能量平衡法(实证)延长高阶非线性振子。为了说明方法的有效性,cubic-quintic杜芬振荡器被选中。的最大相对误差的频率振荡器读第一和二阶近似1.25%和0.6%,分别。三阶近似的精度高达0.008%。优秀的协议的近似与精确的频率和周期解是演示了几个振荡器的参数值。
1。介绍
大量的工作一直致力于非线性问题领域的应用数学,物理,工程科学。一般而言,分析近似给定的非线性问题的解决方案是困难的,有时是不可能的;大量的技术实现了基于数值方法。其中包括变分迭代法(1,2),谐波平衡法(3,4),和能量平衡方法(5- - - - - -8)开发来解决非线性微分方程。在这项研究中,我们调查了应用高阶能量平衡方法cubic-quintic杜芬振荡器。非线性频率计算第一、二、三阶循证医学的结果并与不同的技术。
2。能量平衡方法的基本思想
本节简要介绍了能量平衡方法提出他(5]。在这种方法中,建立了振动的变分原理,那么相应的角频率的哈密顿被认为是可以很容易地通过伽辽金方法。
让我们考虑一般振荡器的运动的初始条件的形式
在哪里是初始振幅。
其变分可以写成
在这里非线性振荡的周期和吗。
的哈密顿(2.1可以书面形式):
在(2.2)的动能和潜在的能量可以分别表示为,。
以来整个振动系统是保守的,在运动的总能量保持不变;振荡器的哈密顿成为一个恒定值,
对于一阶近似,以下测试函数可以认为:
用(2.5)(2.3)收益率以下剩余:
残被迫零,在平均意义上,通过设置加权剩余的积分为零
在哪里是一组权重函数(或试验)。
有很多的加权函数,也就是说,加勒金,最小二乘法,搭配等等。在这项研究中,我们利用伽辽金方法作为权重函数。
3所示。高阶能量平衡方法
为了延长他的能量平衡方法,让我们假设的解决方案(2.1)可以表示为
从初始条件,系数应满足以下约束:
可以选择其中一个参数作为参数的依赖。因此,
通过插入(3所示。1)(2.7),可以获得以下系统:
4所示。例子
一个cubic-quintic杜芬振荡器。在下面几节中,非线性频率将与不同的技术的结果说明了能量平衡方法的效率和精度。
这种振荡器的控制微分方程的形式
与初始条件
的哈密顿(4.1)给出如下:
一阶近似的假设在以下形式:
用第一个近似成(4所示。2)的收益率
可以通过设置一阶近似
第一幅频关系近似得到
获得更准确的结果,让我们定义如下:
用(4所示。7)(4所示。2以下剩余)结果:
我们设置
通过求解(4.9)- (4.9 b)的同时,可以获得二阶近似幅频关系。为不同的值,给出了近似频率表1。
此外,结果将进一步提高通过定义的准确性在以下形式:
用(4.10)(4所示。2),我们得到以下剩余的三阶近似:
插入(4.11)(3所示。3)上面解释和使用相同的过程,我们得到三个加权积分。同时解决这三个方程,三阶近似的幅频关系。对于高阶近似,可以应用类似的程序,然而,三阶近似的准确性是合适的几个参数的值,,。
在下面,cubic-quintic振荡器的非线性频率两种不同情况下的计算:(i)和(2)。
第一种情况考虑对应于立方杜芬振荡器。为非线性频率得到的结果,第一,二,三阶能量平衡方法并与结果(4,9]。在第二种情况下,,给出了非线性频率表2。此外,所有情况下的数值解是通过标准龙格-库塔法(实际)。
在表1一阶近似读,相对误差为1.25%,虽然这在第二近似误差降低到0.59%。我们观察到三阶之间的差异和精确的频率是足够小。
见表2,三阶近似的结果很好的数值结果之间的协议。近似的比较和数值解也可以在图中找到1。可以看出,第一,和二阶结果略有差别相比,数值解。然而,三阶近似数值解的重叠。
5。结论
在本文中,延长高阶能量平衡方法的解决方案。达芬的一阶近似频率振荡器提供1.25%的相对误差,而第二个,和三阶近似频率相对误差达到0.59%和0.008%,分别。此外,高阶能量平衡的相对误差减小到较小的值比全局误差最小化和谐波平衡方法。因此,我们可以,扩展方法非常有效且方便的cubic-quintic杜芬振荡器。
