文摘

在所有多项式zerofinding算法,很好的融合需要一个很好的初始近似的确切的根源。这项工作的目的是研究条件确定的初始近似迭代矩阵zerofinding方法。调查是基于纽贝里的矩阵结构类似于菲德勒的建设与特征多项式相关联。以确保收敛到真实和复杂可以实现多项式的根,三种方法在韦茅斯的总部工作。发现菲德勒的同伴矩阵的初始值是由施迈瑟式的的方法提供给一个更好的近似的解决方案相比,当工作在这些值使用施迈瑟式的建设对找到的解决方案。此外,实证结果表明,仍然可以获得良好的收敛时的初始近似多项式根选择远离它的真正价值,而其他近似应该足够接近真实值。表和数据上的错误,导致的实现方法。

1。介绍

近年来,各种研究研究了zerofinding算法。第一次,伽罗瓦,一般直接法计算零的显式公式只存在一般多项式的程度小于5。从而找到多项式的根与更高的学位需要数值方法和每个算法具有自己的优点和缺点。威尔金森(1,2)指出,没有一般zerofinding算法可以适应任何多项式任意程度。摘要zerofinding技术被认为是一元多项式的类。Zerofinding一元多项式的基础矩阵特征值来确定伴侣。让 一元多项式的学位 如下: 如果 是它的同伴矩阵联系在一起 ,然后 传统数值方法求解多项式,现代数值方法从线性代数,线性规划,和傅里叶分析,开发的解决方案(1.1)。这些方法依赖于一个好的初始近似根的确保收敛除了稳定的考虑。就本工作的目的寻求一种有效的决议,避免了错误的根源找到,尤其是坏心肠的代数或多项式方程的高阶多项式与多项式的关闭或多个根。

本文组织如下。

节2,我们已经回顾了迭代的方法已被用于寻找多项式的根。节3菲德勒的定理的基础,研究进展。节4,我们已经介绍了菲德勒的方法通过考虑施迈瑟式的初始值的方法。在部分5和6的解决方案,我们有说明多项式通过考虑复平面的一部分的初始值和初始值一定半径的圆, 。节7的结果,我们提出了选择初始值的任意多项式菲德勒的方法达到收敛的根源。

是指出,在部分4,5,6,7给出的表显示我们的结果的准确性。此外,错误的方法显示的数字。重要的是,为了实现我们的方法和获得的结果说明了数据表,我们利用Matlab软件和枫。节8的分析结果进行了讨论。最后,在节9本研究的结论。

2。回顾现有的方法

Graeffe root-squaring方法替换给定的多项式的广场是由另一个多项式的根原多项式。牛顿法是一个迭代的过程基于泰勒级数的多项式近似根。

至于培养的研究(3]:“收敛需要一个很好的初始近似的根。“詹金斯和特劳布的算法包括三个阶段和根必须计算在一个大约增加数量级时出现的为了避免不稳定降低大根(4,5]。拉盖尔方法立方收敛了简单的根源,也为多个根但每个迭代线性收敛要求被评估的一阶和二阶导数的估计根,这使得该方法计算昂贵的(3,6]。Trefethen和(音)5,7]研究了给定的多项式的根之间的融合和弗罗贝尼乌斯的同伴矩阵的特征值8)和特劳布里德表明这两组具有可比性。

对重根的多项式,船体和Mathon9)提出了一个迭代的多项式不仅zerofinding算法的迭代收敛于简单的根也收敛于多个根。2005年严和蒋10)引入了一个方法,从理论上解决了多重根问题。该方法采用欧几里得算法获取最大公约数(GCD)的一个多项式及其一阶导数。然后违约到多个根简单的然后是多样性的根是坚决和相应的计算,应用常规root-finding方法。2007年,温克勒(11)表示,肾小球囊性肾病Uspensky计算的算法使每根计算的多重性,和一个多项式的根的初步估计得到解决几个低阶多项式,所有的根源很简单。

在一些工作,应用了贬义的歧管。例如,曾庆红(12)提出了一个算法,将奇异root-finding问题转换成贬义的歧管常规非线性最小二乘问题,同时计算多个根从给定的多样性结构和初始根近似。

除了稳定性考虑大多数常规zerofinding方法,融合需要一个好的初始近似准确的根。在这项研究中,我们认为选择好的初始近似根的重要性,确保收敛。我们现在一般如何选择初始值通过应用菲德勒的定理和评论,以及施迈瑟式的之间的混合和菲德勒的方法。工作部分主要关注错误施迈瑟式的方法之间的比较和Schmeisser-Fiedler菲德勒的方法当初始值的方法生成的施迈瑟式的方法,为解决相同的多项式。此外,本研究还讨论了找到一个多项式的根的错误使用菲德勒的方法,选择初始值在一个复杂的平面和一个圆。然而,马列和瓦兰蔻(13)类似的调查发现的多项式的根通过选择初始值通过提到方法没有注意的比较和条件选择所需的初始值。在这项研究中,我们有特别调查获得收敛的影响,尽管只选择一个初始值,没有足够接近精确值。即将到来的表和数据显示相关联的错误相应的计算。更重要的是,本研究中使用的多项式不限制只有特定类的多项式。也强调,这项研究的主要任务之一是所有方法的实现,我们在这里描述求解多项式和绘画相关的数据通过Matlab和枫软件。

