(2n-1)-point ternary interpolating as well as approximating subdivision schemes. We observe that the odd point ternary interpolating and approximating schemes introduced by Lian (2009), Siddiqi and Rehan (2010, 2009) and Hassan and Dodgson (2003) are special cases of our proposed masks/schemes. Moreover, schemes introduced by Zheng et al. (2009) can easily be generated by our proposed masks. It is also proved from comparison that (2n-1)-point schemes are better than 2n-scheme in the sense of computational cost, support and error bounds."> (2 n - 1)分三元逼近和插值细分计划 - raybet雷竞app,雷竞技官网下载,雷电竞下载苹果
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应用数学学报
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应用数学学报/2011年/文章

研究文章|开放获取

体积 2011年 |文章的ID 832630年 | https://doi.org/10.1155/2011/832630

Muhammad Aslam Ghulam穆斯塔法·阿卜杜勒·加法尔, ” ( 2 n - - - - - - 1 ) 分三元逼近和插值细分计划”,应用数学学报, 卷。2011年, 文章的ID832630年, 13 页面, 2011年。 https://doi.org/10.1155/2011/832630

( 2 n - - - - - - 1 ) 分三元逼近和插值细分计划

Muhammad Aslam,1 Ghulam穆斯塔法,2 和 阿卜杜勒·加法尔2

1大学数学系,锁,锁,PA 17745,美国

2巴哈瓦尔布尔大学Islamia巴哈瓦尔布尔63100年,巴基斯坦

学术编辑器:Hui-Shen沈
收到了 2011年7月25日
接受 2011年9月19日
发表 2011年12月19日

文摘

我们报告一个显式公式结合的面具 ( 2 − 1 ) 分三元插值和逼近细分计划。我们观察到的三元插值和逼近方案引入的丽安(2009),Siddiqi Rehan(2010、2009)和哈桑·道奇森(2003)的特殊情况提出了面具/计划。此外,计划引入的郑et al。(2009)可以很容易地由我们提出的面具。这也是从比较证明了 ( 2 − 1 ) 分计划比 2 方案的计算成本,支持和误差范围。

1。介绍

细分是生成光滑曲线和曲面的一种算法技术的顺序先后精制控制多边形。或多或少的涉及凸组合的方案比6分粗提纯水平插入一个新的指向下一个细化级别是由(1- - - - - -8]。他们介绍了奇怪的甚至分三进制方案。郑et al。9)构造 ( 2 − 1 ) 分三元插值细分方案通过使用常数的变化。他们甚至还介绍了三元对称 2 分细分方案(10]。穆斯塔法和汗11提出了一种新的四点 3 第四纪近似细分计划。丽安(12插入的计划为一个广义三分和5 必要细分曲线设计方案。后来,他进一步的推广工作 2 分和 ( 2 + 1 ) 分插值 必要曲线设计方案(13]。穆斯塔法和区块14推广和统一甚至 必要插值和逼近细分方案 ⩾ 2 。在本文中,我们介绍一个显式公式概括,并结合现有odd-point三元插值和逼近细分计划。结合odd-point和甚至的一般公式 必要插值和逼近方案仍在调查之中。

2。预赛

让 ℤ 是整数的集合 = { , , = − ( − 1 ) , … , ( − 1 ) , ≥ 2 } 常量的集合。的一般形式 ( 2 − 1 ) 分三元细分方案 与一组控制点 = { } ∈ ℤ 精制的控制点 + 1 = { + 1 } ∈ ℤ 被定义为 + 1 3 − 1 = − 1 = − ( − 1 ) + , + 1 3 = − 1 = − ( − 1 ) + , + 1 3 + 1 = − 1 = − ( − 1 ) − + 。 ( 2 。 1 ) 这是正式用吗 + 1 = 。一组 常数叫做面具的计划 。一致收敛的必要条件细分方案(2.1)由3)是 − 1 = − ( − 1 ) = − 1 = − ( − 1 ) = − 1 = − ( − 1 ) − = 1 。 ( 2 。 2 ) 劳伦的多项式 ( ) = ∈ ℤ , ∈ , ( 2 。 3 ) 对应的面具收敛细分方案(2.1)满足 2 / 3 = 4 / 3 = 0 , ( 1 ) = 3 。 ( 2 。 4 ) 对于给定的 ,我们定义拉格朗日多项式基本的学位 2 − 2 在点 − ( − 1 ) , − ( − 2 ) , … , ( − 1 ) ,通过 2 − 2 ( ) = − 1 = − ( − 1 ) , ≠ − − , = − ( − 1 ) , − ( − 2 ) , … , ( − 1 ) , ( 2 。 5 ) 和拉格朗日多项式基本的学位 2 − 3 在点 − ( − 2 ) , − ( − 3 ) , … , ( − 1 ) ,通过 2 − 3 ( ) = − 1 = − ( − 2 ) , ≠ − − , = − ( − 2 ) , − ( − 3 ) , … , ( − 1 ) 。 ( 2 。 6 )

