文摘
精确的近似封闭解cubic-quintic杜芬振荡器的基本功能。为此,我们使用之前的结果使用cubication方法恢复力的扩张在切比雪夫多项式和原始的非线性微分方程近似立方杜芬方程。然后表示为一个函数的显式近似解第一类完全椭圆积分和雅可比椭圆函数cn。然后我们为这些解决方案获得其他近似表达式,用初等函数来表示。之间的关系要做到这一点,第一类完全椭圆积分和算术几何平均和合理应用谐波平衡法获得原非线性振荡器的周期解。
1。介绍
的cubic-quintic杜芬方程是微分方程与第三——和/或五次方非线性(1]。由于这五次方的存在非线性添加到第三常见的非线性杜芬方程,这个振荡器是很难处理。赖昌星等人指出[1],cubic-quintic杜芬方程中可以找到不同系统的造型,我们建议读者参考这篇文章来了解更多关于这些应用程序和一套好的引用,可以找到这个强烈的非线性方程。在这些系统模型由cubic-quintic杜芬方程我们想要提到的非线性动力学纤细的弹力,复合KdV方程在非线性波系统中,或短电磁脉冲传播的非线性介质(1- - - - - -3]。
本文的目的是展示分析近似周期解的cubic-quintic杜芬振荡器(1- - - - - -3)的基本功能。为此,我们使用之前获得的结果(4)利用切比雪夫级数展开的恢复力5,6)为五次杜芬振荡器。使用这种近似,原非线性微分方程取代了立方杜芬方程,可以完全解决。替换原来的非线性方程的近似立方杜芬方程”使我们能够获得一个近似frequency-amplitude关系的函数第一类完全椭圆积分和解决方案的雅可比椭圆函数cn [4]。使用这些第一近似方程,封闭表达式近似频率和获得的解决方案的基本功能使用算术几何平均结合(二阶)理性的谐波平衡法。
与cubication方法,Bravo-Yuste [7]介绍了cubication过程基于谐波平衡法和Bravo-Yuste和Martin-Sanchez [8]也开发了一种加权均方cubication的方法。最近,Belendez et al。4,9,10)和Elias-Zuniga et al。11)使用类似的过程基于切比雪夫多项式的使用。特别是,Elias-Zuniga等人结合cubication方法与等效nonlinearization方法开发的Cai et al。12]。
在1980年代和1990年代早期,多努力就重正化技术和知名的算术几何平均的使用分析非线性振子和,特别是老著名单摆(13]。最近,也分析了非线性摆,它已被证明可以得到一个近似表达式的第一类完全椭圆积分使用泰勒级数展开[14],它类似于第二个近似导出使用算术几何平均。最后,rational谐波平衡方法(RHBM) [15)是更加困难比常见的应用谐波平衡法(HBM)与复杂的非线性振子。不过,我们将看到RHBM很容易适用于立方杜芬方程获得了切比雪夫多项式展开时考虑。RHBM呈现的优势与通常的HBM RHBM包括近似为所有谐波导致的周期解16]。
2。解决过程用切比雪夫多项式的扩张
一个cubic-quintic杜芬振荡器是一个保守自治振荡系统,可以通过下面的二阶微分方程来描述cubic-quintic非线性(1]: 与初始条件 在哪里是奇函数;和分别是无量纲位移和时间变量;,,是积极的常数参数(1]。用这些振荡的角频率,这是一个函数的初始振幅。
的cubic-quintic杜芬方程很难处理,因为存在的强非线性和没有已知的封闭解。然而,五次杜芬方程(,,在(2.1)最近解决大约通过cubication过程基于非线性恢复力的扩张的切比雪夫多项式(4]。应用这个程序,首先减少变量介绍了(2.1)和(2.2)和非线性函数用切比雪夫多项式展开的第一种吗。只保留第一两届扩张,我们获得 在哪里 然后的非线性微分方程(2.1)可以(立方)杜芬方程的近似 在哪里
方程(2.5)可以完全解决及其解决方案可以写成的雅可比椭圆函数cn [15]。然后cubic-quintic方程的近似频率和解决方案(2.1)将准确的频率的三次方程和解决方案(2.5)。考虑到众所周知的表达式杜芬振荡器的频率和解决方案(2.5),我们可以很容易地获得以下分析近似表达式的频率和解决方案cubic-quintic杜芬振荡器如下: 在哪里第一类完全椭圆积分吗
3所示。封闭的表达式近似频率的基本功能使用算术几何平均
我们可以看到从(2.7)的近似频率cubic-quintic杜芬振荡器表达的第一类完全椭圆积分,。然而,还可以获得一个封闭的表达式近似频率的基本功能。第一类完全椭圆积分(2.9)不能用初等函数来表示,但可以用高精度数值计算基于算术几何平均通过一个简单的过程。这是由于这一事实的基础算术几何均值高斯椭圆积分的计算方法(16- - - - - -18]。两个数的算术几何平均和,可以表示在封闭的第一类完全椭圆积分(16] 它允许我们写吗在(2.9),如下所示16]:
算术几何平均的勒让德形式是由(16] 在哪里和。从(3.3)可以近似计算算术几何平均通过选择有限数量的条件在这个方程如下: 从(2.7),(3.2)和(3.4),我们获得以下表达式的近似频率cubic-quintic杜芬振荡器: 那里只有两项()被认为是在(3.4) 在哪里和(2.7)。的最大价值达到对cubic-quintic杜芬振荡器因为的情况和我们获得。我们可以看到,(3.5)是一个非常简单和容易可计算的表达式。
