文摘
我们引入一个新的分析近似技术,称为最优变分法(OVM技术),调查一个旋转电机的非线性行为模型作为一个振荡器和立方弹性恢复力和时间变量系数。最初提议的过程涉及到的存在一些未知convergence-control参数的最佳值后确定。对比结果和精确的显示,OVM技术非常有效且方便的提供非常准确的结果。
1。介绍
数学模型的物理和工程系统常常会导致非线性普通和偏微分方程。为了分析等数学模型,需要一种有效的方法来提供符合物理现实的解决方案。在某些情况下,固有的困难是克服代替非线性微分方程与相应的线性微分方程近似原来足够近给有用的结果,但是这只是一个严酷的近似。
有一些已知的方法旨在获得近似的解非线性动力系统。最常见的和广泛研究方法求解非线性微分方程的摄动方法(1- - - - - -3),但是几乎所有的微扰的方法是基于这样一个假设必须存在于一个小参数方程在调查之中。通过扰动方法获得的近似解是有效的,在大多数情况下,只有小值的参数,而且,没有标准大小的参数应该如何。
为了克服这些限制与小参数,开发了几个有效的方法,如李群方法(4],Adomian分解方法[5],weighted-linearization方法[6),和谐波平衡法7]。
本文的目的是提出一种新颖的变分方法研究旋转电机的非线性行为模型作为振荡器与立方弹性力和时间变量系数。
旋转电机是复杂动力系统表现出典型的转子动力学问题,尤其是对高速度或重型转子轴惯性负载(8,9]。在这个领域一个重要工程的挑战是开发这样的数学模型和方法,可以很准确的预测动力现象的舞台设计,相比与实验测量结果后机械制造阶段。这些模型和方法应该可以提供一个易于使用的工具来操作设计可能需要修改当这些抑制干扰的动态现象。
最常见的来源,在旋转机械振动与转子的不平衡力,轴偏差和轴承刚度、非线性变量弹性,糟糕的轴承和机械松动,其他机电故障产生的非线性振动系统。
这些现象应该控制为了使机器平稳、可靠。众所周知,旋转部分不能完美的平衡。从工程的角度来看,是不可能做出任何转子质量完美的平衡。因此,残余不平衡总是存在在某种程度上,即使旋转结构构造,但是如果它恶化,然后破坏振动发生。补充问题可能出现在一些水平旋转的机器,当重力效应是不容忽视某些刚度条件。轴中心的引力偏转,使轴承中心线,导致振动发生。失调也可能发生在电旋转电机在一定的运行。所有这些可能是非常有害的,影响系统的完整性(8,9]。
在这篇文章中,一个新的分析方法,即最优变分法(OVM技术)是用来研究非线性振动问题的非线性轴承支撑下的电机具有非线性刚度的杜芬型时整个系统的参数激励引起的轴向推力和强迫激励引起的转子的不平衡力。在这种情况下,研究电机的动力学行为将由以下二阶强非线性微分方程(8]: 与初始条件 可以写的更方便 在哪里 和点表示对时间的导数是初始振幅的振荡。注意,无需承担任何小或大参数(的存在1。3)。
方程(1。3)描述了系统振荡与未知的时期。我们切换到一个标量时间。在转换 原始方程(1。3)成为 与初始条件 总理表示导数在哪里。
2。一种新颖的变分方法和解决方案
为了显示OVM技术的基本知识,我们认为以下微分方程: 的变分原理(2。1)如果存在一个功能可以很容易地建立 承认为极值的解决方案(2。1),是系统的拉格朗日(2。1)和(感兴趣的领域。
这个问题是基于条件的研究存在一个函数这样功能的欧拉方程(2。2)配合系统(2。1),也就是说,
基于物理的主要意义这个问题,被称为“牛顿力学反问题”(10)基于代理的部队在牛顿系统(2。1不一定可以从一个潜在的派生。方程(2。2)操作功能或操作。
在我们的程序中,我们假定近似解(2。1)取决于几个参数: 这样的行动功能(2。2)成为
的参数从(2。5),称为convergence-control参数,可以确定最佳应用里茨法(8]:
从(2。6从初始条件)和(1。7)1这就变成了 我们可以获得最优参数和频率的系统(2。1)。
我们备注条件(1。7)2等于验证的解决方案(2。4)。另一方面,表达的解决方案(2。4)不是独一无二的。
(说明了该方法的有效性1。6)。在这种情况下,拉格朗日(1。6)可以写成
另外,我们可以选择这种形式近似解 或 等等。
用(2。9)(2。8),到(2.10我们有以下的结果和: 在哪里
参数的值和频率Ω获得(2。6),成为: 和初始条件(2。7),可以写成
3所示。测试的例子
提出了解决研究过程的有效性问题是三个例子说明,考虑不同的参数和初始振幅。
一个案例。作为第一个例子,我们考虑下面的参数:
或相应的系数(1。6):
的参数和频率Ω获得(2.14)和(2.15):
的近似解(1。1在这种情况下)
图1显示当前的解决方案之间的比较(3所示。4),用四阶龙格-库塔数值积分结果的计划。
案例b。第二个例子,我们考虑以下参数:
保持其他系数不变,遵循同样的步骤,我们获得convergence-control参数的最优值,,和频率Ω:
因此,近似解(1。1就在这种情况下:
目前的解决方案之间的比较(3所示。7)和数值积分结果在第二种情况下呈现在图2。
案例c。最后,对于最后一个例子,我们考虑下面的参数:
在这种情况下,上述过程后,我们获得
的近似解(1。1)成为
获得的近似解析解的比较(3.10第三情况)和数值积分结果呈现在图3。
它可以观察到从数据1- - - - - -3,使用提出的近似分析结果与数值的程序在良好的协议。
4所示。结论
在这项工作中,一个最优的变分方法是用来提出一种新的解析近似解非线性保守电机的振荡。建设我们的变分方法是不同于传统的方法,特别是关于最初的参与一些未知参数叫convergence-control参数的最优值确保快速收敛的近似解析解。这是事实上OVM技术的主要优势,这为我们提供了一个简单的和严格的控制和调整融合的解决方案。该程序是有效的,即使非线性方程不包含任何小的或大的参数。三个测试例子说明该分析方法是非常有效的,收益率比较准确的结果通过数值积分获得使用四阶龙格-库塔方法。