3所示。 ( 2 − 1 ) 分三元逼近和插值方案

在这里,首先我们提出一些初步的身份然后我们将提供的面具 ( 2 − 1 ) 分三元逼近和插值方案。

引理3.1。如果 2 − 2 ( − 1 / 3 ) 是拉格朗日基本多项式的学位 2 − 2 对应节点 { } − 1 − ( − 1 ) 定义为(2.5),然后 2 − 2 − 1 3 = ( − 1 ) + − 1 ∏ = − + 2 ( 3 − 2 ) 3 2 − 2 , ( 1 + 3 ) ( + − 1 ) ! ( − − 1 ) ! ( 3 。 1 ) 在哪里 = − ( − 1 ) , … , ( − 1 ) 。

证明。考虑 − 1 = − ( − 1 ) − 1 3 = − 1 − 3 − 1 + − 1 3 − 1 + − 2 3 ⋯ − 1 + − 3 3 − 1 + 1 3 − 1 3 ⋯ − 1 − 1 3 − 1 − + 3 3 − 1 − + 2 3 。 − + 1 ( 3 。 2 ) 这意味着 − 1 = − ( − 1 ) − 1 3 = − 3 − 4 3 3 − 7 3 3 − 1 0 3 ⋯ 2 3 − 1 3 − 4 3 ⋯ − 3 + 8 3 − 3 + 5 3 − 3 + 2 3 。 ( 3 。 3 ) 这进一步说明 − 1 = − ( − 1 ) − 1 3 = − 1 − 3 2 − 1 { ( − 3 + 4 ) ( − 3 + 7 ) ( − 3 + 1 0 ) ⋯ ( − 2 ) ( 1 ) ( 4 ) ⋯ ( 3 − 8 ) ( 3 − 5 ) ( 3 − 2 ) } 。 ( 3 。 4 ) 这可以写成 − 1 = − ( − 1 ) , ≠ − 1 3 = − ( − 1 ) 2 − 2 3 2 − 2 1 1 + 3 = − + 2 ( 3 − 2 ) , ( 3 。 5 ) 在哪里 = − ( − 1 ) ⋯ ( − 1 ) 。很容易验证 − 1 = − ( − 1 ) , ≠ ( − ) = ( − 1 ) − − 1 ( + − 1 ) ! ( − − 1 ) ! 。 ( 3 。 6 ) 现在用(3.5),(3.6), = − 1 / 3 在(2.5),我们得到了(3.1)。
这就完成了证明。

同样,我们可以证明下面的引理。

引理3.2。如果 2 − 3 ( − 1 / 3 ) 是拉格朗日基本多项式的学位 2 − 3 对应节点 { } − 1 − ( − 2 ) 定义为(2.6),那么 = 2 − 3 − 1 3 = ( − 1 ) + − 2 ∏ = − + 3 ( 3 − 2 ) 3 2 − 3 , ( 1 + 3 ) ( + − 2 ) ! ( − − 1 ) ! ( 3 。 7 ) 在哪里 = − ( − 2 ) , … , ( − 1 ) 。

引理3.3。如果 2 − 2 ( − 1 / 3 ) 和 2 − 3 ( − 1 / 3 ) 拉格朗日多项式定义为(2.5)和(3.1),然后 = 2 − 2 ( − 1 / 3 ) − 2 − 3 ( − 1 / 3 ) 2 − 2 − ( − 1 ) = ( ( − 1 / 3 ) − 1 ) + − 1 ( 2 − 2 ) ! , ( + − 1 ) ! ( − − 1 ) ! ( 3 。 8 ) 在哪里 = − ( − 2 ) , … , ( − 1 ) 。

