文摘
我们构造一个线性的黎卡提微分变换,利用拟设和线性化点转换利用谎言点对称发电机为一个带三个参数的类Lienard类型的非线性二阶常微分方程。自从类方程也承认一个eight-parameter李群的转换,我们利用Lie-Tresse线性化定理获得线性化变换。线性化变换用于变换的底层类方程线性三、二阶常微分方程,分别。这类方程的通解可以很容易地获得通过整合所带来的线性化方程的线性化方法。比较结果推导出本文是由利用一种方法得到的映射类方程的复杂点的转型为自由粒子方程。此外,我们利用线性的黎卡提微分变换方程扩展底层类,Lie-Tresse线性化定理也用于验证这个新类的linearizability条件方程。
1。介绍
一个带三个参数的类Lienard类型的非线性二阶常微分方程(常微分方程)的形式 在哪里,等等,,任意常数,一直是一个主题感兴趣的的方程属于这个类被广泛应用于非线性振动。
一个特定类的(1。1),当研究了,在1)使用谎言对称群方法的解决方案。为作者在2)获得的一般解决方案(1。1)间接地通过使用外地与修改相关联的转换Prelle-Singer方法给出了(3]。在[4),Bluman等人调查类的(1。1)和获得的一般解决方案(1。1通过映射(1。1)自由粒子方程显式转换利用复杂点确定方程的对称性质导致的转换。
在本文中,我们回顾(1。1)从线性化的角度,推导出通用类的解决方案(1。1)以简单的方式比以前。特别是,我们构造一个线性的黎卡提微分变换(1。1)通过使用拟设和线性化点转换利用谎言点对称(录取了1。1)改变底层方程线性的,因此获得的一般解决方案(1。1)通过集成线性化方程出现在这两种情况下。我们表明,一般的解决方案获得的线性化(1。1),这两种方法配合Bluman等人的结果(4对于某些非零常数)。然而,我们的方法要简单得多。此外,我们还利用线性化的黎卡提微分变换扩展底层类Lienard类型的方程,然后Lie-Tresse线性化定理是用来确定的条件这是linearizable方程的新类。
论文的大纲如下。节2我们现在一个黎卡提微分变换,线性(1。1)线性三阶方程和Lie-Tresse的使用条件(见,例如,Mahomed [5)和引用其中)点的线性化转换的类(1。1)一个线性方程。我们还展示了一个可以利用这些线性化转换中出现两种方法构建的通用解决方案(1。1)。我们提供部分3扩展的类(1。1),这个新类的条件,确定linearizability方程的谎言点转换。最后,在节4,结束语。
2。线性化和通用解决方案(1。1)
在本节中,我们考虑的linearizability (1。1),首先找到一个黎卡提微分变换,然后通过派生一个点变换Lie-Tresse定理。我们推导出黎卡提微分变换通过使用一个拟设。然后,我们也使用Lie-Tresse[的不变的标准5)获得线性化点转换。的通解(1。1)很容易利用这些构造线性化变换。
2.1。拟设线性化的方法
我们使用以下拟设的形式: 在哪里线性化(1。1)。使用(2.1),用和衍生品和到(1。1),我们发现。因此,我们发现转换变换(1。1)以下线性三阶的颂歌: 现在让,(2.2)成为一个线性二阶的颂歌: 特征方程(2.3)的根 因此,有3例出现。它应该提到我们的分析(1。1比()是因此更简单4]。
例1 ()。在这种情况下,一般的解决方案(2.3)是由 在哪里和任意常数。因此,一般的解决方案(2.2)的形式 在哪里是一个积分常数。因此,一般的解决方案(1。1)使用(2.1)的收益率 在哪里表示。请注意,并不是所有的常量是任意的,只有两个。
例2 ()。这里我们得到以下通解(1。1)由: 在哪里,是任意常数的只有任意两个任意的。
例3 ()。解决方案(2.3在这种情况下给出的 在哪里和任意常数。因此,一般的解决方案(1。1)是由 在哪里表示,是一个任意常数。同样的评论1适用于有关的常数。
