本研究的目的是提出一个简短的调查的几何非线性自由振动Bernoulli-Euler,瑞利,剪切,得票率最高梁使用同伦分析方法与简单的结束条件(火腿)。固有频率的表达式,横向偏转,后屈曲载荷挠度的关系,并提出了临界屈曲载荷。非线性分析的结果进行验证和发布的结果,和优秀的协议。一些参数的影响,如细长比、转动惯量和剪切变形,是检查和其他参数是固定的。
1。介绍
许多结构,如桥梁、建筑、和飞船武器可以建模为灵活的光束。大多数在这些结构本质上是非线性现象和由非线性方程描述。因此,研究非线性影响梁结构的振动分析是非常重要的对工程师工作在航空航天领域,机械,土木工程。
尽管经典的非线性自由振动Bernoulli-Euler的梁已被许多研究人员调查<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B5">5),只有少数出版物一直致力于包括剪切变形和转动惯量的影响<一个href="#B6">6,<一个href="#B7">7]。
Azrar et al。<一个href="#B1">1)已经开发出一种semianalytical方法的非线性动力响应问题基于拉格朗日原理和谐波平衡法。振动模式的分析方法来确定几何非线性梁在各种边界条件下提出了Qaisi [<一个href="#B2">2]。基于不变流形方法的非线性模态分析方法是利用获得的非线性简正模clamped-clamped光束振幅位移大的谢et al。<一个href="#B3">3]。辛格et al。<一个href="#B4">4)已经开发出一种基于六次spline-based微分求积方法基本样条函数。郭和中<一个href="#B5">5)研究了非线性振动的薄梁基于六次基数样条函数,spline-based微分求积方法。
Rao et al。<一个href="#B6">6]研究了细长的大幅度自由振动梁使用连续和有限元方法。梁的大幅度结论行为与中央point-concentrated群众调查Rao et al。<一个href="#B7">7]。
这个调查的主要目的是呈现为Bernoulli-Euler几何非线性振动的解析表达式,瑞利,剪切,得票率最高的光束通过简单的结束条件。首先获得非线性运动微分方程的基础上,四个工程梁理论。假设只有基本模式是兴奋和执政的非线性偏微分方程简化为一个非线性常微分方程。这些方程分析求解时域内使用火腿。最后,给出一些数值例子nonslender和细长的梁表示梁模型之间的差异。
2.1。得票率最高的梁模型
考虑直得票率最高的梁的长度<年代vg height="10.325" id="M1" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,一个统一的横截面积<年代vg height="10.55" id="M2" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,单位长度上的质量<年代vg height="7.1374998" id="M3" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
横截面的面积的时刻<年代vg height="10.325" id="M4" style="vertical-align:-0.0pt;width:9.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.0375004 10.325" width="9.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,杨氏模量<年代vg height="10.325" id="M5" style="vertical-align:-0.0pt;width:12.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.225 10.325" width="12.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和剪切模量<年代vg height="10.75" id="M6" style="vertical-align:-0.15048pt;width:11.9125px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.9125 10.75" width="11.9125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
这是受到轴向力的大小<年代vg height="15.2875" id="M7" style="vertical-align:-0.17555pt;width:14.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.8375 15.2875" width="14.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
如图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig1/" target="_blank">1。我们假设梁是均匀和各向同性材料做的。
动能<年代vg height="10.325" id="M8" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 10.325" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和潜在的能量<年代vg height="10.5375" id="M9" style="vertical-align:-0.16302pt;width:12.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.8625 10.5375" width="12.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
振动梁可以写成<年代pan class="equation" id="EEq2.1">
1
=
2
0
2
,
̂
+
̂
2
,
̂
+
2
2
,
̂
1
̂
,
=
2
0
,
1
̂
+
+
̂
̂
=
2
0
2
,
̂
+
2
+
2
̂
,
(
2
。
1
)
在哪里<年代vg height="9.9375" id="M11" style="vertical-align:-2.34499pt;width:8.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0625 9.9375" width="8.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
代表了剪切角(<年代vg height="18.7125" id="M12" style="vertical-align:-5.28804pt;width:80.912498px;" version="1.1" viewbox="0 0 80.912498 18.7125" width="80.912498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
,
̂
−
),<年代vg height="14.475" id="M13" style="vertical-align:-1.76814pt;width:31.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.362499 14.475" width="31.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
,
,<年代vg height="9.875" id="M14" style="vertical-align:-2.29482pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 9.875" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是轴向、横向位移和截面旋转由于弯矩,<年代vg height="10.8" id="M15" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.8" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
梁的轴向坐标,<年代vg height="7.0124998" id="M16" style="vertical-align:-0.0pt;width:6.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 6.5 7.0124998" width="6.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
回转半径(<年代vg height="20.4125" id="M17" style="vertical-align:-2.64594pt;width:37.674999px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.674999 20.4125" width="37.674999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
/
