文摘

我们研究两种耦合系统的非线性偏微分方程,即广义Boussinesq-Burgers方程(2 + 1)维Davey-Stewartson方程。利用谎言对称方法获得广义Boussinesq-Burgers方程的精确解。行波假说方法是用来寻找的解决方案(2 + 1)维耗散Davey-Stewartson方程。

1。介绍

大多数非线性物理现象,出现在科学领域的许多领域,如等离子体物理,固体物理,流体力学,光学纤维,可以模仿数学生物学和化学动力学非线性偏微分方程(NLPDEs)。调查这些NLPDEs精确行波解是重要的理解大多数非线性物理现象和可能的应用程序。为了解决这个问题,各种方法寻找NLPDEs行波解。一些最重要的方法包括齐次平衡法(1),拟设方法(2,3),变量分离方法(4),逆散射变换法(5],Backlund变换[6),达布变换(7),副大臣的双线性方法(8), 扩张的方法(9),减少mKdV方程方法(10],tri-function方法[11,12),射影黎卡提微分方程方法(13],正弦余弦方法[14,15),雅可比椭圆函数展开法(16,17), 扩张的方法(18),exp-function展开法(19),和谎言对称方法(20.- - - - - -24]。

在本文中,我们研究两个系统的非线性偏微分方程,即广义Boussinesq-Burgers方程(2 + 1)维耗散Davey-Stewartson方程。我们雇佣谎言对称方法和行波变量方法获得这两个系统的精确解。

谎言对称性方法是一种最有效的方法来确定解决方案的非线性偏微分方程。索菲斯躺(1842 - 1899),灵感从伽罗瓦理论求解代数方程,发现这种方法是今天称为李群分析。他表明,许多已知的方法集成的常微分方程可以推导出以一种系统化的方式使用他的连续变换理论组。在过去的几十年里,大量的开发已经取得了在对称微分方程的方法。这是明显的研究论文的数量,书籍,许多新的符号软件致力于主题(20.- - - - - -24]。行波变量方法将NLPDEs转换成一个非线性常微分方程和通常是有用的在获得偏微分方程的精确解。

2。广义Boussinesq-Burgers方程

我们首先考虑广义Boussinesq-Burgers方程(25]给出的 在哪里 , , , 是真正的非零常数。这些方程出现在流体流动的研究和描述浅水波的传播 和 分别代表了标准化的空间和时间。在这里 代表着领先水平速度和顺序是深度平均水平, 表示水面的高度高于底部的水平(25]。

Boussinesq-Burgers方程给出的(2.1)- (2.2)将通过谎言对称的方法解决。广义的对称群Boussinesq-Burgers方程(2.1)- (2.2)将生成的向量场 应用第三延长 (21)(2.1)- (2.2)和解决合成线性偏微分方程的超定的系统,得到以下三个谎言一点对称性: 我们现在考虑对称 ,在那里 是一个任意常数。这种对称产生group-invariant解决方案 在哪里 是一个对称的不变 。替换(2.5)(2.1)- (2.2)结果的常微分方程组 集成的(2.6)对 收益率 积分常数的选择是零,因为我们正在寻找一个孤子解。解 ,我们获得 用这个值的 到(2.7)给出了三阶非线性常微分方程 可以综合两次获得吗 这里是零的常数的集成被上面给出的理由一样。积分(2.11)和恢复回原来的变量,我们获得 在哪里 , , , 是常数, 一个概要文件的解决方案(2.12)- (2.13)在图给出1。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
孤波的解决方案(2.12)- (2.13)。

3所示。(2 + 1)维耗散Davey-Stewartson方程

(2 + 1)维耗散Davey-Stewartson方程 戴维和Stewartson在1974年首次引入的(26]。这个方程组是完全可积的和经常被用来描述一个二维的长期演化波包(27- - - - - -29日]。

我们首先将(2 + 1)维Davey-Stewartson方程(3.1)- (3.2)系统的非线性常微分方程以获得其精确解。

我们做出以下转变: 在哪里 , 是真正的常数。使用这个转换,(2 + 1)维Davey-Stewartson方程(3.1)- (3.2)变换 集成的(3.5)两次,并集成为零的常数,一个获得 现在用(3.6)(3.4),我们得到 可以用以下形式: 在哪里 解决(3.8),借助数学软件,我们得到以下解决方案: 在哪里 的雅可比椭圆函数sine-amplitude(30.),而 的模量是椭圆函数 。在这里 和 是常数的集成。恢复回原来的变量,我们现在可以写我们的解决方案(2 + 1)维Davey-Stewartson方程 在哪里 , 如上所述。

现在 可以获得(3.6)。

应该指出的是,解决方案(3.12)是有效的 当 趋于0,解决方案就会变得正常的正弦函数, ,当 方法1,解决方案倾向于 函数, 。

解决方案的概要文件(3.12)在图给出2。

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
的解决方案(3.12)。

4所示。结论

在本文中,我们研究了两个系统的非线性偏微分方程。首先,我们得到精确解的广义Boussinesq-Burgers方程(2.1)- (2.2使用谎言对称方法)。获得的解决方案是行波解。其次,我们发现的解决方案(2 + 1)维Davey-Stewartson方程(3.1)- (3.2使用行波假说)。Davey-Stewartson系统第一次被转化为一个非线性常微分方程组,并获得确切的解决方案来解决。

确认

即Mhlanga和c . m . Khalique要感谢组委会的对称性,微分方程,和应用程序:伽罗瓦诞辰(SDEA2012)会议的会议期间的盛情款待。