数值方法。然后,一个人可以科举制的近似响应系统,与(2.14)。

正如上面所描述的文本,郑所呈现的理论(11是强大的。然而,这一理论是半经验的并不是严格制定数学。调查之后,本文的作者发现,理论可能是通常在下列条件下可用。(我)系统的自然频率分布稀疏。这意味着只有共振模式领先而non-resonance模式贡献少的总响应系统共振。(2)共振模式不应与其他non-resonance交互模式。这意味着内部不发生共振。(3)多频激励组合可能发生共振,但组合共振的响应是不感兴趣的价格相比优势共振模式。

现在,我们使用上述理论寻求一个近似解。在弱振动的一阶近似稳定的解决方案(2.17)应该是在表单中 用(2.18)(2.17),将小参数的系数相同的权力,一个获得 的通解(2.19)可以表达形式 在哪里,代表前面的术语的复共轭。

用(2.21)(2.20)的收益率 两个共振的情况下被认为是下一个:上低次谐波。

2.1。超谐共振

在这种情况下,我们把 在哪里是把参数。

插入(2.23)(2.22),消除世俗方面的条件(2.22)是 这个订单,被认为是一个函数的只有。然后,用极坐标形式 到(2.24),并将实部和虚部,一个 介绍,然后(2.26可以编写) 让,稳定时期的解决方案和感到满意 因此,稳定的解决方案

考虑(2.28),超谐共振的频率响应曲线 (2.29)和(2.14),可以得到稳定的超谐响应系统(2。1)。同样,组合使用(2.30)和(2.14),原系统的频率响应特性。

2.2。子谐波共振

在这种情况下,我们接受 插入(2.31)(2.22),消除世俗的条件条款 重复使用规则在超谐共振的情况下,稳态解 在哪里和都是由 频率响应曲线 (2.33),(2.35)和(2.14),可以得到系统的稳态解(2。1)和非线性频率响应特性。

3所示。数值例子

在本节中,离散mass-damping-spring系统的力学模型如图1由十个质量块支持下,非线性弹簧和阻尼器与系数线性。的激励在th质量块被认为是余弦,振幅、频率Ω,初始阶段,。物理坐标捐赠的绝对位移th质量块,测量从它的平衡位置。

的恢复力春天是由 在哪里和线性和非线性系数,代表春天的变形。

利用牛顿第二定律,管理系统的运动方程,给出了矩阵形式 的质量矩阵是 刚度矩阵是 激励力量是 非线性恢复力的组件是 瑞利阻尼,阻尼矩阵是 本模拟中使用的参数

3.1。振动特性分析

动态系统的本征频率分析发现系统的基本振动特性,例如,共振频率和振动形状。为了这个目的,我们首先执行本征频率分析。这个问题等于解决特征值undamper的自由振动方程(3.2)。QR法找到其特征值。前四个固有频率被发表在表1。

非线性振动理论、系统与频率谐波激励下Ω接近三分之一的或三次系统的固有频率的任何可能进入谐振状态:超谐共振或子谐波共振。系统的动态响应超谐或子谐波共振条件下研究了下一节。

3.2。超谐波共振

在本节中,我们使用了方法探讨超谐波共振。只有前两个固有频率对应的超谐共振。

3.2.1之上。的理由

在激励频率接近三分之一的第一固有频率,我们首先进行振动响应分析的模式与一系列给定频率。来执行它,(3.2)是一种形式的模式转换坐标。模式在不同激励频率的反应然后从模态方程的数值积分获得通过使用第五四阶Runge-Kutta-Fehlberg (RKF)方法和自适应步长。在仿真中,激励频率0.9267 rad / s, 0.9617 rad / s,分别和0.9767 rad / s。数值结果绘制在图2。图2说明了时间响应曲线的第一个四个模式系统。数据2(一个),2 (b),2 (d)激励频率的0.9267 rad / s, 0.9617 rad / s,分别和0.9767 rad / s。数据2 (b)和2 (c)激励频率相同但不同积分初始条件。清楚地显示在图2第一个模式是主要的反应,而其他的反应模式是弱的激励频率大约三分之一的第一固有频率。