),<年代vg height="10.7375" id="M18" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是梁的横截面形状系数。也<年代vg height="10.325" id="M19" style="vertical-align:-0.0pt;width:17.237499px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.237499 10.325" width="17.237499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.575" id="M20" style="vertical-align:-0.20064pt;width:12.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.625 10.575" width="12.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="20.3375" id="M21" style="vertical-align:-4.2259pt;width:24.049999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.049999 20.3375" width="24.049999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
弯矩、剪力和轴力分别。逗号表示对区分开来<年代vg height="10.8" id="M22" style="vertical-align:-0.17555pt;width:8.7250004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.7250004 10.8" width="8.7250004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
或<年代vg height="12.625" id="M23" style="vertical-align:-0.17555pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 12.625" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
。
卡门的strain-displacement关系类型是使用:<年代pan class="equation" id="EEq2.3">
=
̂
,
+
̂
2
,
̂
2
。
(
2
。
2
)
应用哈密顿原理,运动的控制方程和边界条件如下:<年代pan class="equation" id="EEq2.4">
,
̂
̂
−
,
̂
−
,
−
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
̂
̂
,
+
̂
2
,
̂
2
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎤
⎥
⎥
⎦
̂
,
̂
=
0
,
(
2
。
3
)
̂
,
̂
̂
−
⎡
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝
̂
,
+
̂
2
,
̂
2
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎤
⎥
⎥
⎦
̂
,
̂
=
0
,
(
2
。
4
)
2
,
̂
̂
−
,
̂
−
−
(
,
)
̂
,
̂
=
0
,
(
2
。
5
)
(
)
0
=
0
,
(
̂
̂
)
0
=
0
,
(
+
̂
,
̂
)
0
=
0
。
(
2
。
6
)
在忽略轴向惯性,(<一个href="#EEq2.4">2.3)- (<一个href="#EEq2.4">2.4)可以结合第一类耦合的微分方程如下:<年代pan class="equation" id="EEq2.8">
,
̂
̂
−
(
,
̂
−
)
,
+
̂
̂
,
̂
̂
=
0
,
(
2
。
7
)
2
,
̂
̂
−
,
̂
−
−
(
,
)
̂
,
̂
=
0
,
(
2
。
8
)
在轴向力<年代vg height="20.3375" id="M31" style="vertical-align:-4.2259pt;width:24.049999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.049999 20.3375" width="24.049999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
̂
是由<年代pan class="equation" id="EEq2.10">
=
̂
−
2
0
2
,
̂
̂
(
2
。
9
)
在下一步中,(<一个href="#EEq2.8">2.7)- (<一个href="#EEq2.8">2.8)可以结合到达以下解耦运动方程:<年代pan class="equation" id="EEq2.11">
,
̂
̂
̂
̂
+
,
̂
̂
−
2
+
,
̂
̂
+
̂
̂
2
,
̂
̂
̂
̂
+
̂
,
+
̂
̂
2
,
̂
̂
−
̂
̂
,
+
̂
̂
̂
̂
2
̂
,
̂
̂
,
̂
̂
=
0
。
(
2
。
1
0
)
可以指出,控制截面的转动的运动方程<年代vg height="9.875" id="M34" style="vertical-align:-2.29482pt;width:11.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.8625 9.875" width="11.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
可以使用相同的过程来得到一个方程类似于(<一个href="#EEq2.11">2.10),<年代vg height="7.4499998" id="M35" style="vertical-align:-0.11285pt;width:12.2375px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.2375 7.4499998" width="12.2375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
被取代了<年代vg height="9.875" id="M36" style="vertical-align:-2.29482pt;width:17.075001px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.075001 9.875" width="17.075001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
。
2.2。剪切梁模型
该模型忽略了转动惯量的影响得票率最高的梁模型。因此,动能只能写成<年代pan class="equation" id="EEq2.12">
1
=
2
0
2
,
̂
+
̂
2
,
̂
̂
。
(
2
。
1
1
)
应用相同的过程中提到的得票率最高的梁模型,给出了耦合运动方程<年代pan class="equation" id="EEq2.13">
,
̂
̂
̂
̂
+
,
̂
̂
−
,
̂
̂
+
̂
̂
̂
,
−
̂
̂
,
̂
̂
̂
̂
=
0
,
(
2
。
1
2
)
和边界条件中列出(<一个href="#EEq2.4">2.6)。
2.3。瑞利的梁模型
在瑞利梁模型中,剪切变形的影响被忽视的得票率最高的梁模型。与得票率最高和剪切梁模型,只有一个因变量瑞利梁。因此,潜在的和动能可以写成<年代pan class="equation" id="EEq2.14">
1
=
2
0
2
,
̂
+
̂
2
,
̂
+
2
2
,
̂
1
̂
̂
,
=
2
0
,
+
1
̂
̂
̂
̂
=
2
0
2
,
̂
̂
+
2
̂
。
(
2
。
1
3
)
遵循同样的步骤概述之前,在这种情况下,运动方程得到<年代pan class="equation" id="EEq2.16">
,
̂
̂
̂
̂
+
,
̂
̂
−
2
,
̂
̂
+
̂
̂
̂
̂
̂
=
0
。
(
2
。
1
4
)
任何类型的边界条件的一般形式可以列入<年代pan class="equation" id="EEq2.17">
(
̂
̂
)
0
=
0
,
(
+
̂
,
̂
+
,
)
̂
0
=
0
。
(
2
。
1
5
)
2.4。Bernoulli-Euler梁模型
在这个模型中两个剪切变形和转动惯量的影响被忽视的得票率最高梁模型。像瑞利梁模型,在这个模型有一个因变量。基于以上假设,本例中的潜力和动能<年代pan class="equation" id="EEq2.18">
1
=
2
0
2
,
̂
+
̂
2
,
̂
1
̂
,
=
2
0
,
+
1
̂
̂
̂
̂
=
2
0
2
,
̂
̂
+
2
̂
。
(
2
。
1
6
)
同样,运动方程<年代pan class="equation" id="EEq2.20">
,
̂
̂
̂
̂
+
,
̂
̂
+
̂
,
̂
̂
=
0
,
(
2
。
1
7
)
和边界条件中列出(<一个href="#EEq2.17">2.15)。
3所示。解决方案的方法
3.1。同伦分析方法(火腿)
为了方便读者,我们首先提出一个简短描述的火腿<一个href="#B8">8]。考虑非线性齐次微分方程如下:<年代pan class="equation" id="EEq3.1">
(
]
(
)
=
0
,
(
3
。
1
)
