文摘
我们研究的影响控制域在心律失常的最优控制问题上的立场。完善的数学模型,即传感器模型,用于表示电行为的心脏组织。认为本文两个测试用例:测试用例1的控制域是接近激发域,而测试用例的控制域2有点远离激励领域。修改后的Dai-Yuan非线性共轭梯度法用于计算最优应用细胞外电流。我们的实验结果表明,激发的波阵面时成功地抑制了这两个测试用例。同时,实验结果表明,控制域的位置比测试用例测试用例1比2去纤颤状态过程中。
1。介绍
心律失常是指正常心律的条件破坏。在心律失常,心脏可能击败过快,过慢,甚至不规则。这个异常和心律不齐导致心脏肌肉形成原纤维和停止泵血对身体和大脑。最后,死亡可能发生在几分钟之内,除非恢复正常心律。预防心源性猝死,唯一有效的治疗是通过电除颤(1- - - - - -3]。
心律失常的最优控制方法被首次提出Nagaiah et al。4)控制目标是抑制跨膜电位的激发波前使用最佳应用细胞外电流。自从单畴结构模型选择Nagaiah et al。4为代表的电气行为心脏组织,我们,因此,称之为单畴结构模型的最优控制问题的论文。
单畴结构模型的最优控制问题是一个PDE-constrained单畴结构模型约束的优化问题。单畴结构模型是一种行之有效的数学模型广泛用于模拟心脏电活动(5- - - - - -7]。它由一个抛物型偏微分方程(PDE)耦合系统的非线性常微分方程(ode)代表细胞离子活度。
三种经典非线性共轭梯度方法一直受雇于Nagaiah et al。4为解决传感器模型的最优控制问题,即Dai-Yuan (DY)方法(8[],Hager-Zhang (HZ)方法9[],Polak-Ribiere-Polyak (PRP)方法10,11]。之后,随后单畴结构模型的最优控制问题一直是研究人员试图开发高效的数值求解技术(12- - - - - -14]。
最近,控制域的大小的影响,传感器模型的最优控制问题已经研究了Ng和Rohanin15]。两个测试用例与不同大小的控制域被认为是和他们的数值结果表明,更高的细胞外电流抑制过程中需要控制域的大小更改为一个更小的。同时,需要长时间抑制了激发波前当小尺寸控制域使用。
在本文中,我们考虑的是控制域的影响在单畴结构模型的最优控制问题上的立场。再一次,两个测试用例被认为是其中每一个位于不同位置。间接法,也被称为optimize-then-discretize方法是用来使离散最优控制问题。离散最优控制问题就解决了修改后的非线性共轭梯度法,即修改Dai-Yuan(做功)方法。所示(13],做功的方法下进行Armijo行搜索。
本文的概述如下。节2介绍传感器模型的最优控制问题与Rogers-modified FitzHugh-Nagumo离子动能。节3,我们现在使用的数值方法离散化最优控制问题。节4,我们将讨论优化过程用于解决离散最优控制问题。节5,我们现在和比较实验结果的测试用例。节6我们结束我们的论文,一个简短的讨论。
2。单畴结构模型的最优控制问题
让是最终的仿真时间,李普希茨的计算域边界,控制域观察领域。我们进一步设置和。单畴结构模型的最优控制问题与Rogers-modified FitzHugh-Nagumo离子动能可以概括如下: 在哪里 在这里,正则化参数,外正常吗,是细胞内电导率张量,常数标量用于与细胞内和细胞外的电导率张量,细胞膜的表面体积比,膜电容,是阈电位,是高原的潜力,是积极的参数,跨膜电位,离子电流变量,是细胞外刺激电流密度,是流经离子通道的电流密度,然后呢是规定的矢量值函数。
请注意,(2。1)成本功能,跨膜电位和离子电流变量作为状态变量和细胞外电流作为控制变量。此外,控制变量被限制为只能在控制领域重要的吗。单畴结构模型,定义在(2。2),表现为PDE单畴结构约束最优控制问题的模型。接下来,边界和初始条件给出了最优控制问题(2。3),最后,(2。4)是来自Rogers-modified FitzHugh-Nagumo模型(16]。
3所示。离散最优控制问题
单畴结构模型的最优控制问题是使用optimize-then-discretize离散的方法,在无限维的一阶最优性系统派生第一然后离散和由此产生的最优系统。让和表示伴随变量用于强制约束。定义了拉格朗日函数作为 最优控制问题的一阶最优性系统是由: 在哪里表示的偏导数和表示的跨膜电位。在这里,(3所示。2)被称为状态方程,(3所示。3)被称为伴随方程(3所示。4)被称为“最优性条件。我们进一步获得终端边界条件如下:
下一步,国家就可以形成系统使用的边界和初始条件(2。3)以及状态方程(3所示。2)。因此,系统是由状态 另一方面,伴随系统可以形成使用伴随方程(3所示。3)以及边界和终端条件(3所示。5)。因此,伴随系统是由
Kunisch和瓦格纳17]证明了control-to-state映射定义良好的传感器模型的最优控制问题,也就是说,。因此,功能成本(2。1)可以写成 从之前的分析,可以显示的梯度是由 显然,最优性条件(3所示。4)作为减少梯度(3所示。9为我们的计算)。结果,一阶最优性系统包括国家制度(3所示。6),伴随系统(3所示。7),减少梯度(3所示。9)。
注意状态和伴随系统(3所示。6)和(3所示。7)由一个抛物线PDE耦合系统的非线性常微分方程。因此,这些系统计算要求。为了克服这个困难,算子分裂技术(18应用于(3所示。6)和(3所示。7)将复杂系统分解为几个子系统。最终,国家体制 和伴随系统
