文摘
我们引入一个新类的亚纯函数与spirallike相关函数。等结果从属性质,积分表示,卷积性质,和系数不等式是证明。
1。介绍
让表示函数的类的形式 这是分析在刺穿打开单位圆盘
让表示函数的类给出的 分析在和满足条件
让,在那里是由(1。1),被定义为 然后阿达玛的产品(或卷积)被定义为
对两个函数和,分析我们说的函数隶属于在和写 如果存在一个施瓦兹函数,这是分析与 这样 的确,众所周知, 此外,如果函数是单价的,我们有以下等价:
一个函数据说是在课堂上的亚纯星形的功能 如果它满足不等式
为实数,我们知道 如果复数满足条件 它可以很容易地验证
我们现在引入并研究了一类亚纯函数。
定义1.1。一个函数据说是在课堂上如果它满足不等式
1.2的话。为,类是熟悉的一类亚纯函数星形的秩序。
1.3的话。如果,那么条件(1.16)等价于
这意味着属于亚纯spirallike函数的类。因此,亚纯spirallike函数的类是类的一个特例。
对最近的一些调查spirallike函数和相关函数,见,例如,早期作品(1- - - - - -9)和引用引用早些时候在这些调查。
1.4的话。这个函数
属于类。
很明显,
然后,对于函数由(1.18),我们知道
这意味着。
在本文中,我们针对推导从属属性,积分表示,卷积特性,系数函数类的不平等。
2。初步结果
为了得到我们的主要结果,我们需要下面的前题。
引理2.1。让是一个复杂的数字。还假设序列被定义为 然后
证明。从(2。1),我们知道 由于(2。3),我们发现 因此,对于,我们推断(2。4), 由于(2。1)和(2。5),我们得到所需的断言(2。2)的引理2。1。
引理2.2(杰克的引理10])。让是一个非常数的常规功能。如果达到其最大价值的循环在,然后 对于一些实数。
3所示。主要结果
我们首先推导以下从属属性属于类的函数。
定理3.1。一个函数当且仅当
证明。假设
我们很容易知道,这意味着
在哪里分析在与和。
它遵循从(3所示。3),
相当于从属关系(3所示。1)。
另一方面,上述演绎过程可以交谈。定理的证明3所示。1因此完成。
定理3.2。让。然后 在哪里分析在与和。
证明。为通过定理3所示。1我们知道,(3所示。1)适用。由此可见,
在哪里分析在与和。
我们现在找到的(3所示。6),
经整合后,收益率
断言(3所示。5)的定理3所示。2可以很容易地源于(3所示。8)。
定理3.3。让。然后
证明。假设。由定理3所示。1我们知道,(3所示。1)成立,这意味着 很容易看到,条件(3.10)可以写成: 我们注意到, 因此,用(3.12)(3.11),我们得到所需的断言(3所示。9)的定理3所示。3。
定理3.4。让。如果,然后 不平等(3.13)是锋利的函数
证明。假设
我们很容易知道。
如果我们把
众所周知,
从(3.15),我们有
我们现在设置
它遵循从(3.18),
结合(1。1),(3.16)和(3.20),我们得到
鉴于(3.21),我们得到
从(3.17)和(3.22),我们得到
此外,我们推断(3.17)和(3.23),
接下来,我们定义的序列如下:
为了证明
我们利用数学归纳法的原理。被注意到
因此,假设
结合(3.25)和(3.26),我们得到
因此,通过数学归纳法的原理,我们
根据需要。
通过引理2。1和(3.26),我们知道
结合(3.31)和(3.32),我们很容易得到的系数估计定理断言3所示。4。
清晰度,我们考虑的功能由(3.14)。一个简单的计算显示
因此,函数属于类。自,我们有
然后就变成了
这就完成了定理的证明3所示。4。
定理3.5。如果满足不等式 然后。
证明。为了证明,这就可以证明
相当于
从(3.36),我们知道
现在,由最大模原理,我们推断(1。1)和(3.39),
这意味着定理的断言3所示。5成立。
定理3.6。如果满足条件 然后。
证明。定义的函数通过
然后我们看到分析在与。
它遵循从(3.42),
通过差异化的两边(3.43)对数,得到
从(3.41)和(3.44),我们发现
接下来,我们声称。事实上,如果不是,存在一个点这样
由引理2。2,我们有
此外,对于,我们发现从(3.44)和(3.47),
但是(3.48)与(3.45)。因此,我们得出这样的结论:,这是
这表明,。
确认
目前的调查得到了国家自然科学基金资助下11101053和11101053,中国教育部的重点项目在211118年格兰特,湖南省优秀青年的基础教育委员会在授予10 b002,关键的开放基金项目研究哲学和社会科学学院在湖南大学拨款fefm02 11和12 fefm02,和自然科学基金重点项目的教育委员会授予12下的河南省a110002中华人民共和国。作者要感谢裁判的仔细阅读和有价值的建议,从本质上提高文章的质量。