在哪里<年代vg height="10.325" id="M45" style="vertical-align:-0.0pt;width:14.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.8375 10.325" width="14.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
非线性算子,<年代vg height="9.125" id="M46" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
表示自变量<年代vg height="13.45" id="M47" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是未知函数。
廖构造所谓的零变形方程如下(<一个href="#B8">8]:<年代pan class="equation" id="EEq3.2">
(
1
−
)
(
;
)
−
0
(
]
(
)
=
ℏ
ℎ
(
)
(
;
)
,
(
3
。
2
)
在哪里<年代vg height="13.55" id="M49" style="vertical-align:-2.29482pt;width:59.224998px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.224998 13.55" width="59.224998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
∈
(
0
,
1
]
是一个嵌入参数,<年代vg height="13.5625" id="M50" style="vertical-align:-2.21957pt;width:55.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 55.625 13.5625" width="55.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
ℏ
,
ℎ
(
)
)
非零辅助参数和功能;分别<年代vg height="10.325" id="M51" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.1875 10.325" width="11.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个辅助线性算子,<年代vg height="14.75" id="M52" style="vertical-align:-3.25793pt;width:35.837502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.837502 14.75" width="35.837502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
(
)
是最初的猜测<年代vg height="13.45" id="M53" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
,<年代vg height="13.55" id="M54" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.612499 13.55" width="39.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
)
是未知函数。作为<年代vg height="9.875" id="M55" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9124999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9124999 9.875" width="7.9124999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
增加从0到1,<年代vg height="13.55" id="M56" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.612499 13.55" width="39.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
)
不同初始近似的解决方案。换句话说,<年代vg height="14.75" id="M57" style="vertical-align:-3.25793pt;width:105.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 105.7875 14.75" width="105.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
0
)
=
0
(
)
和<年代vg height="13.55" id="M58" style="vertical-align:-2.29482pt;width:94.487503px;" version="1.1" viewbox="0 0 94.487503 13.55" width="94.487503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
1
)
=
(
)
。
区分再次从(<一个href="#EEq3.2">3所示。2)对嵌入参数<年代vg height="9.875" id="M59" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9124999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9124999 9.875" width="7.9124999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
然后设置<年代vg height="13.55" id="M60" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.487499 13.55" width="34.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,我们获得一阶变形方程<年代pan class="equation" id="EEq3.3">
1
(
]
(
)
=
ℏ
ℎ
(
)
(
;
)
=
0
,
(
3
。
3
)
这使的一阶近似<年代vg height="13.45" id="M62" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
(<一个href="#B8">8]。高阶近似的解决方案可以通过计算获得<年代vg height="7.1374998" id="M63" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
阶(<年代vg height="11.0625" id="M64" style="vertical-align:-0.30096pt;width:38.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.424999 11.0625" width="38.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
1
)变形微分方程可以计算(<一个href="#EEq3.3">3所示。3)<年代vg height="7.1374998" id="M65" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
次的<年代vg height="9.875" id="M66" style="vertical-align:-2.29482pt;width:16.4px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.4 9.875" width="16.4" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
然后设置<年代vg height="13.55" id="M67" style="vertical-align:-2.29482pt;width:34.487499px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.487499 13.55" width="34.487499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
,最后他们除以<年代vg height="7.1374998" id="M68" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
!(<一个href="#B8">8]。
解决(<一个href="#EEq3.2">3所示。2),我们采用泰勒级数的扩张<年代vg height="13.55" id="M69" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.612499 13.55" width="39.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
)
作为<年代pan class="equation" id="EEq3.4">
(
;
)
=
(
;
0
)
+
∞
=
1
1
!
