文摘
圆形Sitnikov问题再现,利用匹配渐近展开。大的振荡周期,周期近似解析表达式,第三体的轨道。结果与文献中描述和显示第三体的运动可以被两个解析解,内在和外在的解决方案。
1。介绍
Sitnikov问题[1)是一种特殊情况下的限制性三体问题。Sitnikov的配置问题被定义为:两个点状的尸体相等质量(称为初选)绕他们共同的质量中心由于相互引力,和可以忽略不计的第三个身体质量沿着一条线,垂直于轨道平面的初选,经历他们的重心和执行振荡沿直线(图1)。
圆形Sitnikov问题时获得的两个主要机构描述圆形轨道。这种情况最初是由麦克米伦(讨论2),表明这个问题可以减少椭圆积分。后,几个作者分析了通用和圆形Sitnikov问题。当两个初选的身体情况描述椭圆轨道首次调查Sitnikov [1),证明了振荡解这个问题的存在。随后,莫泽[3证明了存在混沌轨道。Perdios和Markellos4]研究了直线运动的稳定性和分岔的第三个身体。德沃夏克(5]研究,通过数值方法,小行星的运动限制在一个小区域重心的初选,发现不变曲线存在很小的振荡中心引力中心。为有界的轨道与温和的振幅,哈格尔(6)表明,运动方程可以表示一个多项式形式。刘和太阳7)派生一个映射模型来调查这个问题。Wodnar [8)引入了一个新配方的运动方程通过初选的真正异常作为独立的变量。Belbruno et al。9]推导圆的解析表达式,使用椭圆函数(麦克米伦问题)。Faruque [10)发现近似解析解为小振荡重心和温和的怪癖。最近,德沃夏克(11]研究了完整的相空间数值。科瓦奇和Erdi12]报道的相空间扩展Sitnikov问题通过使用频闪映射和计算逃生时间。实例当第三体的质量不可忽视的(扩展Sitnikov问题)研究了德沃夏克和太阳13]。Soulis et al。14)也研究了情况第三身体可以离开设在(广义扩展Sitnikov问题)。2009年,哈格尔(15]导出的解析表达式的近日点运动初选,当第三身体有一个有限的质量。
Bountis和Papadakis16]分析了任意数量的主要质量问题,Sidorenko [17)补充以前的工作家庭的稳定和不稳定的交替的垂直运动。最近,Ruzza和Lhotka [18)执行一个数值的实现建设高阶椭圆轨道附近的范式。
在这项工作中,我们假设第三体的能量接近逃脱的能量。在这种情况下,轨道的周期大,因为身体从原点到很远的地方,然后返回。时期的数值计算变得复杂,主要是因为计算时间很长并且有必要诉诸渐近分析来支持数值计算。
2。运动方程
第三个身体的运动方程 在哪里主的身体和之间的距离吗距离第三身体重心和代表时间。之间的距离主要是由尸体 在哪里初选的古怪异常,是轨道的偏心率的初选。初选在圆形轨道时,,(2.1)是减少到 方程(2.3)代表圆形Sitnikov问题,也称为麦克米伦的问题。积分(2.3与初始条件):和我们获得 定义参数作为 方程(2.4)转换成 变量的变化,然后,让我们找到下面的表达式来描述第三体的位置(2]: 是由 这个积分可以执行使用椭圆积分,但它是不可能扭转(2.7找到一个显式表达式。然而,可以找到一个近似分析的周期轨道通过匹配渐近展开第三体的能量接近时的能量逃跑。逃逸速度的概念,本文中使用的最小速度在原点处获取一个无界的轨道。从(2.4),发现逃逸速度的值如下:。在这种情况下,我们有。
3所示。渐近展开
当第三个身体速度接近逃逸速度,也就是说,,(2.6)可以写成
机械总能量()第三的身体,可以写的为:,轨道时获得的。在的情况下,一个无界的轨道,的最低能量是第三个身体逃离引力场的主要机构。
如果是一个积极的小参数,第三个身体是有界的轨道,但有一个很大的幅度,那么方程可以解决通过匹配两个渐近解。
3.1。近场
在地区接近原点,我们有:因此,解决方案(3.1可以近似)以下内部渐近展开: 扩张的有效性(3.2)将在匹配过程中验证(见部分3.3)。介绍了渐近展开(3.2)(3.1),我们得到以下方程的主要顺序和第一批订单更正: 初始条件是:和。
方程(3.3)代表粒子通过原点的运动速度等于逃逸速度。积分(3.3)给 这个积分可以分析计算 在哪里是超几何函数。从初始条件,我们有,(3.4)可以转化为更有用的如下: 介绍(3.3)(3.7),我们获得以下为一阶扰动方程: 解决方案(3.8)是给定的表达式 这个积分的超几何函数可以表示为
3.2。远场
在该地区远离原点,参数有一个重要的作用(3.1),因为定义了最大距离达成的第三个身体从原点:。此外,我们在这个地区和(3.1)可以近似 这个微分方程代表了外的解决方案。积分方程,得到以下表达式: 这个积分也可以分析计算,即: 常数的价值在哪里必须由内部和外部之间的匹配计算的解决方案。
