文摘
本文研究了有限元(FE)第二种形式变分不等式的近似。的配角rclose,获得了符合双线性有限元超收敛结果和不相容的铁计划合理规律的精确解,似乎没有发现以前的文献。最优标准误差估计也派生菲。最后,提供了一些数值结果验证了理论分析。
1。介绍
变分不等式(VI)理论中起着重要作用的障碍问题,接触问题,弹性问题等等1]。有限元方法解决VI问题吸引了越来越多的关注。例如,至于第vi型情况下,作者的2]使用分段二次有限元近似障碍问题和建议之间的误差阶有限元解和精确解。的作者(3)首先获得误差界(对于任何0)上述菲当障碍消失了。然后通过详细分析,作者的4)获得的同样的错误绑定的3]在自由边界具有有限长度的假设。之后,作者的5)获得的同样的错误绑定的3]相同的元素没有自由边界的有限长度的假说。此外,(6近似)调查了威尔逊的元素障碍问题和派生误差界的秩序。的作者(7)获得同样的错误估计和秩序在各向异性网格通过双线性的充分利用威尔逊元素的一部分,放松限制插值和简化的证明5,6]。最近,作者的8)提出了一种不相容的有限元方法移动网格的抛物线第六障碍问题,并获得最优误差估计在各向异性网格。另一方面,一些研究[9- - - - - -11)一直致力于有限元近似年青男子的问题出现在接触问题和不同假设下得到不同的错误估计。的作者(12派生的收敛结果如果位移场规律和还显示,如果强但合理的规律,上述结果可以提高最佳秩序。的作者(13)应用的一类Crouzeix-Raviart-type菲斯年青男子的问题和获得的估计在各向异性网格。的作者(14)使用双线性有限元近似无摩擦的年青男子问题由于接触区上的信息和派生的超收敛率当精确解。的作者(15]给出不合格品凯里菲近似的问题(14)和获得相同的收敛性和超收敛结果。
对于第二种情况,作者的16)提出了伽辽金有限元方案推导后验误差估计的摩擦问题,宾汉流体流动模型。的作者(17)认为板接触问题的有限元近似和获得一些错误估计采用网格技术相关的规范。
在本文中,我们将考虑下面的第二个vi型问题18,19]: 在哪里是一个有界凸多边形域;定义如下: 在这和,。是一个积极的常数,, 和和都是正的常数。(1.1)可以描述许多实际工程问题,吸引了许多学者的兴趣。例如,作者的20.)获得了线性有限元误差估计的能量范数;的作者(21)有能量误差估计准则通过改善的结果(20.];的作者(22]导出最优错误的估计规范和当误差估计的能量标准。但上述研究上面提到的只注意收敛分析符合菲没有考虑超产权,虽然它肯定是一个有趣的和有用的现象在科学计算的工业问题[23]。
本文首次尝试,我们试图调查超符合和不相容的问题(FE方案1.1)和一个合理的假设。本文的其余部分组织如下。在下一节中,我们给的等效形式(1.1)和符合双线性有限元(见[14])近似(1.1)。此外,超逼近的结果推导出破碎的能量范数下。节3不合格品,铁(见[26])近似使用,同样的超逼近结果是获得能量范数下;最优误差估计规范也是派生的时候。节4,我们构造一个后处理插值算子获得超收敛性质。节5,我们提出一些数值结果验证了理论分析。
2。相当于形式和符合菲计划
它已被证明在21,22)(1.1)等价于 和(2。1)有唯一解在。它可以证实满足以下两个属性:, 让是一个矩形分区的最大大小在飞机,一个通用的元素;和是符合双线性有限元空间和不合格品铁的空间。我们表示和相关的插值运算符和,分别。与此同时,我们表示凸集与在(如下: 在哪里是一个边缘。以下两个前题将发挥重要作用的有限元分析,可以发现在14,24),分别。
引理2.1。对所有,拥有。
引理2.2。让,然后,拥有 在哪里。
相应的符合菲近似的版本(2。1)读
定理2.3。让的精确解(1.1),双线性有限元的解决方案(2。6),然后保存 这里后,是一个通用的正的常数,这是独立的,,。
证明。减去(2。1)(2。6),然后将,一个可以
让和。采取在上面的方程中,收益率(殖利率)
的定义,我们有
注意到(2。3),我们有;因此
在这。
从(2。2)和引理2。1,可以被估计为
应用插值理论和引理2。2,我们得到
期望的结果是直接的组合(2.12)和(2.13)。
3所示。不信奉国教的FE方案
相应的有限元近似方案不合格品(2。1)读 在哪里。
首先,我们介绍下面的引理3.1,可以在[25]。
引理3.1(见[25])。如果,一个
通过使用类似的技术(26),现在状态和证明了以下重要结论之一。
引理3.2。对所有,拥有 在哪里。
证明。让,的四个顶点,。我们定义操作符和作为
分别在哪里和表示的措施和,分别。
它可以检查
的定义,我们得到
注意到=和只是依赖,我们可以推出
同样的,。通过使用相同的技术(14,15),可以被估计为
因此,预期的结果。
定理3.3。让的精确解(1.1),不合格品的有限元解(3所示。1)。然后一个
证明。减去(2。1)(3所示。1)给
为了方便起见,我们仍然表示和。采取在(3.10)的收益率
由引理3所示。1,我们可以推出
注意引理3所示。2和使用定理的分析技术2。3,一个可以立即得到期望的结果。
3.4的话。作为一个副产品,如果我们假设而不是,可以估计的一致性错误
可以发现在26]。然后我们可以得到最优误差估计如下:
现在我们开始给的范数估计通过一个二元性的论点。
定理3.5。让和的解决方案(1.1)和(3所示。1),分别持有
证明。让以下辅助椭圆问题的解决方案:
在这,然后
由(3.16)和引理3所示。1,我们可以推出
在哪里。这三个术语可以被估计一个接一个,如下所示。由(3.14),(3.17),插值理论,可以被估计为
通过跟踪定理,(3.17),引理2。1,一个人
由(3.13),(3.14)和(3.17),我们有
期望的结果是结合以上的估计,,。
3.6的话。的标准双线性有限元误差估计方案,读者可以参考(21,22]。
4所示。的收敛结果
为了获得收敛,我们把四个相邻的元素成一个新的矩形元素,他的四个边,。代表相应的新的分区。对于符合菲方案,我们构造后处理操作符如下: 在这中期的四个顶点和四个边缘点的。对于不合格品铁计划,我们构建后处理运营商是
很容易验证插值运算符构成,具有以下属性(23]:
定理4.1。如果的精确解(1.1),符合或不相容的有限元解。下面的超收敛结果 成立。
证明。由(4所示。3),一个人
注意到,完成证明。
5。数值结果
在本节中,我们将提出一个例子证实了我们的理论分析的正确性。在(1.1),我们选择与边界。右手术语。因为可能没有完全解决上述问题,我们使用符合菲解决方案充分细化网格作为参考的解决方案。然后我们比较符合和不相容的有限元解决方案(见图1在粗网格)与引用一个表1和2。
(一)
(b)
从上面的表中,我们可以看到,符合和不相容的有限元解决方案达成一致。同时,超我们的实验结果比理论的好一点。我们或许可以解释这一现象的一些特殊性质不相容的铁,我们没有发现。
确认
第一作者是由中国国家自然科学基金支持下拨款10971203。第三作者是由中国国家自然科学基金支持下拨款11126132。作者要感谢裁判对他们有价值的建议和修改,对论文的改进作出了重大贡献。