(
;
)
|
|
|
|
=
0
=
0
(
)
+
∞
=
1
(
)
,
(
3
。
4
)
在哪里<年代vg height="14.6875" id="M71" style="vertical-align:-3.20526pt;width:38.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.137501 14.6875" width="38.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
被称为<年代vg height="7.1374998" id="M72" style="vertical-align:-0.10033pt;width:11.225px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.225 7.1374998" width="11.225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
阶未知函数的导数<年代vg height="13.55" id="M73" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.612499 13.55" width="39.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
)
。
3.2。火腿在梁的振动中的应用
3.2.1之上。得票率最高的梁模型
为了方便起见,以下是使用无量纲变量:<年代pan class="equation" id="EEq3.5">
=
̂
,
=
̂
,
=
4
。
(
3
。
5
)
为了获得非线性固有频率,我们开始应用伽辽金方法,梁的挠度表示为简支边界条件<年代pan class="equation" id="EEq3.6">
(
,
)
=
(
)
年代
我
n
(
)
(
3
。
6
)
作为一个结果(<一个href="#EEq2.11">2.10)可以写成:<年代pan class="equation" id="EEq3.7">
,
+
4
+
2
2
1
1
+
+
−
4
4
,
+
4
2
2
−
2
+
2
+
2
4
4
2
+
2
3
+
4
2
2
,
+
2
,
=
0
,
(
3
。
7
)
在这<年代pan class="equation" id="eq1">
=
,
=
,
=
。
(
3
。
8
)
光束重心受到初始条件如下:<年代pan class="equation" id="EEq3.8">
(
0
)
=
,
,
(
0
)
=
0
,
,
(
0
)
=
0
,
,
(
0
)
=
0
。
(
3
。
9
)
注意,无阻尼系统的自由振动所表达的是一种周期函数满足初始条件。这个函数仅仅是为我们的情况<年代pan class="equation" id="eq2">
c
o
年代
N
l
,
=
1
,
2
,
3
,
…
。
(
3
。
1
0
)
众所周知,得票率最高的简单梁两端有两个固有频率。换句话说,有两个不同频率的正弦模式对应于同一空间模式。这是最重要的得票率最高的模型之间的区别和其他梁模型使用简单的结束条件。这种现象也出现了许多研究人员(<一个href="#B9">9- - - - - -<一个href="#B11">11]。因此,最初的猜测<年代vg height="13.45" id="M80" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
如下:<年代pan class="equation" id="EEq3.9">
0
(
)
=
1
c
o
年代
N
l
1
+
2
c
o
年代
N
l
2
。
(
3
。
1
1
)
为了满足给定的初始条件(<一个href="#EEq3.8">3所示。9),我们应用这些条件为(<一个href="#EEq3.9">3.11),收益率以下表达式<年代vg height="14.4625" id="M82" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.424999 14.4625" width="17.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
和<年代vg height="14.4625" id="M83" style="vertical-align:-3.13504pt;width:17.424999px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.424999 14.4625" width="17.424999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
作为<年代pan class="equation" id="EEq3.10">
1
=
1
−
N
l
1
/
N
l
2
2
,
2
=
1
−
N
l
2
/
N
l
1
2
。
(
3
。
1
2
)
现在我们使用(<一个href="#EEq3.9">3.11)与火腿自然频率和梁的挠度。构造同伦函数,辅助选择线性算子<年代pan class="equation" id="EEq3.11">
(
]
=
(
;
)
4
(
;
)
4
+
2
N
l
1
+
2
N
l
2
2
(
;
)
2
+
N
l
1
N
l
2
2
。
(
3
。
1
3
)
为了方便和简化,从(<一个href="#EEq3.7">3所示。7),非线性算子定义为<年代pan class="equation" id="EEq3.12">
(
]
=
(
;
)
4
(
;
)
4
+
1
2
(
;
)
2
+
2
(
;
)
+
3
(
;
)
3
+
4
(
;
)
2
2
(
;
)
2
+
(
;
)
(
;
)
2
,
(
3
。
1
4
)
在哪里<年代pan class="equation" id="eq3">
1
=
4
+
2
2
1
1
+
+
−
4
4
,
2
=
4
2
2
−
2
+
2
,
3
=
2
4
4
2
+
2
,
4
=
4
2
。
(
3
。
1
5
)
在我们的例子中,得到一阶近似,(<一个href="#EEq3.3">3所示。3)的功能<年代vg height="13.55" id="M88" style="vertical-align:-2.29482pt;width:39.612499px;" version="1.1" viewbox="0 0 39.612499 13.55" width="39.612499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
;
)
可以表示为<年代pan class="equation" id="EEq3.13">
1
|
|
(
)
=
ℏ
ℎ
(
)
(
(
;
)
]
=
0
,
1
(
0
)
=
0
,
1
,
(
0
)
=
0
,
1
,
(
0
)
=
0
,
1
,
(
0
)
=
0
。
(
3
。
1
6
)
假设<年代vg height="13.5625" id="M90" style="vertical-align:-2.21957pt;width:131.58749px;" version="1.1" viewbox="0 0 131.58749 13.5625" width="131.58749" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℏ
=
−
1
一个
n
d
ℎ
(
)
=
1
和替换(<一个href="#EEq3.9">3.11)(<一个href="#EEq3.13">3.16),(<一个href="#EEq3.13">3.16)成为<年代pan class="equation" id="EEq3.14">
1
,
+
2
N
l
1
+
2
N
l
2
1
,
+
N
l
1
N
l
2
2
=
1
c
o
年代
3
N
l
1
+
2
c
o
年代
3
N
l
2
+
3
c
o
年代
N
l
1
−
2
N
l
2
+
4
c
o
年代
N
l
1
+
2
N
l
2
+
5
c
o
年代
2
N
l
1
−
N
l
2
+
6
c
o
年代
2
N
l
1
+
N
l
2
+
7
c
o
年代
N
l
1
+
8
c
o
年代
N
l
2
,
(
3
。
1
7
)
在哪里<年代vg height="10.325" id="M92" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在附录中,给出了方程(<一个href="#EEq1">. 1)。
这些解决方案应该遵守基本函数的一般形式。这意味着世俗项的系数(<年代vg height="14.7125" id="M93" style="vertical-align:-3.23158pt;width:157.175px;" version="1.1" viewbox="0 0 157.175 14.7125" width="157.175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
c
o
年代
(
N
l
1
)
,
c
o
年代
(
N
l
2
)
)必须是零,<年代vg height="14.8625" id="M94" style="vertical-align:-3.25793pt;width:121.4625px;" version="1.1" viewbox="0 0 121.4625 14.8625" width="121.4625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
7
=
0
一个
n
d
8
=
0
。这提供了两个algebric方程产生的非线性频率:<年代pan class="equation" id="EEq3.15">
4
N
l
1
−
1
2
N
l
1
+
2
4
N
l
2
−
