近端解析中心割平面算法求解变分不等式问题

文摘

条件下,映射的值评估约,我们提出一个近端截平面算法求解变分不等式分析中心。它可以被认为是一个近似的割平面法的早些时候,我们强加的条件对应的映射是更放松。该算法的收敛性分析也是本文的末尾。

1。介绍

根据(1),算法求解有限维变分不等式的历史相对较短。最近的发展,这些方法是基于剖切面分析中心方法的方法。它结合了新开发的内点方法的特点与古典截平面方案实现多项式复杂性理论和在实践中快速收敛。可以找到更多的细节在2,3]。具体来说,戈氏et al。4)开发了一个收敛的寻找解决方案的框架的变分不等式与连续映射从来和多面体下一个假设略强于pseudomonotonicity。再一次,马克特和朱5)将该算法扩展到quasimonotone变分不等式满足弱额外的假设。这些方法在实践中是有效的。

注意,优化问题的事实,看到6- - - - - -8),一些功能来通过自己定义其他最小化问题。例如,考虑拉格朗日松弛,看到9- - - - - -12),原始问题 在哪里是一个紧凑的子集和,两个函数。拉格朗日松弛在这个问题导致了这个问题,在那里 是双重功能。试图解决问题(1.1)通过解决其对偶问题变得更加困难,因为在这种情况下评估函数值需要精确的解决另一个优化问题(1.2)。让我们看看另一个例子:考虑问题 在哪里凸(不一定是可微的),是一个非空的闭凸集,被称为Moreau-Yosida正规化的在,也就是说, 在哪里是一个积极的参数。一个点是一个解决方案(1.3)当且仅当它是一个解决问题的办法: 问题(1.5比()更容易对付1.3),[13]。但在这种情况下,计算的函数值在任意点是困难的甚至是不可能自本身是通过一个最小化问题涉及定义另一个函数。直觉上,我们考虑函数的近似计算。

从上述现象还存在映射来,在那里和分别是两个子空间的任意两个有限维空间。一旦一个映射,更具体地说,一个连续而不是显式隐式定义的映射,映射的近似成为不可避免的,看到14]。在本文中,我们尝试解决通过假设的值映射从来只能近似计算。在假设下,我们构建一个算法求解近似变分不等式问题我们也证明存在一个聚点的算法产生的迭代点,这是一个解决原来的问题。

本文组织如下。介绍了一些基本概念和结果部分2。节3近端解析中心割平面算法求解变分不等式问题。该算法的收敛性分析中解决部分4。在最后一节中,我们给出一些结论。

2。基本概念和结果

让是一个多面体,一个连续的映射来。一个向量变分不等式的解吗当且仅当它满足系统非线性不等式: 向量对偶变分不等式的解吗的当且仅当它满足 我们表示的解集,的解集,分别。每当是连续的,我们有什么,15]。如果是pseudomonotone,然后,15]。如果quasimonotone在和不正常在,然后非空的,见命题1 (5]。单调的定义,pseudomonotone quasimonotone,看到5,15]。

定义2.1。函数的差距和的和分别定义的 请注意,,当且仅当是一个解决方案,当且仅当是一个解决方案。因此,。

定义2.2。一个点被称为一个解决方案,如果对于给定。

定义2.3。为,我们说当且仅当,因为,在那里。

假设。在这篇文章中,我们提出以下假设:,因为任何,,在那里,我们总是可以找到一只和一个这样 这些假设是现实的实践中,看到16,17]。通过使用给定的架构(16,17),我们可以近似的映射任意因为神经网络可以逼近任何函数从一个真正有限维向量空间到另一个任意的好,看到18]。具体来说,让我们考虑单变量函数的情况。如果是一个min-type函数的形式 其中每个凸,是一个无限集,然后计算可能不可能。然而,我们可能仍然考虑两种情况。在第一种情况下的控制精度,为每一个积极的你可以找到一个最小值(2.5),也就是说,一个元素令人满意的;在第二种情况下,这可能只是一些固定(任何可能未知)。在这两种情况下,我们可以设置。的一种特殊情况(2.5)起源于拉格朗日松弛15),这个问题与原始问题的拉格朗日对偶吗 与为。然后,对于每一个乘数,我们只需要找到这样,19]。
在上述假设条件下(2.4),我们引入了一个近似的问题与:找到这样 在哪里满足对于任意的。其对偶问题是找到这样 在哪里满足对于任意的。