证明。由(3.1), = − ( − 1 ) ,我们得到 = 2 − 2 − ( − 1 ) − 1 3 = ∏ = − + 2 ( 3 − 2 ) 3 2 − 2 。 ( 4 − 3 ) ( 2 − 2 ) ! ( 3 。 9 ) 使用(3.1),(3.7)和(3.9),我们得到了(3.8)。这就完成了证明。

3.4的话。在原始的参数化的设置中,每个三元细化粗多边形的计划(2.1)替换旧数据 通过新的数据 + 1 3 − 1 和 + 1 3 ,一个向左,向右,在邻居之间的距离的三分之一 − 1 和 + 1 。换句话说,三元细化(2.1),定义了一个方案 + 1 3 替换的值 在网格点 + 1 3 = 和 + 1 3 + 1 和 + 1 3 + 2 插入新网格点吗 + 1 3 + 1 = ( 1 / 3 ) ( 2 + + 1 ) 和 + 1 3 + 2 = ( 1 / 3 ) ( + 2 + 1 ) ,分别。
因此,我们可以选择的价值 要么 1 / 3 或 2 / 3 为了证明这前题3.1- - - - - -3.3。在这篇文章中, = 1 / 3 已经被选择。一个可以选择 = 2 / 3 证明上面的前题。上面的前题的结果 = ± 1 / 3 相同,但最后的面具在相反的顺序获得的方案。负给一个适当的顺序的面具,为什么负选择的证明上面的前题。

现在我们的面具 ( 2 − 1 ) 分三元逼近和插值方案。

定理3.5。一个显式公式的面具 ( 2 − 1 ) 分三元计划(2.1)被定义为 − ( − 1 ) = , = ( ) + , = − ( − 2 ) , − ( − 3 ) , … , ( − 1 ) , = − = { − } , = 1 , 2 , … , ( − 1 ) , 0 = 1 − 2 − 1 = 1 , ( 3 。 1 0 ) 在哪里 是免费的参数时 , , 是由(3.7),(3.8)和(3.9分别)。

3.1。3 - 5、7 - point三元近似方案

在这里,我们提出三种特殊情况的近似方案生成的(3.10)与自由参数。(我)如果 = 2 然后由(2.1)和(3.10),我们得到以下三分三元近似方案: + 1 3 − 1 = − 1 + 4 3 − 2 + 1 − 3 + 1 , + 1 3 = 2 − 9 − 1 + 1 3 9 − 2 + 2 − 9 + 1 , + 1 3 + 1 = 1 − 3 − 1 + 4 3 − 2 + + 1 。 ( 3 。 1 1 ) (2)如果 = 3 然后由(2.1)和(3.10),我们得到以下5点三元近似方案: + 1 3 − 1 = − 2 + 1 4 8 1 − 4 − 1 + 2 8 2 7 + 6 + − 7 2 7 − 4 + 1 + 4 8 1 + + 2 , + 1 3 = 7 2 4 3 + − 2 + − 2 8 2 4 3 − 4 − 1 + 9 5 8 1 + 6 + − 2 8 2 4 3 − 4 + 1 + 7 2 4 3 + + 2 , + 1 3 + 1 = 4 8 1 + − 2 + − 7 2 7 − 4 − 1 + 2 8 2 7 + 6 + 1 4 8 1 − 4 + 1 + + 2 。 ( 3 。 1 2 ) (3)如果 = 4 然后由(3.10),我们得到以下的面具级三元近似方案: = 3 , 3 , − 3 , 2 , 2 , − 2 , 1 , 1 , − 1 , 0 , 0 , 0 , − 1 , 1 , 1 , − 2 , 2 , 2 , − 3 , 3 , 3 , ( 3 。 1 3 ) 在哪里 3 7 = − 3 6 , 2 = − 6 + 5 0 3 6 , 1 = 1 5 − 1 7 5 3 6 , 0 = − 2 0 + 7 0 0 3 6 , − 1 = 1 5 + 1 7 5 3 6 , − 2 = − 6 − 1 4 3 6 , − 3 = , 3 = − 3 = − 3 5 3 8 , 2 = − 2 = − 6 + 2 1 0 3 8 , 1 = − 1 = 1 5 − 5 2 5 3 8 , 0 = − 2 0 + 7 2 6 1 3 8 。 ( 3 。 1 4 )

