文摘

我们调查的全球存在延迟非线性演化方程 。我们的工作空间是部分权力空间 。在扇形运营商的基本定理,我们利用定点的原则来证明当地的存在性和唯一性定理。然后,Gronwall获得的全球存在的不平等。

1。介绍

存在的进化方程的解决方案,有很多工作和方法(1- - - - - -7]。例如,固定原则[1,3- - - - - -5,7和加勒金近似2,6]。他们非常经典的方法来证明存在性和唯一性。一般说来,有四个解决方案的概念。弱解,温和的解决方案,强大的解决方案,和经典的解决方案。我们可以获得不同条件下不同类型。例如(1,考虑下面的非齐次初值问题: 在哪里 巴拿赫空间。如果非线性 ,初值问题有一个独特的温和的解决方案。如果非线性 是可微的a.e. 和 ,然后每 初值问题有一个独特的强大的解决方案。此外,如果非线性 局部夹连续,那么初始值问题有独特的经典解决方案。

在这篇文章(5),作者认为标量反应扩散方程与小延迟 假设非线性有局部李普希茨和满足片面的经济增长预期 对于一些连续的 。为了证明存在,他把方程逐步有时滞迅即抛物型偏微分方程的时间间隔 通过对延迟值作为固定。他的策略是模拟的结果亨利(33.3.3定理和推论3.3.5),但与他的持有人连续性假设所取代 可积性。许多作者调查的nondelayed [8- - - - - -10]。

在本文中,我们考虑下面的非线性演化方程与小延迟: 的假设下(A1), (A2)和(A3)(见部分2),我们首先利用固定原理证明当地的存在性和唯一性定理。然后我们通过Gronwall不等式获得全球的存在性和唯一性。在整个论文中,我们的工作空间是部分权力空间 。其定义可以称为(1,3,4]。

2。预赛

在本节中,我们将给出一些基本概念和事实。首先,列出基本假设。(A1)让 是一个积极、扇形巴拿赫空间上算子 。 是一种分析生成的半群吗 。部分权力操作符 是定义良好的。部分权力空间 图的规范 。为简单起见,我们将表示 作为 。(A2)对于一些 ,非线性 是局部李普希茨 。更准确地说,存在一个社区 这样,对于 和一个常数 (A3)初始值 是座连续从 来 。

定义2.1。让 是一个区间。一个函数 被称为(古典)解决方案(1。4)的空间 前提是 是连续可微的 与 和满足(1。4到处都在 。

显然,(古典)解决方案(1。4)可以表达的常数的变化公式 我们让 。接下来我们来主要定理分析半群中是极其重要的非线性演化方程的动力学研究4]。

定理2.2(扇形运营商基本定理)。让 是一个积极、扇形巴拿赫空间上算子 和 分析生成的半群 。然后下面的语句。(我)对于任何 ,有一个常数 这样对所有 (2)为 ,有一个常数 这样,对于 和 (3)对于每一个 ,有一个常数 这样对所有 和

引理2.3 (Gronwall的平等,2- - - - - -4])。让 并且是连续的 。如果存在正的常数 这样,对于 那么存在正的常数 这样,对于

3所示。主要结果

定理3.1。假设(A1)、(A2)和(A3)。然后有一个足够小 这样,(1。4)有一个独特的解决方案 。

证明。为了方便起见,我们仍然表示 。选择 和构造 让 ,选择足够小 这样 让 是巴拿赫空间 与通常的上确界规范我们表示 。让 非空的关闭和有限的子集 定义为 在 我们定义了一个映射 通过 接下来,我们将利用收缩映射定理证明不动点的存在。为了完成这项工作,我们需要确认 地图 为自己和 是一个收缩映射 与收缩常数≤1/2。
很容易看到的3所示。4)和(3所示。5),对 , 。为 ,考虑到(2.1),(2。3),(3所示。2)和(3所示。3),我们得到 因此 。此外,如果 然后从(3所示。3)和(3所示。5) 这意味着 通过收缩映射定理的映射 有独特的定点 。这个定点满足以下:
从(2.1),的连续性 由此可见, 上是连续的 在这个区间上,更别提有界。让 接下来,我们想证明 是本地持有人连续吗 。为此,我们首先展示解决方案 (3所示。9)是当地持有人连续 。
选择 , 这样 考虑(2。3)和(2。4),我们选择 这样 合成(3.12)和(3.13),我们得到
我们证明了解决方案 (3所示。9)是当地持有人连续 。此外,在视图的(2.1)我们有
让 的解决方案(3所示。9)和(3.10), 。针对本地持有人连续 的 ,考虑非齐次初值问题 通过推论4.3.3 [1),这个问题有一个独特的解决方案和解决方案是由 每一项(3.17)是在 ,更不必说了 。双方的操作(3.17), 我们发现 由(3所示。9)的右边(3.18)= 因此 。因此,对于 ,(3.17)我们有 所以 是一个 解决方案(1。4)。的独特性 遵循独特性的容易的解决方案(3所示。9)和(3.16),完成证明。

给我们的全球存在性定理之前,我们应该首先证明扩展定理的解决方案。

定理3.2(扩展定理)。假设(A1), (A2)和(A3)。也认为每一个有界集关闭 ,图像 是有界的 。如果 是一个解决方案(1。1) ,然后 或存在一个序列 作为 这样 。(如果 是无限的,关键在无穷远处包括在吗 。)

证明。假设 ,有一个封闭的有界 的子集 和 这样,对于 。我们证明存在 这样 在 ,这意味着解决方案可以超越时间延长 。
现在我们 我们首先展示 仍然有界, 对于任何 。
观察,如果 , 鉴于(2。3)和(3.19)我们有
其次,假设 ,所以 从(2。3)和(2。4),我们得到 因此,(3.20),完成证明。

全球存在唯一性定理3.3 ()。假设(A1), (A2)和(A3)。和所有 , 满足 然后,独特的解决方案(1。4)存在 。

证明。我们需要确认 是有界的 。至于 考虑(3.25),我们可以获得 为
情况下1。如果 。因为 为 和 是座连续从 来 。让 从(3.27),我们立即获得 从引理2。3,也就是说,Gronwall不等式,我们发现 。
情况下2。如果 ,还让 因为 从(3.27再次,我们获得 通过再次Gronwall不等式,我们得到的 。这就完成了这个定理的证明。

确认

这项工作是由中国(11071185),NSF NNSF天津(09 jcybjc01800)。