3所示。菲德勒的方法

菲德勒的基础的方法是线性代数中的一个重要定理的反映:所有实对称矩阵的特征多项式的根是真实的。事实上,菲德勒的方法是纽贝里的扩展方法14),它决定了实对称矩阵的多项式实根。菲德勒所需初始值的方法选择的一些不同的方式:从初始值由施迈瑟式的方法,随机取自一个地区复杂的平面上,或从一个圆半径大。

在菲德勒的方法,有一些重要的定理获得同伴矩阵给出定理3所示。1,3所示。2,3所示。5在下面。事实上,菲德勒下面描述的一般定理定理是一个优势。

定理3.1(见[15])。为 假设 是 不同的数字和 让 和 多项式的程度 这样 为每一个 。定义 矩阵A, C 如下。
为 ,让 ,让 这样 让 这样对一个固定的常数δ≠0, 是满意的。
然后为每个 与 ,这个数字 的特征值 和 相应的特征向量。
我们提出上述定理的重要结果如下。

结果1。这是看到的选择 的根 在上面的定理,矩阵 将会有一个特征值的吗 这就等于数量 如果一元多项式 和 被认为, 因为我们可以写 。

定理3.2(见[16菲德勒定理)。假设 一元多项式的学位 , 是 不同的数字, 为 。考虑 和定义矩阵 是一个矩阵的混乱 为一个固定的,这样 , 在那里, 。 , 这样 是一根 ,然后 。
如果根 独特的和真正的和吗 近似的根源呢 可以选为+ 1或−1的方式 ,从而 是真正的对称16]。

3.3的话。如果 和 都是真实的每个 是真实的或虚构的。

3.4的话。施迈瑟式的(16证明,如果的根源 是不同的和单一的数字 近似的根源,那么矩阵 在定理3所示。2是一个酉矩阵。

定理3.5(见[14])。让u (x)的一元多项式 这样 和 是复杂的,不同的数字吗 为 。让 假设 是一个列向量,这样吗 满足 然后,存在有界和对称矩阵 ,
如果所有的根源 简单而真实吗 是近似的根源呢 是真实的和对称的,也就是说, 。因此,矩阵 类似于纽贝里的矩阵。
根据上述定理和评论,我们可以发现和估计初始值多项式的根 通过使用菲德勒的方法和施迈瑟式的,也通过生成同伴矩阵 ,在那里 和的定义 的根 。我们提出的一些例子解决多项式通过应用菲德勒定理和施迈瑟式的方法。进一步,我们将检查情况时只有一个近似的根源是远离它的真正价值。在未来的研究中,我们将通过另一种方法估算的根源没有太多限制,在不影响方法的收敛到精确解与高度的准确性。

4所示。菲德勒的混合方法和施迈瑟式的方法

施迈瑟式的(16)生成一个对称三对角矩阵, 欧几里得算法,通过使用一个修改。根据施迈瑟式的定理是基于一个修改欧几里得算法和矩阵 ,我们实现了使用Matlab求解莫尼多项式的相关算法。考虑一个首一多项式 和相应的矩阵 解决后, ,我们获得的根源 约。在这种方法中,我们考虑获得的施迈瑟式的值的方法作为菲德勒的方法所需的初始值。

例4.1。考虑到威尔金森多项式如下: 使用这种方法十迭代后,我们发现各自的多项式的根,结果如表所示1。

表1
实现威尔金森多项式的根通过考虑施迈瑟式的初始值的方法。

现在,误差图给出了结果图1。


图1
威尔金森Schmeisser-Fiedler方法误差多项式。

第二列的表1给施迈瑟式的生成的矩阵特征值的方法。这些值对应于给定的多项式的各自的根源,当应用施迈瑟式的方法。随后,由施迈瑟式的获得的值的方法被用于菲德勒的方法的初始近似根与伴侣相关矩阵的特征值 然后获得。一行四到最后一行的表1显然表明,施迈瑟式的解决多项式的方法的错误高于应用菲德勒的错误积累的方法从施迈瑟式的获得所需的初始值的方法。同样,图1表明,菲德勒的错误方法通过应用施迈瑟式的方法根大于5的威尔金森多项式减少。

5。菲德勒的方法从复平面的初始值

在这种方法中,我们选择菲德勒的初始值的方法是从一段复杂的飞机。

例5.1。考虑多项式 。
使用这种方法,我们获得这个多项式的根和结果如表所示2。
误差图如图2。
第二列的表2给出了近似的根值的初始值求解多项式的例子5.1选择使用菲德勒从复平面的方法。在生成的矩阵 ,发现其特征值收敛到各自的多项式实根第三列的表2。第四列,这个方法是充分小的错误相比,真正的根源。图2描述在表的结果2。