3.3。匹配过程
在该地区,内部和外部的解决方案是有效的,那么(3.6)和(3.13)必须匹配。
在该地区,(3.6)以下渐近表示: 我们使用以下超几何函数的渐近展开: 在该地区渐近解(3.13)可以扩展幂级数,那么我们得到的一阶方程,即 在领先的秩序,之间的匹配(3.14)和(3.17)提供以下值为常数: 介绍(3.18)(3.13),获得以下表达式在远场: 我们可以进行进一步结合内部解决方案(3.6)和外部解决方案(3.18)到一个统一的近似: 在哪里获得(3.14),得到: 通过评估的quarter-period轨道(3.18),因此我们得到以下时间的表达式:
3.4。在高阶匹配
进行一阶的渐近匹配更方便写(3.1在内部区域如下: 扩大(3.22)的权力,我们得到: 这个积分也可以分析计算,即: 从初始条件,我们有。
在该地区,(3.24)有渐近表示 进行更准确的估计,更准确的估计的行为对于大型是必要的,一个更好的近似(3.11对于大型的值)导致 分离变量(3.25),代数操作后,会导致以下近似积分: 最后,发现以下表达式改进外解决方案: 在该地区渐近解(3.28)可以扩展幂级数,然后我们得到渐近展开: (之间的匹配3.25)和(3.29)提供以下值为常数: 介绍(3.30)(3.28),获得以下表达式在远场 通过评估的quarter-period轨道(3.31),从而获得以下表达式的(包括修正订单):
4所示。结果
在本节中,结果使用无量纲变量,表示无量纲时间,无量纲距离。在此表示,结果一般,没有必要给数值常量,和。
图2介绍了函数与。实线对应的数值积分获得的解决方案(3.1),虚线代表外部解决方案(3.31)。可以看出,虽然不是很小,解析解是相当准确的。
图3显示与,在第一季度的轨道内,外的解决方案(3.31)和内部解决方案(3.6(虚线),可以享受到的数值解用实线表示。因此,在该地区靠近坐标原点,外部解决方案应该内部解决方案所取代。在图3你可以看到两者之间的匹配解决方案是围绕在一个区域。
图4显示了函数反对。实线对应的数值积分获得的解决方案(3.1),虚线代表外部解决方案(3.31)。可以看出,数值和解析解是没有区别的。这一结果表明,的值,第三个身体的运动可以被两个分析解决方案,内部和外部的解决方案。
图5显示与在该地区内部之间的匹配解决方案(3.6)和外部解决方案(3.31),它可以注意到匹配是围绕在一个区域。
作为参数,地区之间的匹配的位置大约两个解决方案将集中在一个位置,因此,在如此,轨道是无界的,内部解决方案是轨道的精确解。
图6显示与在第一季度的轨道内,虚线代表统一近似(3.19)和实线表示的数值解。可以看出,数值和统一近似是没有区别的。
定义之间的相对误差和均匀的近似数值解,四分之一的时间平均周期,以下值的平均相对误差(表1)。
图7显示的周期轨道参数的函数定义为。实线对应于麦克米伦的时期通过数值积分方程(2.8),虚线代表了渐近解(3.32)。
图7表明,渐近展开(3.32)第三期的身体很匹配的数值计算(2.8),期限的k值接近。
相对误差定义为之间的渐近解和数值解的振荡周期的函数的参数可以看到图吗8。结果表明,振荡周期的渐近解(3.32)给好的结果在范围广泛的参数的值。在该地区的渐近解是有效的,也就是说,当接近。在这一地区的相对误差比0.005小。该地区的小振幅在第三个身体的运动,对应,或等价。在这个区域渐近解的相对误差接近0.04。
在该地区的小振幅的运动第三身体,麦克米伦(2)发现一个表达式的周期振荡的第三个身体,即: 图9让我们看到麦克米伦的解决方案之间的相对误差(4所示。1)和数值解的振荡周期的函数的参数(虚线)。也显示的是渐近解之间的相对误差(3.32)和数值解的振荡周期的函数的参数。
图9表明,麦克米伦的解决方案(4所示。1)适用于温和的值,而渐近解(3.32)在地区工作。然后,可以构建以下公式有效的整个领域第三期的身体: 这个解决方案有一个相对误差小于0.012为整个域。
5。结论
摘要循环Sitnikov问题是重新审视。之间的匹配渐近展开,近似周期和轨道的解析表达式,第三体大的振荡。结果表明,值,第三个身体的运动可以被两个分析解决方案,内部和外部的解决方案。
分析渐近方程第三期的身体和数值计算匹配很好。它还提供了一个改进的周期轨道的有效表达整个域的有界的轨道。
匹配渐近展开的方法,本文采用可以扩展到更复杂的问题。例如,椭圆Sitnikov问题,第三身体和相对论Sitnikov变质量问题。在这些问题中,当第三个身体是非常接近的速度逃逸速度,计算时间很长并且有必要诉诸渐近分析。