3.2。3 - 5三元插值方案

在这里,我们提出了两种特殊情况产生的近似方案(3.10与自由参数)。(我)通过设置 = 2 和 = ,我们得到以下三分三元插值方案: + 1 3 − 1 = − 1 + 4 3 − 2 + − 1 3 + + 1 , + 1 3 = , + 1 3 + 1 = − 1 3 + − 1 + 4 3 − 2 + + 1 。 ( 3 。 1 5 ) (2)如果 = 3 和 = ,然后由(2.1)和(3.10),我们得到以下5点三元插值方案: + 1 3 − 1 = − 2 + 1 4 8 1 − 4 − 1 + 2 8 2 7 + 6 + − 7 2 7 − 4 + 1 + 4 8 1 + + 2 , + 1 3 = , + 1 3 + 1 = 4 8 1 + − 2 + − 7 2 7 − 4 − 1 + 2 8 2 7 + 6 + 1 4 8 1 − 4 + 1 + + 2 。 ( 3 。 1 6 )

3.3。与现有的三元计划比较

在本节中,我们将介绍流行的现有odd-point三元计划是我们的特殊情况提出方案的家庭。在这里我们也将比较限制曲线和控制多边形之间的误差范围 odd-point倍细分,甚至计划。

3.3.1。特殊情况

这里我们看到的大多数现有odd-point三元细分方案或特殊情况可以免费获得通过设置参数在计划的面具。(我)通过让 = 在(3.10),郑et al。 ( 2 − 1 ) 分插值方案(9我们的计划]成为特例。(2)用 = 2 / 9 , = − 7 / 2 4 3 在(3.15)和(3.16三元插值方案),我们得到了三分和5连的12分别)。(3)用 = 3 5 / 6 5 6 1 在(3.13),我们得到级连的三元插值方案(13]。同样,从(3.10),我们可以生成 ( 2 + 1 ) 分三元插值的方案13]。(iv)为 = 2 和参数 = + 2 5 / 7 2 在我们提出的面具(3.13),三分三元近似方案中给出(7我们的计划]成为特例。(v)为 = 2 , = 1 0 / 2 7 在(3.11),我们得到了三分近似方案,哈桑和道奇森(4]。(vi)为 = 2 , = = 2 / 9 和 = − 1 / 3 在(3.11),我们得到了三分插值方案,哈桑和道奇森(4]。

3.3.2。误差范围

在表中1和2通过使用(15),与 = 0 。 1 ,我们计算错误后限制曲线和控制多边形之间的界限 odd-point倍细分,甚至三元逼近和插值方案。很明显从表1和2错误的三分三元计划(3.11)和(3.15在每个细分级别) 不到4点三元计划的误差范围(3,10在每个级别)。同样错误的潜油电泵方案(3.12)和(3.16)小于6个方案的误差范围(10,16]。可以获得相似的结果通过比较其他odd-point和甚至计划。图形表示的误差界限图所示1。
1 2 3 4 5 6
三分 0.033333 0.011111 0.003704 0.001235 0.000412 0.000137
4 (10] 0.082821 0.034969 0.104765 0.006234 0.002632 0.001111
5点 0.136205 0.058854 0.025431 0.010989 0.004748 0.002052
6个(10] 0.199159 0.094908 0.045228 0.021553 0.010271 0.004895
表1
误差范围odd-point和甚至三元插值方案。
1 2 3 4 5 6
三分 0.133333 0.088889 0.059259 0.039506 0.26337 0.017558
4 (3] 0.203672 0.129495 0.082333 0.052348 0.33283 0.021161
5点 0.289236 0.174970 0.105846 0.064030 0.38734 0.023432
6个(16] 0.429283 0.285291 0.189598 0.126002 0.83738 0.055650
表2
odd-point误差界限,甚至三元近似方案。
(一)”name=
(一)
(b)”name=
(b)
图1
比较:错误之间的界限th液位控制多边形和极限曲线不同的细分计划。

此外,支持和计算成本 ( 2 − 1 ) 分计划不到 2 分计划。因此,我们得出这样的结论: ( 2 − 1 ) 分计划比 2 分计划的支持下,计算成本和误差范围。