从数据曲线绘制在图2,我们可以推断出系统的总响应是由第一个模式。根据运动方程方法,第一模式可以近似表示为 参数在哪里,,,。

数值积分的(3.9)RKF方法产量第一的反应模式。考虑到法律的(2.14),你可以获得原系统的近似响应(3.2)。近似的反应是由实线绘制在图3。验证近似响应,我们比较它与直接数值积分的结果(3.2),如图3。图3显示了稳定的十质量块的位移响应的系统将随着时间的推移。虚线是集成的结果(3.2),实线是近似结果生成的方法。数据3(一个),3 (b),3 (d)是激励频率Ω相当于0.9267 rad / s, rad /秒,0.9617和0.9767 rad / s,分别。图中的数据3表明,动态响应无疑是主要由第一模式控制系统在第一次超谐共振状态。

在仿真过程中,系统显示是对初始条件敏感,看到数字3 (b)和3 (c)。数据3 (b)和3 (c)同样的激励频率0.9617 rad / s但是不同的初始条件。很明显,数据3 (b)和3 (c)对应于两个不同的稳定稳定的解决方案。数据曲线数据3 (b)和3 (c)暗示有两个稳定周期解决方案在该地区的频率约0.9617 rad / s。

为了确定多个周期解的频率区域共存系统的近似频率响应特征方程来源于(3.9),在(2.30)。频率响应特性曲线是由实线绘制的图4。图4显示十质量块的位移响应幅值的系统变化随激励频率Ω。如图4,该地区存在两个稳定时期解决方案从0.9608到0.9634 (rad / s rad / s,和跳跃频率响应曲线出现在频率0.9608 rad / s和0.9634 rad / s。这些结果给出一个定性的预测系统的非线性动态行为(3.2)超谐共振的模式。

我们计算的集成(3.2)数值与扫频0.001向上或向下的方向迈出的一步。在非线性振荡理论方面,不仅包括基本频率的响应Ω,而且频率成分在Ω,3Ω,5Ω,等等。在弱振动,只有两个频率成分主要是观察到被包括在系统的响应,即频率Ω和3Ω。频率响应中,组件Ω是强迫的、和组成部分频率3Ω源于非线性共振。我们检查和分离组件的响应频率等于第三次的激发频率的总响应。结果绘制在图4点分。清晰的图4,预测结果与数值结果吻合很大程度上。

3.2.2。的理由

同样,我们首先研究的模式响应系统的超谐共振第二模式。反应的第一个四个模式之间的比较如图5。数据5(一个)- - - - - -5 (d)激励频率的2.175 rad / s, 2.275 rad / s, 2.375 rad / s,分别和2.475 rad / s。结果如图5表明第一模式是更强的反应比其他模式除了名义上的共振模式下,第二模式。这一现象是由主共振的第一模式。在这种情况下,激励频率接近第一固有频率。非线性使一个简单的方法为第一主共振的发生除了第二次超谐共振。因此,第二个模式是淬火的超谐共振第一模式的主共振。系统的动态响应是由第一个模式在这种情况下。使用该方法,可以得到运动方程由第一模式在第一个主共振。考虑主共振不是本文的主题,动态方程第一模式绝对不是给定的,它在其他的研究将进一步调查。图6频率响应曲线吗。圆图6表示第十质量块系统的响应幅度从数值积分获得的(3.2)。实线和虚线图6由动态模型绘制第一模式。