为了完成optimize-then-discretize方法,需要离散的一阶最优系统。线性pd (3.10)和(3.11)使用伽辽金有限元方法离散空间和Crank-Nicolson方法。时间离散化的非线性常微分方程(3.10)和(3.11),一个向前欧拉方法是使用。因此,离散状态系统是由 和离散伴随系统是由 在这里,是时候指数,和是当地时间的步骤,质量矩阵,刚度矩阵,,,,,,,,向量的大小相同。
4所示。优化过程
在本文中,我们采用修改后的非线性共轭梯度法,即修改Dai-Yuan(做功)方法,提出了张(19]求解离散传感器模型的最优控制问题。从最初的猜测复发,控制变量是使用以下更新: 在哪里是步长计算Armijo线搜索和生成的搜索方向是什么 在哪里的共轭梯度更新参数吗 在哪里
回想一下,步长是计算Armijo行搜索。给定一个初始步长和Armijo线搜索选择这样 因此,做功的优化算法方法可以概括如下。
4.1。优化算法
步骤1。提供一个初始猜测并设置。
步骤2。解决离散状态系统(3.12)时间间隔如下。(一)解决线性PDE (b)解决的非线性常微分方程 (c)解决线性PDE 在哪里是全球时间步。
步骤3。评估降低成本的功能。
步骤4。解决离散伴随系统(3.13)时间间隔如下。(一)解决线性PDE (b)解决的非线性常微分方程 (c)解决线性PDE
第5步。更新减少梯度使用(3所示。9)。
步骤6。为,检查下面的停止标准:
如果其中一个是满足,停止。
步骤7。计算共轭梯度更新参数使用(4.3)。
步骤8。计算搜索方向使用(4.2)。
第9步。计算步长满足条件(4.5)。
5。数值实验
5.1。实验设置
一个二维计算域的大小厘米2,也就是说,被认为是在我们的数值实验,最后将仿真时间ms。图1显示的位置计算域的子域测试用例1和2的测试用例。如数据所示,和是控制领域,和社区的控制领域,是观察域,首先是激发域,心律失常发生。
(一)
(b)
也观察到测试用例1的控制域是接近激发域而控制域测试用例2有点远离激励领域。这些位置的控制领域学习,故意设置的影响控制域位置传感器模型的最优控制问题。在我们的数值实验,控制域可能对应于植入心律转复除颤器(ICD)的电极植入患者的胸部心脏性猝死的重要风险。更具体地说,我们正试图找到一个更好的位置来植入ICD的电极,以确保一个成功和有效的除颤。
表1列出了参数用于我们的数值实验,其中一些来自Franzone et al。20.]。此外,初始值,,给出了作为 所示(5。3),控制变量的初始值设置为零的控制领域。这意味着没有细胞外电流应用于病人的数值实验。
5.2。实验结果
降低成本的最小值功能下降的梯度和相应的标准在测试用例的优化过程1和2中描述图的测试用例2。如数据所示,测试用例1和测试用例2成功地收敛于最优解以18 - 27优化迭代。同时,观察到测试用例1的最小值低于一个测试用例2。这个结果意味着当控制域是搬到一个位置远离激励领域,需要更多的迭代做功方法收敛于最优解。
(一)
(b)
如图2,大幅降低了测试用例1梯度下降迭代3,紧随其后的是平稳下降直到最后的优化迭代。另一方面,降低了测试用例2梯度减少测试用例1的大幅低于在迭代3,慢慢趋于0平稳下降。
图3说明了不受控制的传感器模型的最优控制问题的解决方案在乘以0.2毫秒,0.8女士,女士1.5和2.0 ms。注意,不受控制的解决方案获得通过设置控制变量等于零在控制领域以及在控制之外的领域,也就是说,为。如数据所示,从激发域激发波前传播到附近的计算域的时间间隔期间女士从0到2 ms。这个结果意味着如果没有细胞外电流应用于控制领域,激发波前将继续蔓延至整个计算域。
(一)
(b)
(c)
(d)
图4测试用例1说明了最优控制的解决方案有时0.2毫秒,0.8女士,女士1.5和2.0 ms。如数据所示,激发波前成功抑制了最佳的细胞外电流。注意,激发波阵面几乎完全抑制了在1.5毫秒的时间。接下来,图5描述了测试用例的优化控制方案2在乘以0.2毫秒,0.8女士,女士1.5和2.0 ms。再次,激发波阵面成功地抑制了。观察到在1.5毫秒,激发波前仍没有完全抑制。因此,通过比较测试用例1,需要长时间的测试用例2抑制兴奋波阵面。
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
(d)
图6显示当前最佳的细胞外三个不动点,即,,在时间演化。如数据所示,测试用例所需的细胞外电流最高1去纤颤状态过程中。另一方面,最高的细胞外去纤颤状态过程中电流所需的测试用例2是两倍的测试用例1,也就是说,大约。这个结果意味着更高的细胞外电流控制是必要的,如果域是搬到一个位置远离激励领域。
(一)
(b)
6。结论
这项工作研究的影响控制域位置的最优控制问题,通过使用两个测试用例心律失常。测试用例1的控制域是接近激发域,而控制域测试用例2是离它远一点。我们的数值结果表明,当控制域迁移到一个位置远离激发域(如通过测试用例2),需要更多的迭代做功方法收敛于最优解。数值结果还表明,需要长时间测试用例2抑制兴奋波阵面。此外,如果控制域远激发域,需要更高的细胞外电流去纤颤状态过程中为了抑制兴奋波阵面。因此,如果我们知道哪一部分病人的心脏经常患有心律失常,植入心律转复除颤器(ICD)的电极植入应该接近这部分改善去纤颤状态过程的性能。
确认
工作是由Zamalah奖学金和研究型大学格兰特(GUP)投票06 j26马来西亚各种大学和马来西亚高等教育。