文摘

借助定点定理(一个等价的线性情况下的版本)和双正交的系统足够的巴拿赫空间,近似解的问题变成了线性Fredholm-Volterra积分微分方程的数值算法,这样它就可以被解决了数值。

1。介绍

表示由和巴拿赫空间的连续和实值函数上定义和分别配备通常sup-sup规范,让我们考虑以下问题相关Fredholm-Volterra积分微分方程:,,找这样

观察,如果和在(1.1),方程转化为一个线性沃尔泰拉积分微分方程;如果和,它变成了一个线性弗雷德霍姆积分微分。另外,如果,(1.1)转化为一个一阶线性微分方程。

频繁出现的问题的数学建模现实世界(见[1),引用其中)处理问题(1.1)。这些通常是难以解决分析,在许多情况下,解决方案必须是近似的。因此,近年来,提出了几种数值方法(见,例如,2- - - - - -4])。积分微分方程数值方法通常变换成一个线性系统,可以通过直接或迭代的方法解决。另一方面,使用定点技术的数值研究线性微分,积分,积分微分方程也成功在一些作品中,(5- - - - - -11]。本文的目的是开发一个有效的方法近似的解决方案(1.1)使用Schauder基础和另一个经典的工具在分析:一个等价版本的线性情况下的定点定理(几何级数定理)。该算法概括了发达国家在7,8,10沃尔泰拉积分微分),弗雷德霍姆积分微分,微分方程,分别。

建立我们的数值方法,我们首先需要回顾一些理论本质的结果部分2。我们到达一个近似解的数值方法(1.1节)3结果,为了国家关于收敛性和研究该算法的误差,我们将假设和和。最后,在节4,我们用两个例子说明了理论结果。

2。两个工具的理论本质

两个基本工具将被用来建立解决问题所需要的算法(1.1)。第一个是等价版本(线性)的巴拿赫定点定理(见[12])。

几何级数定理
让巴拿赫空间,让是一个连续线性算子等。然后,是一个连续、线性和双射算子和。

尤其是,考虑到方程有一个独特的解决方案。

第二个工具应用在巴拿赫空间由双正交的系统和。我们将利用通常的博览会Schauder基础简单,虽然给出的数值方法同样适用,代之以任何完整的双正交的系统。由于这个原因,现在我们将简要回忆关于Schauder基地的主要问题和符号和。

让我们考虑通常的Schauder基础在空间,也就是说,密集的序列不同的实数这样和,我们定义为,对于,是分段线性的连续函数与节点唯一确定的关系和为。为每一个函数,存在一个唯一的序列标量这样。我们表示(连续的顺序和线性)的对偶空间双正交的,定义为 而(连续的序列和线性)预测 部分和定义的吗

各自的序列的双正交的系统和每个,平等 是有效的(见[13])。因此,序列相关的预测满足以下插值性质:

我们现在唤起通常Schauder基础建设巴拿赫空间,赋予其通常sup-norm(见[13,14])。为此,我们考虑双射的映射(表示的整数部分)由 然后就可以定义 每当。让和代表相应的双正交的泛函,序列和预测,分别。Schauder基础具有类似特性的一维基础:(一)对所有,和,(b)如果,然后,所有,如果,,(c)序列相关的预测满足,每当和,(d)这个Schauder基础是单调,

观察到每个预测的定义和只需要第一点的序列。这些点,按照升序排列,构成一个分区的时间间隔,这将表示;让表示两个连续点之间的最大距离。在一些弱的条件下,从(2.4)和(c),分别,中值定理,我们可以估计序列的收敛速度的预测:

3所示。该算法:收敛性和误差

我们的起点是制定(1.1)的一个特定的运营商如下:让被定义的线性和连续操作符

这是一个简单的检查,一个函数的解决方案(1.1)当且仅当,在那里。

它可以显示一个归纳论点和Fubini定理,;因此, 的假设条件和几何级数定理的存在使我们能够建立一个且只有一个解决方案(1.1),这是 除此之外,

鉴于(3.3),我们认为序列定义如下:,对于,

序列收敛于解(1.1),

我们可以计算迭代使用(3.5),至少在理论方法、解决方案(1.1)。从实用角度来看,一般明确这些计算是不可能的。的想法我们的数值方法是使用一个适当的Schauder基础的空间,删除功能的空间通过预测的Schauder基地和和替换()(3.5),一个新的函数,更容易计算,在这样一种方式错误是足够小。考虑到这些函数,每个将近似的解决方案(1.1)。

具体来说,我们开始并考虑 让我们归纳定义函数 在哪里是自然的数字。

我们将表明,序列近似的解决方案(1.1),为了研究错误,让我们假设和。

首先,我们展示以下。

引理3.1。序列和是有界的。

证明。首先我们显示,使用一个归纳论点,,。自从Schauder基础是单调的,我们有什么
假设结果适用于换句话说,,使用单调的我们证明以下几点: 因此,。
另一方面,与类似的参数, 因此,。

3.2的话。考虑到对和, 表示由 我们有序列也有界。

定理3.3。与前面的符号,如果,与和,然后

证明。三角不等式给出了。因为不平等(3.6),我们有 第二,通过一个归纳的论点,我们可以证明 的确,对于,结果显然是真的 假设它适用于,也就是说,,我们证明以下几点: 然后 为,
因此,应用(2.7),我们获得以下约束:
证明完成的三角不等式和(3.6)和(3.16)。

话3.43.4。假设下的定理3.3,尽管,我们可以发现和正整数这样。此外,由于和分区可以选择这样的点我们的欲望,一样小我们渴望一样小,(3.14)还提供了一个配额时犯下的错误的方法通过。

3.5的话。它遵循从定理3.3该方法的选择Schauder基地已经收敛阶。这个选择已经由简单的展览的结果,它使我们能够获得满意的数值结果显示在下面的部分中。然而,通过整合考虑依据(添加一个常数函数),我们获得的新基地和。考虑这些基地,收敛的顺序是2。一般来说,集成次,我们会获得收敛阶。

4所示。一些数值例子

现在我们将注意力转向显示两个数值性能结果。为每一个例子中,我们有固定的子集为构建Schauder选择依据在和在,具体地说,,;和,如果在哪里都是整数。定义序列,我们将(所有)。此外,我们包括,展示表,,,绝对错误承诺对某些点的代表当我们接近精确解通过迭代在哪里表所示。相关的算法进行了数值方法使用Mathematica 7。我们已经检查,当更多的点使用,精度显著提高,与迭代的数量。

为了提供一些细节,我们综合编程算法的步骤:(1)我们介绍了节点;我们构建的基础和基础,(2)我们计算(如果它是不可能来显式地到达我们可以应用正交方法),(3)我们定义和,(4)我们计算和使用基本的和,,,使用基本的。注意,我们计算预测分段单变量和二元多项式的积分度1和2和多项式的系数的计算只需要几个评估的基本函数的线性组合在适当的点。我们没有解决代数方程组,(5)我们计算表达式使用定义(3.8),(6)重复这个过程。

例4.1。对于第一个示例,我们考虑以下线性Fredholm-Volterra积分微分方程的精确解。其数值结果表1和图1:

例4.2。对于第二个示例,我们考虑以下线性Fredholm-Volterra积分微分方程的精确解。其数值结果表2和图2:

5。结论

提出了一种易于实现的有效方法解决线性Fredholm-Volterra积分微分方程。积分的近似函数和分段二元二次多项式,和多项式的系数的计算只需要几个评估的基本函数的线性组合在适当的点。这种方法导致积分微分方程的近似解,在简单的封闭形式可以表达明确,并可以有效地计算任何个人电脑上使用符号计算代码。

确认

本研究部分由军政府支持的安达卢西亚格兰特FQM359和ETSIE格拉纳达大学的。