定义2.5。的差距功能被定义为。

定义2.6。一个点被称为一个解决方案,如果对于给定。
最优解集和是用和,分别。下列命题可以确保非空的。

命题2.7。如果存在一个点这样 和不正常在,然后非空的。

证明。自不正常在,存在一个点这样。,设置为,那么我们就有和。注意条件(2.9),我们得到。让,它遵循的条件(b) (2.4),,也就是说,。

在以下部分中,我们关注解决。让表示一个辅助映射,连续和强单调,,也就是说, 对于一些。我们认为相关的辅助变分不等式的解决方案满足 针对强单调性的关于辅助变分不等式,这有一个独特的解决方案。

命题2.8。映射上是连续的。此外,是一个解决方案当且仅当。

证明。的第一部分命题遵循从定理5.41]。证明第二部分,我们首先假设。这个收益率,也就是说,解决了。相反,假设解决了,然后 从(2.11),我们有 添加两个之前的不平等,一个获得 我们得出结论,从强大的单调性关于,这。

让是两个正数。让最小的非负整数满意 在哪里满足对于任意的。一个有限的存在将在命题证明吗2.9。复合映射定义,每一个,通过 如果是一个解决方案,那么我们就有,和。

命题2.9。操作员每一个定义良好的吗。此外,我们有 在哪里鉴于数量(2.4)- (c)。

证明。定义的,我们有 假设(2.15)不持有任何有限整数,也就是说, 注意假设(2.4)- (b),我们获得 因此, 自,(2.21)是在矛盾(2.18)。证明第二部分,我们注意到 如果,这意味着第二个命题的结论2.9成立。

命题2.10。如果,然后,我们有

证明。让,然后和 自,所以。因此, 对所有,拥有 通过结合(2.25)和(2.26),我们得到,也就是说,。

3所示。近端解析中心割平面算法

算法3.1本节提供的修改算法(5]。算法3.1描述如下。

算法3.1。让的强单调性常数关于,让,两个常数。集,。
一步1(计算中心)。找到一个近似分析中心的。
一步 (停止准则)。如果,停止。
一步3(辅助变分不等式问题解的近似)。找到,这样 在哪里满足,。
一步4(近似剖切面的建设)。让和,在那里是最小的整数满足吗 在哪里满足。
让,
增加由一个步骤1。
算法结束3.1

4所示。收敛性分析

在[20.),作者提出了列生成方案生成多面体,他们证明了如果满足下面的不平等 在哪里是一个常数,该计划将停止与一个可行的解决方案,也就是说,他们可以找到一个向量这样与,包含一个全面的封闭球半径。换句话说,存在最小的这样生成的列生成方案不包含球半径,它被称为有限的财产。很容易知道定理6.6的结果(20.对我们的算法)也认为没有多少改变3.1使用近似的中心。通过使用行代方案,存在最小的这样在第4步算法生成的3.1不包含球半径躺在多面体。这个结果起着重要的作用在证明收敛的算法描述3.1节3。

定理4.1。让多面体非空的内部,让非空的。假设(2.4)持有。然后要么算法3.1停止与解决在有限数量的迭代,或存在一个无穷序列的子序列收敛于一个点。

证明。假设在每一个迭代中,让。从命题2.10,我们知道永远躺在对于任何。让是室内的任意序列的点收敛于和一个正数,这样的序列球的顺序关闭在于内部。请注意,。从有限的财产,我们知道存在最小的指数和一个点这样满足 作为,存在一个点上段这样。自紧凑,我们可以提取的一个收敛的子序列。表示由其极限点 从命题2.9,我们知道是有界的。因此,我们可以提取形式一个恒定的子序列。现在的连续性固定和关系(2.15)和(4.3),它是通过极限(4.3), 由命题2.10,我们得出这样的结论:。

定理4.2。定理的条件下4.1,要么算法3.1停止与解决在有限数量的迭代,或存在一个无穷序列的子序列收敛于一个点。

证明。自,。最后步骤4的算法3.1我们增加所以我们有,作为。此外,作为在算法3.1,在那里表示零向量。这意味着作为。因此,从第二定理的结果4.1,我们知道解决这个问题吗。

5。结论

在[5),作者提出了一个截平面法求解quasimonotone变分不等式,但是整个论文他们聘请的确切信息映射从来。就像我们的论文的第一部分的讨论,有时候,它不是那么容易,甚至无法计算的确切值映射。出于这一事实,我们考虑构建一个近似的问题的,尝试一个近端截平面算法求解分析中心。与[5),我们的算法可以看作是一个近似算法,并容易实现比5),因为它只需要相应的不精确信息的映射。与此同时,我们对相应的映射的条件是更放松,例如,(5)需要映射满足李普希兹条件,但是我们只要求所谓的近似李普希兹条件(2.4)- (c)。

确认

这部分工作是由中国国家自然科学基金(批准号。11171138,11171138)和辽宁省高等学校科研项目的教育部门(批准号L2010235)。

引用

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