4
N
l
1
2
+
3
4
3
2
4
N
l
2
+
2
4
N
l
1
−
1
2
4
2
6
N
l
1
+
4
N
l
1
2
N
l
2
+
2
N
l
1
4
N
l
2
=
0
,
4
N
l
2
−
1
2
N
l
2
+
2
4
N
l
2
−
4
N
l
1
2
+
3
4
3
2
4
N
l
1
+
2
4
N
l
2
−
1
2
4
2
6
N
l
2
+
4
N
l
1
2
N
l
2
+
2
N
l
1
4
N
l
2
=
0
,
(
3
。
1
8
)
和解决(<一个href="#EEq3.14">3.17),<年代vg height="14.6" id="M96" style="vertical-align:-3.13504pt;width:35.837502px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.837502 14.6" width="35.837502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
得到如下:<年代pan class="equation" id="EEq3.16">
1
(
)
=
c
o
年代
N
l
1
+
c
o
年代
N
l
2
+
1
c
o
年代
3
N
l
1
+
2
c
o
年代
3
N
l
2
+
3
c
o
年代
N
l
1
−
2
N
l
2
+
4
c
o
年代
N
l
1
+
2
N
l
2
+
5
c
o
年代
2
N
l
1
−
N
l
2
+
6
c
o
年代
2
N
l
1
+
N
l
2
,
(
3
。
1
9
)
在哪里<年代vg height="10.55" id="M98" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.325" id="M99" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
通过应用初始条件。系数<年代vg height="10.55" id="M100" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.325px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.325 10.55" width="11.325" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,<年代vg height="10.325" id="M101" style="vertical-align:-0.0pt;width:11.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 11.625 10.325" width="11.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.325" id="M102" style="vertical-align:-0.0pt;width:12.7px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.7 10.325" width="12.7" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在附录中,已经提出了方程(<一个href="#EEq2">a .)。
因此,一阶近似的<年代vg height="13.45" id="M103" style="vertical-align:-2.21957pt;width:29.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 29.737499 13.45" width="29.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
就像<年代pan class="equation" id="EEq3.17">
(
)
=
0
(
)
+
1
(
)
。
(
3
。
2
0
)
3.2.2。剪切、瑞利和Bernoulli-Euler的梁模型
运动的二阶微分方程的剪切(S)、瑞利(R),或伯努利-欧拉梁(B)使用伽辽金方法是相同的<年代pan class="equation" id="EEq3.18">
,
+
1
+
3
3
=
0
,
=
年代
,
R
,
B
。
(
3
。
2
1
)
在下列初始条件<年代pan class="equation" id="EEq3.19">
(
0
)
=
,
,
(
0
)
=
0
。
(
3
。
2
2
)
使用相同的方法描述得票率最高的梁模型,得到非线性固有频率和光束的偏转如下。
非线性固有频率:<年代pan class="equation" id="EEq3.20">
N
l
=
1
2
3
3
3
+
4
1
。
(
3
。
2
3
)
梁的挠度,<年代pan class="equation" id="EEq3.21">
(
)
=
3
3
3
2
2
N
l
+
c
o
年代
N
l
−
3
3
3
2
2
N
l
c
o
年代
3
N
l
,
(
3
。
2
4
)
在哪里<年代vg height="16.637501" id="M109" style="vertical-align:-4.77652pt;width:165.52499px;" version="1.1" viewbox="0 0 165.52499 16.637501" width="165.52499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
(
=
年代
,
R
,
B
,
=
1
,
3
)
在附录中给出方程(<一个href="#EEq3">a .)。
4所示。后屈曲载荷挠度关系和临界屈曲载荷
为了获得后屈曲载荷挠度关系(可以设置所有时间导数项之一<一个href="#EEq3.7">3所示。7)和(<一个href="#EEq3.18">3.21)等于零收益率以下。
瑞利和Bernoulli-Euler梁模型,<年代pan class="equation" id="EEq4.1">
=
2
4
2
4
+
2
。
(
4
。
1
)
剪切和得票率最高的梁模型,<年代pan class="equation" id="eq4">
=
2
4
2
2
+
2
4
2
+
2
+
2
2
。
(
4
。
2
)
忽视的贡献<年代vg height="10.575" id="M112" style="vertical-align:-0.20064pt;width:17.9625px;" version="1.1" viewbox="0 0 17.9625 10.575" width="17.9625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在上面的方程中,临界屈曲载荷可以确定如下:
瑞利和Bernoulli-Euler梁模型:<年代pan class="equation" id="EEq4.2">
c
r
=
2
。
(
4
。
3
)
剪切和得票率最高的梁模型:<年代pan class="equation" id="eq5">
c
r
=
2
2
+
2
。
(
4
。
4
)
是看到得票率最高的后屈曲和临界屈曲载荷预测模型从剪切模型是一样的。同样的趋势之间存在瑞利和Bernoulli-Euler梁模型。
5。结果和讨论
在所有计算情况下,剪切系数被认为是<年代vg height="11.1" id="M115" style="vertical-align:-0.17555pt;width:47.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.962502 11.1" width="47.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
5
/
6
和轴向力<年代vg height="15.5" id="M116" style="vertical-align:-0.17555pt;width:42.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.037498 15.5" width="42.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
否则,除非提到。
为了证明的有效性火腿,简单支撑梁的固有频率与其他现有的文献结果比较。无量纲非线性频率计算,列出了,结果不同<年代vg height="9.875" id="M117" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="7.1750002" id="M118" style="vertical-align:-0.1254pt;width:7.9749999px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9749999 7.1750002" width="7.9749999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
表中<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/tab1/" target="_blank">1。
文献[<一个href="#B6">6]
EBBM<年代up>2
遏制<年代up>3
座<年代up>4
TBM<年代up>5
(
N
l
1
)
(
N
l
2
)
0.4
10
8.5458 (4)<年代up>1
10.017
9.5561
8.8200
8.5452
67.412
25
9.7198 (3)
9.9384
9.7906
9.7200
369.04
50
9.9391 (3)
9.9968
9.9585
9.9393
1442.8
One hundred.