从(3.2)和(3.6)可以看出,可以考虑下面的第一类完全椭圆积分的近似: 在表1我们提出的错误百分比比较近似表达式的第一类完全椭圆积分,(3.7),具体的,值的时间间隔对应cubic-quintic杜芬振荡器()。从这个表中我们可以看到,是一个很好的近似和相对误差小于0.087%。
来验证是否能充分考虑只有两届近似的勒让德形式算术几何的意思是,我们比较(2.7),(3.5)和和。
为我们得到以下幂级数扩张对这些方程的振荡幅度非常大的值
此外,我们有以下: 的最大相对误差频率使用算术几何平均近似(3.5),而不是(2.7)是0.0087%,这使我们得出结论,(3.6)是一个合适的近似(3.3)。
为和我们得到以下幂级数扩张对这些方程的振荡幅度非常大的值: 在哪里是欧拉伽玛函数。此外,我们有以下方程: 现在的最大相对误差频率使用算术几何平均近似(3.5),而不是(2.7)是低至0.0014%,这使我们得出结论,(3.6)是一个合适的近似(3.3)。
4所示。封闭解的表达式的基本功能使用Rational谐波平衡方法
为了获得近似解的表达式的基本功能,我们认为近似频率是由(3.5),我们运用理性的谐波平衡法(RHBM)。通过定义一个新的独立变量替换时间变量,,(2.5)可以表示如下: 我们写了为了简单起见。我们建议以下近似周期解的(4.1) 注意,这个表达式满足规定的初始条件独立的参数,这是有待确定。很容易验证替换在(4.2),我们获得了理性的表现 表达式通常被认为是在rational的二阶谐波平衡方法的参考书目(15]。然而,(4.2)的优点是它允许我们简化程序获得的傅里叶级数展开的系数和。这些系列可以写成: 在哪里 用(4.4)(4.1得到以下结果: (HOH代表高阶谐波的地方。设置最低的谐波系数为零 可以得到解决的函数。在做这项工作之前,必须获得第一个傅里叶系数的值和作为未知参数的函数。为此,我们首先写的表达式如下 然后 然后傅里叶系数和把表达式 替换(4.10)(4.7),收益率以下表达式 解给了 在哪里,和给出了(2.6)和(3.5)。从(4.12我们获得的 和和 在图1我们已经绘制参数的函数不同的参数值,,。方程(4.13)和(4.14让我们知道参数的最大值为和(),分别。事实上,对于和我们得到一个准确的立方杜芬方程的近似解。
5。与精确解进行比较
的精确频率cubic-quintic杜芬可以通过直接集成振荡器(2.1)使用的初始条件(2.2)。结果(见附录B (1]) 在参数,,给出如下: 为可以得到下面的表达式的值很小: 为可以获得很大的值以下表达式: 基于(3.9)和(5.4相比),近似精确的频率 可以看到,分析近似频率的相对误差在极限是0.38%,这意味着这种方法适合解决(2.1),远远大于团结。在图2我们策划比较近似的和精确的频率不同的参数值,,。
对于这个cubic-quintic杜芬振荡器,赖昌星等人获得以下限制应用Newton-harmonic平衡法(NHBM) [1]: 第一,第二,分别和三阶分析近似。我们可以看到,本文获得的近似频率结合cubication过程(基于切比雪夫多项式恢复力的扩张),算术几何平均(近似立方杜芬振荡器)的确切的频率,和二阶谐波平衡方法合理,比一阶和二阶频率获得更准确的使用NHBM和准确(0.38%比0.23%)略低于使用NHBM获得的三阶频率。
在表2我们提出了错误的百分比比较近似频率的精确的频率。对这些参数(3.5)可以写成: 考虑到(3.9),(4.2)和(4.13)很容易验证的解析近似解cubic-quintic杜芬振荡器具有以下渐近表达式: 我们分析这个例子,因为这种情况下对应于最坏的情况下,因为它有近似频率的相对误差是最大的。
近似与精确解的几个例子cubic-quintic杜芬振荡器给出数据3,4,5,6一个完整的周期。确切的周期解通过数值积分(2.1),提出了近似周期解计算使用(4.2)。在这些数据参数被定义为 往往作为。近似解,表示为的函数已被绘制在图6是 参数振荡器分析数据3- - - - - -6展示在表3的值标准错误一直还包括为了产生一个全球估计的近似解的准确性18] 的最大价值标准是0.0100931和获得。在图7我们有了分歧数据中提供的振荡器3- - - - - -6。数据3- - - - - -7显示(3.9)和(4.2)提供一个好的近似精确周期解的cubic-quintic杜芬振荡器。
6。结论
使用获得的结果通过应用cubication方法cubic-quintic杜芬振荡器,非常简单和精确的频率的表达式和解决方案获得了cubic-quintic杜芬振荡器。在这个过程原始非线性方程取代了相关“立方杜芬方程”,接近原始“cubic-quintic杜芬方程”密切足以提供有用的解决方案。立方杜芬方程完全解决的第一类完全椭圆积分和雅可比椭圆函数cn这些精确解的近似解cubic-quintic杜芬方程。使用第一类完全椭圆积分之间的关系和算术几何平均和二阶谐波平衡方法合理,封闭表达式近似频率和解决方案得到的初等函数近似频率的相对误差不到0.38%的振荡幅度值。本文方法的结果被发现是在良好的协议与获得的精确解的数值。
确认
这项工作是支持的“Generalitat Valenciana”的西班牙,在项目PROMETEO / 2011/021,和“Vicerrectorado de Tecnologia e Innovacion Educativa”大学的阿利坎特,西班牙,在乡村度假别墅项目- 09006 ua。