文摘
一些新的Kantorovich-type本文提出了埃尔米特矩阵的不平等现象。我们认为这些不平等现象发生了什么当正定矩阵允许可逆的并提供了经典的改进结果。
1。介绍和预赛
我们第一次国家知名Kantorovich不等式一个正定厄密矩阵(见[1,2),让是一个正定厄米矩阵与真正的特征值。然后 对于任何,,在那里表示矩阵的共轭转置。一个矩阵埃尔米特如果。一个等价形式的这个结果纳入 对于任何。
归因于Kantorovich,不平等已经积累了相当多的文献。这通常包括概括。的例子是(3- - - - - -5为矩阵的版本。运营商开发版本(6,7]。多元版本已经在统计评估有用的最小二乘的鲁棒性,看到8,9)和引用。
由于原始Kantorovich不等式的重要应用矩阵(10在统计数据8,11,12和数值分析13,14),这种类型的任何新的不平等将会有一个流动的后果等领域的应用。
出于上述纯粹和应用数学的兴趣我们建立本文Kantorovich不等式的一些改进。古典Kantorovich-type修改不平等不仅应用于正定而且可逆的埃尔米特矩阵。自然工具推导新的结果,最近Gruss-type不平等对向量的内积6,15- - - - - -19)是利用。
为了简化证明,我们首先介绍一些前题。
2。前题
让是一个埃尔米特矩阵与真正的特征值,如果半正定,我们写什么 也就是说,,。在,我们有标准定义的内积,在那里和。
引理2.1。让,,,是实数,那么有以下不平等:
引理2.2。让和埃尔米特矩阵,如果,然后
引理2.3。让,,如果,然后
3所示。一些结果
下面的前题可以从[获得16- - - - - -19代替希尔伯特空间与内积空间,所以我们忽略细节。
引理3.1。让,,向量在,。如果,,,是真实的或复杂的数字,这样吗 然后
引理3.2。假设的引理3.1,一个
引理3.3。假设的引理3.1,如果,,一个
引理3.4。假设的引理3.3,一个
4所示。埃尔米特矩阵的新Kantorovich不平等
在埃尔米特矩阵,如(6),我们定义以下改变: 当是可逆的,如果那么, 否则,那么, 在哪里
从引理2。3我们可以得出结论,和。
两个埃尔米特矩阵和,,,我们定义以下功能: 当,我们表示 为,。
引理4.1。上面的符号,和,,然后 如果, 如果,
证明。从,然后 同时,从引理2。2,我们可以得到 然后很简单。的证明是相似的。
引理4.2。上面的符号,和,,然后
证明。因此, 而 同样,我们可以得到,那么我们完成证明。
定理4.3。让,两个埃尔米特矩阵,,被定义为上面呢
对于任何,。
如果,,然后
对于任何,。
证明。证明之前的前题3.1,3.2,3.3,3.4在选择,,,,,,,,,分别。
推论4.4。让埃尔米特矩阵,上面的定义是
对于任何,。
如果,然后
对于任何,。
证明。定理的证明遵循4.3在选择,分别。
推论4.5。让埃尔米特矩阵和上面的定义是,一个有以下。
如果,然后
对于任何,。
如果,然后
在哪里,
对于任何,。
证明。证明之前的推论4.4通过替换与,分别。
定理4.6。让是一个可逆的埃尔米特矩阵实特征值,然后有以下。
如果,然后
对于任何,。
如果,然后
在哪里,
证明。考虑
当,从(4.17)和(4.21),我们得到
从,我们有
然后,结论(4.27)持有。
同样,从(4.18)和(4.22),我们得到
然后,结论(4.28)持有。
从(4.19)和(4.23),我们得到
然后,结论(4.29)持有。
从(4.20)和(4.24),我们得到
然后,结论(4.30)持有。
当,从(4.17)和(4.25),我们得到
然后,结论(4.31)持有。
从(4.18)和(4.26),我们得到
然后,结论(4.32)持有。
推论4.7。上面的符号,对于任何,,一个让
如果,一个让
如果
如果,然后
在哪里,
然后,一个具有以下。
如果,
在哪里
如果
在哪里
4.8的话。很容易看到,如果,结果,我们伴随着不平等的运营商版本(6]。所以我们得出结论:我们的结果给出一个改善Kantorovich不等式(6],适用于所有可逆的埃尔米特矩阵。
5。结论
在本文中,我们介绍一些新的Kantorovich-type可逆的埃尔米特矩阵不等式。不平等(4.27)和(4.31)是一样的4),但我们的证据很简单。在定理4.6,如果,,结果类似于运营商的知名Kantorovich-type不等式(6]。此外,对于任何一个可逆的埃尔米特矩阵,存在一个类似的不平等。
确认
作者感谢副主编和两个匿名裁判的言论已经帮助改善目前工作的最终版本。这项工作是由重庆市教育委员会的自然科学基金(没有。KJ091104)。