文摘
我们首先介绍一个新的部分的概念和广义锥subconvexlike集值映射和给一个等价的描述部分和广义锥subconvexlike集值映射在线性空间中。其次,一个广义部分替代定理和广义锥subconvexlike给出了集值映射。最后,Kuhn-Tucker条件建立了集值优化问题的全球的效率。
1。介绍
在集值优化广义凸性起着重要的作用。凸性的概括向量值映射到集值映射发生在1970年代。Borwein [1]和Giannessi [2介绍和研究了集值映射的锥凸性。基于Borwein和Giannessi的工作,一些作者(3- - - - - -7)建立了一系列集值优化问题的最优性条件下不同类型的集值映射的广义凸性在拓扑空间中。从线性空间比拓扑空间更广泛,概括上述引用的一些结果拓扑空间线性空间是一个有趣的话题。李(8]介绍了锥subconvexlike涉及代数内部,建立了集值映射Kuhn-Tucker条件。黄和李9]研究拉格朗日乘数的规则集值优化问题的广义锥subconvexlike集值映射在线性空间。当代数凸锥内部是空的,埃尔南德斯等。10)使用的相对代数内部凸锥引入集值映射的锥subconvexlikeness和调查本森在线性空间适当的集值优化问题的效率。
本文的目的是研究在全球范围内适当的集值优化问题在线性空间的效率。本文组织如下。节2,我们回忆起一些基本概念,给了一些前题。节3,我们提出了一个广义部分替代定理和广义集值映射,建立了锥subconvexlike Kuhn-Tucker条件的集值优化问题在全球范围内适当的效率。
2。预赛
在本文中,我们和是两个real-ordered线性空间,让表示每一个空间的零元素。让是一个非空的子集。锥壳的被定义为被称为凸锥当且仅当吗 一个圆锥是指当且仅当吗。一个圆锥如果且仅当被认为是重要的和。
让和站的代数对偶空间和,分别。让和是重要的,指出,凸锥和,分别。代数对偶锥的被定义为,严格代数对偶锥的被定义为,在那里表示线性泛函的价值在点。的意思类似的。
让是一个非空的子集。线性船体的被定义为和仿射船体等于off的被定义为著名。生成的线性子空间的被定义为。
定义2.1(见[11])。让是一个非空的子集。的代数内部是一组
定义2.2(见[12])。让是一个非空的子集。相对代数的内部是一组
很明显,。因此,定义2。2与相对代数的定义是一致的室内的在[13,14]。然而,定义2。2似乎是更方便的在13,14]。
值得注意的是,如果是一个重要的和尖锥在吗,然后,如果是一个凸锥,然后呢是一个凸集,是一个凸锥。
引理2.3(见[13])。如果一个凸锥在吗,然后。
引理2.4(见[10,12,14])。如果一个非空的子集在吗,然后(一)
;
如果是凸的和,然后(b)
;(c)
。
引理2.5(见[12])。让是一个凸集在。如果,然后存在这样
3所示。主要结果
让是一个非空的设置,让和两个集值映射。写和。的意义和类似于和。
现在,我们引入一个新的部分的概念和广义锥subconvexlike集值映射。
定义3.1。集值映射被称为部分和广义吗-subconvexlike上当且仅当是一个凸集。
下面的定理将给出一些等价部分和广泛性的特征-subconvexlike集值映射在线性空间。
定理3.2。让。然后下面的语句是等价的:(一)集值映射部分,广义-subconvexlike上,(b) , (c) , (d) ,
证明。
。让,。很明显,
自部分,广义-subconvexlike上,它遵循从(3.4),
这意味着(3.1)持有。
的影响是显而易见的。
。让。然后存在,这样。
案例一:如果或,我们有。
案例二:如果和,我们有
在哪里。
由引理2。4,我们获得
自,存在这样
由(3.3),(3.6),(3.8),引理2。3,我们有
情况下,一个和两个暗示是一个凸集。因此,(a)。
3.3的话。定理3.2概括的第六项命题2.4 (14],引理2.1 [15),和引理2 (16]。
现在,我们将广义部分替代定理和广义-subconvexlike地图。我们认为以下两个系统。
系统1。存在这样。
系统2。存在这样
定理3.4(广义替代定理)。让,让集值映射部分和广义-subconvexlike上。然后,(我)如果系统1没有解决方案,那么系统2有一个解决方案;(2)如果是一个解决方案的系统,然后系统1没有解决方案。
证明。(我)首先,我们断言。否则,存在和这样。
案例一:如果,然后。自是一个重要的尖凸锥,。因此,我们得到一个矛盾。
案例二:如果,然后存在这样
这与系统1没有解决方案。
例1和2显示我们的主张是正确的。从集值映射部分,广义-subconvexlike上是一个凸集。请注意,。因此,所有条件的引理2。5感到满意。因此,存在这样
让在(3.12),我们有
我们再次断言。否则,存在这样。让,是固定的。然后存在足够大的正数这样,也就是说,
由引理2。3,。因此,(3.14)与(3.13)。因此,。同样,我们可以证明。
让被固定在(3.13)。然后,。让在(3.13),我们有
让在(3.15),我们得到
这意味着系统2有一个解决方案。
(2)如果是一个解决方案的系统2,然后
我们断言系统1没有解决方案。否则,存在和这样和。因此,我们有与(3.17)。因此,我们的主张是正确的。
3.5的话。如果是一个有限维空间,然后部分和广义-subconvexlikeness的意味着是一个非空的凸,反过来意味着条件拥有非常。
3.6的话。定理3.4推广定理3.7 (14],定理2.1 [15],定理1 (16]。
从现在开始,我们假设。
定义3.7(见[17])。让被称为全球正确有效点对(用当且仅当存在一个非平凡,指出,凸锥与这样。
现在,我们考虑下面的集值优化问题:
可行的(3.18)被定义为。
定义3.8。让被称为全球正确有效的解决方案(3.18)当且仅当存在这样。这一对被称为全球正确有效的元素(3.18)。
现在,我们将建立Kuhn-Tucker集值优化问题的条件(3.18)在全球范围内的合适的效率。
定理3.9。假设持有下列条件:(我) 是一个全球性的正确有效的元素(3.18);(2)集值映射部分,广义-subconvexlike上,在那里。
然后,存在这样
证明。自是一个全球性的正确有效的元素(3.18),存在一个非平凡,指出,凸锥与这样 它遵循从(3.20), 由(3.21),我们得到 自部分,广义-subconvexlike上,它遵循从(3.22)和定理3.4这存在这样 这是 因为,存在这样。自,我们有 让在(3.24),我们得到 它遵循从(3.25)和(3.26), 因此,我们有 由(3.24)和(3.28),我们有。让在(3.24),我们有 它遵循从(3.27)和(3.29),。
下面的定理,可以发现在17),是全球的充分条件正确有效的元素(3.18)。
定理3.10。假设持有下列条件:(我) ,(2)存在和这样 然后,是一个全球性的正确有效的元素(3.18)。
确认
本文由中国国家自然科学基金支持(拨款11171363和11171363),重庆市自然科学基金(CSTC 2011 jja00022 CSTC 2011 ba0030),重庆的特殊基金重点实验室(CSTC 2011 klorse01)和项目第三批优秀人才支持计划重庆市高校高。