文摘

通过使用矩阵分解和倒序法,我们提供了一些新的Drazin逆矩阵的表达式块矩阵的秩约束。

1。介绍

让广场是一个复杂的矩阵。这些符号和站的排名和Moore-Penrose逆矩阵,分别。Drazin逆的独特的矩阵满足吗 在哪里的指数,最小的非负整数。我们写。

一个方阵的Drazin倒数在各个领域扮演着重要的角色像单数奇异微分方程和差分方程,马尔可夫链和迭代方法。

发现问题的显式表示的Drazin复杂块矩阵的逆, 的块是造成坎贝尔和迈耶1,21979年)。许多作者认为这个问题,提供了公式在一些特定的条件下(3- - - - - -6]。

本文根据等级限制,我们将呈现一些新的表示形式没有讨论过。

2。初步

引理2.1(见[4])。让和是相同的顺序的方阵。
如果,然后 在哪里。
如果和,然后。

引理2.2(见[7])。让 在哪里,方阵的,。然后 在哪里

引理2.3(见[8])。让,。然后当且仅当,满足 在哪里,和 与。

引理2.4(见[9])。让。然后

3所示。主要结果

在本节中,秩等式约束,我们考虑Drazin块矩阵的逆。

让,在那里是可逆的,是单数。很容易验证可以分解为 让 在哪里。根据引理2.3,我们有下面的定理。

定理3.1。让,在那里是可逆的,是单数。如果 在哪里,,,然后有以下形式:

证明。从引理2.3和(3所示。1),我们知道如果 在哪里,然后 请注意, 让 从引理2.4,我们有
请注意,,。然后我们得到
让,。然后矩阵可以写成以下三个产品:
自非奇异的,那么 因此,我们有 从上面的平等和条件(3所示。3),(3所示。5)很容易验证。

让,在那里,。很容易验证矩阵可以分解为 在哪里的广义舒尔补吗在。

让 在哪里。我们有下面的定理。

定理3.2。如果,矩阵,满足 然后, 在哪里,。

证明。从引理2.3和(3.14),我们得到,如果 然后
类似于定理的证明3所示。1,我们得到等级条件(3.18)可以简化为(3.16)。
接下来,我们将表示。让
自,,,然后。从引理2.2,我们得到
从引理2.1事实上,接下去 替换在(3.19),得到结论。

从定理3所示。2,我们可以很容易地获得以下推论。

推论3.3。如果和地位平等3.16),然后 在哪里和在定理是一样的吗3所示。2。

推论3.4。如果和等级平等(3.16),然后 在哪里。

接下来,我们将考虑的另一个分解涉及广义舒尔补。

让,在那里。然后可以分解为 在哪里的广义舒尔补吗在。

让 在哪里。我们有下面的定理。

定理3.5。让,在那里。如果,和矩阵,满足以下等级平等: 然后 在哪里。

证明。从引理2.3和(3.25),我们得到,如果下面的排名情况 成立,那么。从相同的方法用于定理3所示。1,我们可以确认上述条件(3.29)可以降低(3.27)。
接下来,我们将表示。为,我们写 在哪里。
的条件,我们得到根据引理2.2,我们有 让。由引理2.1事实上,我们得到 因此,我们得到

3.6的话。除了分解在(3.14)和(3.25),矩阵也像其他矩阵可以分解产品涉及广义舒尔补充或。在这些情况下,新公式将导出的方法。

4所示。结论

在本文中,我们主要讨论Drazin秩等式约束下块矩阵的逆。与已有结果相比,很明显,我们的结果有更强烈的限制,但本文中使用的方法不同于以前的相关论文。

确认

作者希望感谢陈教授郭亮和京Cai博士的帮助。本研究由国家自然科学基金委资助10971070,11071079,10901056。