9.9968 (3)
10.012
10.002
9.9970
5737.3
0.8
10
9.0018 (6)
10.445
9.9648
9.3037
9.0103
67.438
25
10.1494 (5)
10.364
10.228
10.155
369.05
50
10.3650 (4)
10.424
10.389
10.369
1442.8
One hundred.
10.4217 (4)
10.440
10.431
10.426
5737.3
1.0
10
9.3200 (7)
10.755
10.261
9.6506
9.3436
67.458
25
10.4563 (5)
10.671
10.545
10.469
369.05
50
10.6702 (5)
10.734
10.701
10.680
1442.8
One hundred.
10.7265 (5)
10.750
10.742
10.736
5737.3
2.0
10
11.4868 (16)
13.056
12.456
12.163
11.747
67.623
25
12.6458 (8)
12.954
12.884
12.790
369.08
50
12.8689 (7)
13.031
13.012
12.987
1442.9
One hundred.
12.9279 (7)
13.050
13.045
13.039
5737.3
3所示。0
10
14.1558 (47)
16.180
15.436
15.468
14.876
67.907
25
15.4532 (14)
16.054
16.041
15.922
369.12
50
15.7178 (11)
16.148
16.144
16.113
1442.9
One hundred.
15.7889 (11)
16.172
16.171
16.163
5737.3
1数字在括号中注明所需的迭代次数达到的精度<年代vg height="14.2875" id="M124" style="vertical-align:-0.17555pt" version="1.1" viewbox="0 0 29.3375 14.2875" width="29.3375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
0
−
6
在评估非线性-线性频率比。2EBBM: Bernoulli-Euler梁模型。3疟疾:瑞利梁模型。4座:剪切梁模型。5TBM:得票率最高梁模型。
它可以观察到,获得的结果之间有一个很好的协议从火腿和报道的Rao et al。<一个href="#B6">6]。应该注意的是,只有第一个得票率最高的梁的固有频率是报道(<一个href="#B6">6),并使用有限元方法,而数值的方式。很明显,Bernoulli-Euler梁预测的非线性固有频率高于了其他理论。的得票率最高的梁理论获得的非线性固有频率低于其他理论获得的。
提出了解析解的收敛性和准确性进行了验证与无量纲振幅比的变化对梁的中心<年代vg height="9.125" id="M125" style="vertical-align:-0.11285pt;width:5.0124998px;" version="1.1" viewbox="0 0 5.0124998 9.125" width="5.0124998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
用龙格-库塔方法。图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig2/" target="_blank">2这些结果说明了对比。他们发现在一个很好的协议。
现在,满意后在获得该方法给出的结果,在下一步我们试图调查的不同参数对固有频率的影响四个上述梁模型。
非线性频率与无量纲振幅的变化对所有不同的模型和两种不同长细比(<年代vg height="9.875" id="M127" style="vertical-align:-2.29482pt;width:7.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.9375 9.875" width="7.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
用火腿如图)<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig3/" target="_blank">3。薄的光束和基于三种采用梁模型,即Bernoulli-Euler,瑞利和剪切梁,对不同的无量纲振幅看到几乎没有区别。然而,由于得票率最高的简支梁的本质,都有两个<年代vg height="11.05" id="M128" style="vertical-align:-3.23158pt;width:25.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.975 11.05" width="25.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
变化。在该地区<年代vg height="11.25" id="M129" style="vertical-align:-0.30096pt;width:62.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 62.375 11.25" width="62.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
<
<
5
从图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig3/" target="_blank">3(一个),<年代vg height="11.05" id="M130" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
1
代表一个线性方式而变化<年代vg height="11.05" id="M131" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
2
变异仍然几乎不变。在该地区<年代vg height="11.0625" id="M132" style="vertical-align:-0.30096pt;width:42.987499px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.987499 11.0625" width="42.987499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
2
0
从相同的图,变化<年代vg height="11.05" id="M133" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
1
遵循一个相当恒定的趋势,<年代vg height="11.05" id="M134" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
2
遵循线性变化。中间区域,<年代vg height="11.25" id="M135" style="vertical-align:-0.30096pt;width:70.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.1875 11.25" width="70.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
5
<
<
2
0
频率的<年代vg height="11.05" id="M136" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
1
和<年代vg height="11.05" id="M137" style="vertical-align:-3.23158pt;width:31.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 31.450001 11.05" width="31.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
2
不断改变,而非线性的方式。从图可以看出<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig3/" target="_blank">3(一个),因为厚梁这种间隔发生在小振幅。换句话说,薄和厚梁虽然在每一个振幅非线性频率<年代vg height="14.7125" id="M138" style="vertical-align:-3.23158pt;width:79.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 79.6875 14.7125" width="79.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