3.3。子谐波共振

在本节中,系统的动态响应检查子谐波共振的条件下。两种情况只是参与其中,和。

3.3.1。的理由

系统具有多个自由度总是有多个自然模式。系统被激发,多种模式有时会兴奋,如图7。图7显示前6模式的稳定响应的激励频率附近的三个时间第一固有频率。对数字励磁频率的值7(一)- - - - - -7 (d)是8.26,8.56,8.86和9.16,分别。如图7,第二个的反应模式是最强的。第三种模式的贡献的总响应系统不能被忽略。第一个模式名义上作为共振模式,但其反应不是主要的。在这种情况下,我们可以近似的反应系统由多个模式贡献更大的反应系统。例如,我们近似的反应系统使用两种模式:第二模式和第三模式。数值结果绘制的黑线人物8(一个)和8 (b)。数据8(一个)和8 (b)是十的瞬态和稳态响应质量块在系统给定的激励频率rad / s,分别。还在这个模拟中,我们研究的反应系统的结合前三个模式和完整的模式。相应的结果绘制在数字8(一个)和8 (b)分别由红线和蓝线。从数据8(一个)和8 (b)结果,我们可以得出这样的结论:由前三个模式近似数值积分的结果(3.2)。

同样,我们近似的反应系统的不同组合模式的频率rad / s。结果表明响应是复杂的,近似得到更多的模式。花十块质量的响应。瞬态和稳态响应数据绘制9(一个)和9 (b)。从数据曲线数据9(一个)和9 (b),结果由五个模式是在良好的协议与获得的结果完整的模式。在这个仿真,使用模式是前五个模式。

3.3.2。的理由

现在,我们研究系统的动态行为的激励频率等于三倍第二固有频率。结果表明,在高频振动动态行为非常复杂。图10显示了前八模式对励磁频率的响应rad / s。很明显,多种模式同时感到兴奋和导致的总响应系统。我们使用前五个模式,第一个七模式,和完整的模式来检查系统的动力响应,分别。结果绘制在图11。显然在图11,结果由前七模式近似原始模型的结果。近似的动态响应频率高,应该使用更多的模式。

3.4。误差分析

定量评估的近似结果,我们进行误差分析。通用,我们考虑以下三种情况:(一) = 50,= 0,Ω=/ 3 = 0.917;(B) = 20,= 50,= 0,9Ω=/ 3 = 0.917;(C) = 50,= 0,Ω= 3ω₁= 8.2505。

3.4.1。情况下

图12显示了不同的物理坐标的时间响应。相应的近似解之间的误差分析和参考解决方案获得的直接集成(3.2)在图给出13。如数据所示12和13,近似解捕获系统的主要动力行为(3.2),尽管本地差异发生的振动响应系统到达峰值或低振幅。

3.4.2。案例B

从数据12和13,我们可以得出结论,高模式影响本地系统的动力学特性。纠正它,我们使用多个模式近似系统的解决方案。结果呈现在图14和表2。在这种情况下,前两种模式。图14描述了时间响应的物理坐标。在图14,红色虚线表示计算的集成的解决方案(3.2),黑色实线表示两种模式的近似解。这两个结果之间的相对误差占表2。

3.4.3。案例C

在这种情况下,响应的物理坐标是检查。我们雇佣前三个模式,第一个四个模式近似其时间响应曲线,分别。结果绘制在图15。错误的分析进一步说明了高频的振动非常复杂。获得足够精度的近似解,应该考虑更多的模式。

4所示。结论

参数的系统的响应与当地立方超级和次谐波共振条件下的非线性研究。的反应模式由数值积分线性化系统的第一次检查。通过比较反应的所有模式,领先的模式发现,控制整个反应系统。的一个主要模式,单一自然模态共振理论用于生成减少只有一个自由度的动力学模型。定性和定量的结果。通过比较它们与数值结果的集成系统的动态方程,近似结果的方法,在很大程度上,与数值结果的协议。非线性频率响应特性包括在本文中。在弱振动,频率响应方程的解析表达式来自减少模型。跳和共存的地区多个稳定状态的解决方案成功地预测。相互作用的多种模式,系统的近似响应通过减少模型描述由多个不同的模式。 Results show that the response of higher frequency is very complex. To get good approximation, more modes are combinated used. This paper provides us with a new way to get fast an approximate super-/sub-harmonic solution of a MDOFs system with local nonlinearities at resonance state in both quality and quantity.

承认

作者要感谢郑ZhaoChang教授和教授任GeXue帮助这项工作。