2.1的话。一般的解决方案(2.7)的情况下1,在那里,通过设置,,如果,我们获得的通解4对于这种情况。以同样的方式,在一般的解决方案(2.8)的情况下2,在那里,让和如果,我们推导出对应于本例中给出了通解(4]。
2.2。Lie-Tresse线性化的方法
在这里,我们考虑的linearizability (1。1),点转换利用Lie-Tresse结果。方程(1。1)最大的八维李代数。此外,我们就能很容易地验证线性化条件4和5中给出(58]感到满意,定理。两个对称noncommuting发电机 通过条件9 (5定理8],我们发现线性化变换这将减少和他们的规范形式: 因此,通过求解偏微分方程(pde)的系统: 这涉及到一些繁琐的计算,我们得到以下线性化变换: 渗流(1。1线性二阶颂歌): 的通解(2.15)是由 在哪里和任意常数。因此,通过使用转换(2.14),我们获得以下通用解决方案(1。1)由 在哪里表示。一个同样可以实现线性化点转换为其他情况下。
2.2的话。一般的解决方案(2.17),通过设置,,,我们获得的通解在[4]。
3所示。泛化(1。1)
在本节中,我们扩展linearizable方程(1。1)。也就是说,我们获得比(更大的一类非线性二阶常微分方程1。1)由一个黎卡提微分变换linearizable一类线性变系数三阶常微分方程。我们也确定这个新linearizability条件使用Lie-Tresse一类非线性二阶常微分方程线性化定理。
3.1。扩展的(1。1)通过黎卡提微分变换
让 类的一般的线性化形式的线性变系数三阶常微分方程。由黎卡提微分变换 在哪里,我们获得 然后,我们推断(3.3),,如下: 用(3.3)- (3.4)(3.1),我们得到以下非线性二阶的颂歌: 因此,扩展的形式(1。1)的类(3.5)由黎卡提微分变换linearizable (3.2)(3.1)。
3.1的话。如果我们代入(3.5),,,然后(3.5)减少的类(1。1)。
3.2。线性化的3.5)Lie-Tresse定理
如果(3.5)是由谎言linearizable点转换,那么我们必须有通过线性化条件4 (58],定理。因此,与,(3.5)以下形式: 在哪里 在哪里表示。我们就能很容易地验证系数和在(3.75)满足系统pd的条件(58],定理。因此在[Lie-Tresse线性化定理85),类(3.6)是由谎言linearizable点转换。
4所示。结束语
我们重新拟合类Lienard类型的非线性常微分方程(1。1)从简单的线性化的角度来获得一个更简单的时尚这个类的明确的通用解决方案。(1。1),我们发现了一个线性的黎卡提微分变换利用拟设和线性化点转换利用谎言点对称发电机(录取了1。1)。由于底层类(1。1)满足Lie-Tresse线性化定理,它承认一个八维李代数。我们利用两个对称性获得线性化转换。在第一种方法的线性化(1。1)一个黎卡提微分变换,我们改变了(1。1)成线性三阶的颂歌,在后一种情况下线性化导致减少(1。1线性二阶的颂歌。我们很容易获得类的通用解决方案(1。1)通过集成产生的线性化方程的线性化方法。比较本文获得的结果是由使用一种方法得到的映射的类(1。1)通过一个复杂点变换到自由粒子方程。我们已经证明的一般解决方案(1。1)获得的4相当于一般的解决方案(1。1)在本文中利用两种线性化方法获得。此外,这两种方法线性化和构造的一般解决方案(1。1),即线性化的黎卡提微分变换和使用Lie-Tresse线性化定理,提出了尚未在前面的文献报道。此外,我们展示了一个如何利用线性化的黎卡提微分变换扩展底层类Lienard类型的方程,因此比Lienard系统表明,一个更大的类可以被黎卡提微分线性化变换比了4]。通过使用Lie-Tresse线性化定理,我们也获得了这个新类的条件线性化方程的谎言点转换。
确认
第一作者a·g·Johnpillia想表达他的衷心感谢和感激美国国家科学基金会(NSF),斯里兰卡的国际旅行格兰特,SDEA2012会议的组织者,计算和应用数学学院的金山最热的接待大学参加会议成功。