对称性守恒定律,米尔恩度量波动方程

文摘

Noether对称性提供保护的法律所承认的拉格朗日代表物理系统。对偏微分方程具有拉格朗日这些对称性得到相应的行动的不变性积分。在本文中,我们提供了一个系统的过程来确定Noether对称性和守恒的拉格朗日由一个洛伦兹度量向量的数学物理的兴趣。出于完整性的考虑,我们给谎言点对称性和守恒定律承认在这洛伦兹度量波动方程。

1。介绍

大量的工作是在分析微分方程(DEs)通过他们的谎言对称点。这些对称是重要的,他们在解决非线性微分方程中发挥关键性的作用。除了谎言点对称,还有其他有趣的对称性与微分方程具有拉格朗日。这些对称性称为Noether对称性和描述物理特性DEs的守恒定律他们承认。固有的对称性和守恒定律之间的联系一直以来在数学物理艾美奖Noether发表她的经典作品连接这两个(1]。Noether证明每一个无穷小变换承认通过拉格朗日的行动积分系统,存在一个守恒定律(1]。对称性和守恒定律之间的关系缺乏拉格朗日详细(2,3)和引用。扩展的一些工作,早些时候Bokhari et al。4,5]调查Noether对称性为特定的行元素的行为与拉格朗日的洛伦兹指标相关签名2。最近,扩展工作(4,5),新成果获得了存在的守恒量不同曲率的空间(6]。在目前的研究中,我们回顾一下工作6),调查Noether对称欧拉拉格朗日方程的洛伦兹度规,称为米尔恩模型(7]给出的指标 米尔恩度量代表空宇宙和狭义相对论的兴趣。我们的理由选择这个指标目前研究,虽然是零曲率,它说明了一些特性,与宇宙膨胀隐含在狭义相对论。论文的计划如下。

在下一节中我们发现Noether对称性的拉格朗日由(1。1)。节2,我们构造米尔恩度量波动方程(1。1),然后找到其Noether对称性。在第三节中,米尔恩的波的对称性度量比较与Noether对称性获得其拉格朗日。Noether的细节和对称性,我们参考读者,尤其,8- - - - - -11]。

2。不变性的测地线方程和Noether对称性

测地线方程不变性的欧拉拉格朗日方程确定的行动积分(4]。为了找到Noether对称性所承认的测地线方程米尔恩度规,我们写一个拉格朗日,,可由米尔恩度量和给定的表达式

相对应的将军Noether对称发电机这个拉格朗日(1] 在哪里,,,,是函数的,,,,,是由 在哪里是一个衡量函数。结果在确定偏微分方程组,由单项后分离

求解上述方程组迭代,我们获得 在哪里任意常数。相应的指标项是由 因此,李代数的基础Noether点对称发电机(只有相关的非零测量方面,给出) 上述对称发电机对称群的形成一个封闭的李代数。此外,这些发电机产生守恒定律(第一积分)的测地线方程通过诺特定理。例如,对称发电机,,对应的线性动量守恒,,方向,分别代表一个双曲旋转。此外,与守恒的向量(12)是 注意,以上获得的守恒定律比由杀害向量(13米尔恩的度量(额外的七个发电机来)。

3所示。波动方程

在这种情况下它可能是有趣的研究对称/波方程的守恒定律在米尔恩度规。这个指标的波动方程可以由使用箱操作符(13]:

简化上面的表达式中,波动方程的形式 谎言点对称的波动方程(3所示。2)是由公式(9] 在哪里对称发电机给延长了吗

方法采用后部分2,(3所示。4)给出了一个超定的确定方程组在四个未知数。这个系统收益率16-dimensional谎言对称群给出的是谁的基础 它可能是值得一提的给出了一个扩展守恒定律方向,,线性动力能源节约和方向,分别代表的旋转飞机。

4所示。讨论和结论

从我们的调查我们发现Noether对称性的拉格朗日形式最大的一组守恒定律。自米尔恩度量代表一个平坦的宇宙模型,它承认最大的等距。结果表明,米尔恩的Noether对称模型额外的守恒定律给出的不对称性的时空度规13]。完全类似的方式,我们发现米尔恩度量上的波动方程也承认最大群等距。它表明如果洛伦兹度量是平的,Noether和谎言点对称组将最大。值得一提的可能,Noether对称性在这项研究中一个给定的不同(12]。这将是有趣的扩展此类调查更一般的洛伦兹指标。希望这样的调查将增加我们对谎言的理解和Noether点对称等指标(13]。

承认

作者要感谢法赫德国王大学的石油和矿产设备来完成这项工作。

引用

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