N
l
1
,
N
l
2
)
参与梁的响应;然而,其中一个主要是受变化影响的无量纲振幅。
图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig4/" target="_blank">4显示无量纲固有频率(<年代vg height="14.7125" id="M140" style="vertical-align:-3.23158pt;width:47.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.0625 14.7125" width="47.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
N
l
1
)
得票率最高的梁模型)和小振幅无量纲不同长细比和不同梁模型。可以看出,从四个不同的梁模型获得的固有非线性频率收益率相同的值提供梁的长度直径比至少100。这一发现也出现了(<一个href="#B11">11只有进行了线性分析。
非线性频率的变化比率与无量纲的得票率最高光束振幅不同长细比描绘在图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig5/" target="_blank">5。就从这些数据从平面转向nonflat的地步,反之亦然<年代vg height="11.05" id="M142" style="vertical-align:-3.23158pt;width:25.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.975 11.05" width="25.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
通过增加梁长细比增加。
变化的无量纲后屈曲载荷<年代vg height="13.45" id="M148" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.8375 13.45" width="23.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
与无量纲幅图所示<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig6/" target="_blank">6。因为它是所有四个不同模型预测的后屈曲载荷都是相同的,而细长梁<年代vg height="13.7375" id="M149" style="vertical-align:-2.29482pt;width:53.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.362499 13.7375" width="53.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
=
5
0
)
。另一方面厚梁<年代vg height="13.55" id="M150" style="vertical-align:-2.29482pt;width:53.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 53.362499 13.55" width="53.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
=
1
0
)
,得票率最高的区别和/或剪切梁模型与瑞利和/或Bernoulli-Euler梁模型是更为明显。此外,这两种情况下的后屈曲载荷随振幅<年代vg height="13.45" id="M151" style="vertical-align:-2.21957pt;width:18.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.375 13.45" width="18.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
增加。
变化的临界屈曲载荷<年代vg height="14.7125" id="M152" style="vertical-align:-3.22281pt;width:32.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.962502 14.7125" width="32.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
c
r
)
与长细比的问题在调查中显示在图<一个href="//www.newsama.com/journals/jam/2011/842805/fig7/" target="_blank">7。它可以观察到<年代vg height="13.55" id="M153" style="vertical-align:-2.29482pt;width:42.962502px;" version="1.1" viewbox="0 0 42.962502 13.55" width="42.962502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
>
1
2
,薄的光束,所有四个模型给出同样的答案的临界屈曲载荷。
6。结论
固有频率、偏转后屈曲,屈曲临界载荷的四个Bernoulli-Euler的近似模型,瑞利,剪切,得票率最高的光束在非线性行为和简支端条件讨论了在目前的详细调查。一阶近似的火腿主要用于非线性频率的解析表达式,因此相关的中性轴梁的挠度。基于推导的结果,以下总结。<年代pan class="list">(1)广泛的情况下有大的振幅振动,火腿似乎非常有效的处理这些问题。 (2)薄和厚梁与简单的结束条件,有两种非线性固有频率。根据振幅的价值,只有这两个非线性固有频率主要是受变化的振幅的影响。主要有一个间隔的振幅较低频率变化以线性方式,和更高的频率仍然几乎不变。与这一趋势相反,在结束间隔频率变化改变自己的个性;即低频率几乎是常数和更高的频率以线性方式不同。此外,在中间间隔频率增加以非线性的方式。也看到左侧厚梁中间范围变化;即主要区间进一步萎缩。此外,结果表明,从平面转向nonflat的意义的一部分<年代vg height="11.05" id="M155" style="vertical-align:-3.23158pt;width:25.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.975 11.05" width="25.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
N
l
曲线和反之亦然增加通过增加梁长细比。 (3)Bernoulli-Euler梁模型预测的非线性固有频率高于其他理论。然而,得票率最高的梁理论获得的非线性固有频率低于其他理论。 (4)可以看出,从四个不同的梁模型获得的固有非线性频率收益率相同的值至少100的横梁与长细比。 (5)剪切效应占主导地位总是比旋转效应对于一个给定的几何和材料在预测后屈曲,屈曲临界载荷。因此,强烈建议使用的剪切或厚梁得票率最高的模型。尽管如此,后屈曲,屈曲临界载荷分析和在更一般视图剪切梁模型表达不如得票率最高梁模型的复杂性。 (6)后屈曲,屈曲临界载荷预测的所有四个不同的模型都是相同的,而细长梁。另一方面,厚梁之间的差异得票率最高的和/或剪切梁模型与瑞利和/或Euler-Bernoulli梁模型是更为明显。此外,这两种情况下的后屈曲载荷<年代vg height="13.45" id="M156" style="vertical-align:-2.21957pt;width:23.8375px;" version="1.1" viewbox="0 0 23.8375 13.45" width="23.8375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
增加随着振幅的增加。
附录
1
=
−
3
6
N
l
2
3
−
2
4
2
N
l
1
4
2
N
l
2
−
2
N
l
1
3
,
2
=
−
3
6
N
l
1
3
−
2
4
2
N
l
2
4
2
N
l
1
−
2
N
l
2
3
,
3
=
3
4
N
l
1
2
N
l
2
4
2
N
l
1
+
3
4
2
N
l
2
−
2
4
N
l
1
N
l
2
−
3
3
4
2
N
l
2
−
2
N
l
1
3
,
4
=
3
4
N
l
1
2
N
l
2
4
2
N
l
1
+
3
4
2
N
l
2
+
2
4
N
l
1
N
l
2
−
3
3
4
2
N
l
2
−
2
N
l
1
3
,
5
=
−
3
2
N
l