表2
实现多项式的根的例子5.1通过考虑复平面的初始值。

图2
菲德勒的方法对于复杂误差多项式。

6。菲德勒从圆与初始值的方法 半径

在这种方法中,我们选择菲德勒的初始值的方法从一个圆半径 。应该照顾,近似收敛于较小的根 被认为是足够大吗 如果,该方法收敛于更大的根源 被认为是充分小 。

例6.1。考虑多项式 使用这种方法, 选择,我们获得的根源。
结果如表所示3。
误差图如图3。
在表3第二列指出所需的初始值求解多项式中给出的例子6.1通过应用菲德勒的方法。他们从圆半径 。在计算矩阵的特征值 ,因为在第三列的表3,每一个对应于相应的多项式的根,错误的方法是令人满意的小相比,真正的根源。图3说明了表中的结果3。

表3
实现多项式的根通过选择初始值的循环。

图3
误差R-Fiedler 4次多项式的方法。

7所示。初始值的近似菲德勒任意多项式的方法

在本部分中,经过一系列的研究关于多项式与每个学位,我们获得的,如果我们想要选择初始值 我们可以选择其中的一个根离开,真正的根源但其他人必须接近真实的。

例7.1。考虑下面的多项式: 通过考虑初始值作为第二列在下面的表中,得到多项式的根在10菲德勒的迭代方法。表中列出的结果4。
结果的误差图在图给出4。

表4
实现多项式的根的例子7.1通过考虑初始值(一个近似是远离真实的值)。

图4
菲德勒误差多项式具有任意度的方法。

在表4第二列显示所需的初始值求解多项式,给出的例子7.1,通过应用菲德勒的方法。在第二行,13.3是离开的确切的数量值。在第三列,矩阵的特征值 这对应于相应的多项式的根。结果适当接近真正的根源。图4说明了表中的结果4。

8。讨论

许多数值方法,使用线性代数,线性规划,和傅里叶分析,已经开发了多项式的解决方案(1.1)。在这个阶段,我们描述当前方法的缺点和解释我们的结果的结果的形式表和数据。

考虑zerofinding方法的缺点,温克勒提到Graeffe root-squaring方法失败时是同等大小的根(11,3页);然而,通过应用菲德勒的代数方程根的方法可以解决几乎相同模量(17]。此外,贝尔斯托的方法只适用于包含实系数多项式避免复杂的运算。此外,詹金斯的算法和特劳布还包括三个阶段,只有有效的用实系数多项式。另一个不足的方法像拉盖尔技术并不完全完美,每次迭代需要被评估的一阶和二阶导数的估计根,这使得该方法计算昂贵。穆勒的方法是一个变种的牛顿法和牛顿法收敛要求估计足够附近的根。

可以聚集,上面的方法已经面临一些需要审查的问题。表中的信息1显示,选择所需的初始值后获得的结果由施迈瑟式的方法,第三列的表1,近似的结果是合理的,近的准确性 经过10迭代。通过比较结果在表4和5列1,这表明菲德勒的方法,假设所需的初始值取自施迈瑟式的值的方法,获得更准确的解决多项式完全由施迈瑟式的方法。

可以看出,几乎75%的根有准确性 。同样,图1也确认,以防大于5的根菲德勒的错误方法施迈瑟式的的方法应用稳步减少。

表中的信息2指出了估计初始值选择的一个复杂的飞机。菲德勒的方法获得的结果的例子4所示。1是合理的,近的准确性吗 。图2证实了相同的结果。

选择合适的初始值在圆上 在示例6.1随着第三列的比较表3和真正的根源的多项式的结论是,结果发现用这种方法是合理的。这些结果大致的准确性 。同样,图3证实了类似的结果。

第二列的表4而真正的根 近似的,只有一个根选择远离精确值。在示例7.1,我们已经考虑了一个初始值约等于13.3实根2。根据第三列的表4矩阵的特征值对应于多项式的根。结果充分接近真正的根的准确性 。同样,图4也证明了这句话。

9。结论

菲德勒的不同的算法描述。如前所述,可以看出,在现有的数值算法,我们不能说这是一个特殊的每一个任意多项式算法比其他的也有zerofinding显式公式最大五度多项式。为了找到一个任意多项式的根,我们能找到多项式的根与高精度使用本文中展示的算法之一。的情况下使用这些算法对于初始值选择,我们可以选择这些值从施迈瑟式的方法或通过选择从一个正方形或圆形或任意选择,必须关闭所有值真实的,除了其中的一个。此外,除了稳定考虑,在未来的工作中,我们有兴趣找到root-finding算法较低限制的初始近似根确保收敛除了稳定的考虑。在这种情况下,未来的研究应该考虑我们是否可以找到一种方法确保收敛到根的多项式zerofinding尽管一些初始值不一定是封闭的真正根源。

确认

作者要感谢UTM研究型大学格兰特,投反对票。Q.J130000.7126.04J05,省高等教育(邻蒙古),马来西亚,支持这项研究。作者感谢裁判的建设性的意见,改善纸的表示。