1
4
N
l
2
4
2
N
l
2
+
3
4
2
N
l
1
−
2
4
N
l
1
N
l
2
−
3
3
4
2
N
l
2
−
2
N
l
1
3
,
6
=
−
3
2
N
l
1
4
N
l
2
4
2
N
l
2
+
3
4
2
N
l
1
+
2
4
N
l
1
N
l
2
−
3
3
4
2
N
l
2
−
2
N
l
1
3
,
7
=
4
N
l
2
−
1
2
N
l
2
+
2
4
N
l
2
−
4
N
l
1
2
+
3
4
3
2
4
N
l
1
+
2
4
N
l
2
−
1
2
4
2
6
N
l
2
+
4
N
l
1
2
N
l
2
+
2
N
l
1
4
N
l
2
=
0
,
8
=
4
N
l
1
−
1
2
N
l
1
+
2
4
N
l
2
−
4
N
l
1
2
+
3
4
3
2
4
N
l
2
+
2
4
N
l
1
−
1
2
4
2
6
N
l
1
+
4
N
l
1
2
N
l
2
+
2
N
l
1
4
N
l
2
1
=
0
。
(
一个
。
1
)
=
2
N
l
1
−
2
N
l
2
2
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
2
N
l
2
−
1
3
N
l
1
2
−
2
3
N
l
2
2
−
3
N
l
1
−
2
N
l
2
2
−
4
N
l
1
+
2
N
l
2
2
−
5
2
N
l
1
−
N
l
2
2
−
6
2
N
l
1
+
N
l
2
2
,
1
=
2
N
l
2
−
2
N
l
1
2
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
2
N
l
1
−
1
3
N
l
1
2
−
2
3
N
l
2
2
−
3
N
l
1
−
2
N
l
2
2
−
4
N
l
1
+
2
N
l
2
2
−
5
2
N
l
1
−
N
l
2
2
−
6
2
N
l
1
+
N
l
2
2
,
1
=
1
8
2
N
l
1
9
2
N
l
1
−
2
N
l
2
,
2
=
2
8
2
N
l
2
9
2
N
l
2
−
2
N
l
1
,
3
=
3
N
l
1
−
2
N
l
2
4
−
2
N
l
1
+
2
N
l
2
N
l
1
−
2
N
l
2
2
+
N
l
1
N
l
2
2
,
4
=
4
N
l
1
+
2
N
l
2
4
−
2
N
l
1
+
2
N
l
2
N
l
1
+
2
N
l
2
2
+
N
l
1
N
l
2
2
,
5
=
5
2
N
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。
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承认
作者感谢鼓励和有用的评论家的评论。
引用
l . Azrar r . Benamar和r . g .白色,“非线性动态响应问题的半解析方法,s和碳碳横梁振动振幅第一部分:一般理论和应用程序的单一模式自由与强迫振动分析方法,”<我>杂志的声音和振动,卷224,不。2、183 - 207年,1999页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=A%20semi-analytical%20approach%20to%20the%20non-linear%20dynamic%20response%20problem%20of%20S-S%20and%20C-C%20beams%20at%20large%20vibration%20amplitudes%20part%20I:%20general%20theory%20and%20application%20to%20the%20single%20mode%20approach%20to%20free%20and%20forced%20vibration%20analysis&author=L. Azrar&author=R. Benamar&author=&author=R. G. White&publication_year=1999" target="_blank">谷歌学术搜索
麻省理工学院Qaisi”,应用谐波平衡原理的梁非线性自由振动,”<我>应用声学,40卷,不。2、141 - 151年,1993页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0003-682X(93)90087-M">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
w·c·谢·h·p·李,s . p . Lim“正常的非线性clamped-clamped光束模式,”<我>杂志的声音和振动,卷250,不。2、339 - 349年,2002页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1006/jsvi.2001.3918">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
g·辛格,a·k·沙玛,g . Venkateswara Rao“大幅度自由振动的一个讨论各种配方和假设,”<我>杂志的声音和振动,卷142,不。1,第85 - 77页,1990。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0022-460X(90)90583-L">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
问:郭和h .钟,”梁的非线性振动分析spline-based微分求积方法,”<我>杂志的声音和振动,卷269,不。1 - 2、413 - 420年,2004页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00328-6">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
g . v . Rao i s Raju, k . k . Raju”考虑剪切变形和转动惯量的梁非线性振动,”<我>张仁杂志,14卷,不。5,685 - 687年,1976页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.2514/3.7138">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索<年代pan class="sep">| Zentralblatt数学
g . v . Rao, k . m . Saheb和g·r·Janardhan”基本频率大统一的得票率最高的振幅振动梁焦点集中质量使用耦合位移场方法,”<我>杂志的声音和振动,卷298,不。1 - 2、221 - 232年,2006页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.jsv.2006.05.014">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
廖,<我>除了Perturbation-Introduction同伦分析方法查普曼&大厅/ CRC,纽约,纽约,美国,2004年。<年代pan class="reflinks">
h·阿布拉莫维奇和i Elishakoff Krein测定的方法的应用程序基于简化Bresse-Timoshenko定期支撑梁的固有频率方程,”<我>一个cta Mechanica,卷66,不。1 - 4,39-59,1987页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/BF01184284">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
m·马丁葛巴拉克利希南和j·f·多伊尔,”波传播矩阵方法对光谱分析在多个连接得票率最高横梁、”<我>杂志的声音和振动,卷158,不。1,11-24,1992页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0022-460X(92)90660-P">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索<年代pan class="sep">| Zentralblatt数学
h . Benaroya s·m·汉,t·魏”横向振动梁使用四个工程动力学理论,“<我>杂志的声音和振动,卷225,不。5,935 - 988年,1999页。<年代pan class="reflinks">视图:<一个href="https://doi.org/10.1006/jsvi.1999.2257">出版商的网站<年代pan class="sep">|谷歌学术搜索
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