3.4。在提出方案的影响参数

我们将讨论三个主要参数的效应/后果计划(3.11)- (3.16)。参数的影响在其他方案可以类似地进行讨论。

3.4.1。连续性

参数的效应/后果 在计划(3.11)- (3.16连续性)顺序如表所示3和4。你都可以很容易的找到订单的连续性参数间隔使用的方法(4]。
计划 参数 连续性
三分
5点
级。
表3
订单的连续性提出了3 - 5 -,支持率三元近似方案特定范围的参数。
计划 参数 连续性
三分
5点
表4
的顺序的连续性提出了3 - 5元插值方案对于特定范围的参数。
3.4.2。极限曲线的形状

在图2参数的影响(3.11)- (3.16)图和连续性的极限曲线。这些数据暴露给自由参数的作用近似和插值方案(当3 - 53.11)- (3.16)应用于离散数据点。从这些数据中,我们看到的行为限制曲线作为紧张/松动时自由参数的值不同。

(一)”name=
(一)
(b)”name=
(b)
(c)”name=
(c)
(d)”name=
(d)
(e)”name=
(e)
(f)”name=
(f)
(g)”name=
(g)
(h)”name=
(h)
(我)”name=
(我)
图2
3.11 3.16 比较:初始多边形和不同曲线生成的计划()- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -()所示。参数的显著后果也宣传。
3.4.3。误差范围

的影响参数之间的误差范围在每个细分级别 th液位控制多边形,限制曲线如图3、表5和6。从这些表和数据,我们得出结论,三分近似方案的连续性是最大的 1 / 3 < < 4 / 9 和错误绑定是最低 1 / 3 ≤ ≤ 1 / 2 。两边的间隔 1 / 3 < < 4 / 9 连续性降低而误差范围增加两边的间隔 1 / 3 ≤ ≤ 1 / 2 。5 -,级近似方案连续性是最大的 − 1 / 1 8 < < − 3 8 / 7 2 9 和 5 3 / 8 7 4 8 < < 1 8 7 / 1 7 4 9 6 ,而错误一定是最低的 = − 1 3 / 2 4 3 和 = 9 5 / 8 7 4 8 ,分别。
计划 参数
0.033333 0.011111 0.003703 0.001234 0.000411 0.000137
三分 0.083333 0.046296 0.025720 0.014289 0.007938 0.004410
0.133333 0.088889 0.059259 0.039506 0.026337 0.017558
0.134953 0.058313 0.025197 0.010888 0.004704 0.002033
5点 0.238775 0.133636 0.074792 0.041859 0.023427 0.013112
0.289236 0.174970 0.105846 0.064030 0.038734 0.023432
0.270022 0.132233 0.064756 0.031712 0.015530 0.007605
级。 0.357567 0.197809 0.109430 0.060538 0.033490 0.018527
0.457353 0.279180 0.170418 0.104028 0.063501 0.038763
表5
误差范围为3 - 5——7 - point三元近似细分计划。
计划 参数
0.033333 0.011111 0.003703 0.001234 0.000411 0.000137
三分 0.053333 0.023704 0.010535 0.004682 0.002081 0.000925
0.097222 0.054012 0.030007 0.016670 0.009261 0.005145
0.136205 0.058854 0.025431 0.010989 0.004748 0.002052
5点 0.169665 0.081691 0.039332 0.018938 0.009118 0.004390
0.257698 0.149528 0.086763 0.050344 0.029212 0.016950
表6
误差范围为3 - 5三元插值细分计划。
(一)”name=
(一)
(b)”name=
(b)
(c)”name=
(c)
(d)”name=
(d)
(e)”name=
(e)
图3
3.11 3.16 比较:错误之间的界限th液位控制多边形和极限曲线生成的近似和插值方案()- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -(),分别。

而在3 -和连续性是最大潜油电泵插值方案 2 / 9 < < 1 / 3 和 − 5 / 1 0 8 < < − 7 / 1 6 2 ,而错误一定是最低的 = 1 / 3 和 = − 2 / 4 1 ,分别。

3.5。结论

在这篇文章中,我们提供了一个显式的一般公式代的面具 ( 2 − 1 ) 分三元插值近似方案。我们从数据和表,得出结论 ( 2 − 1 ) 分计划比 2 分计划 ≥ 2 在计算成本,支持和误差范围。此外,odd-point三元计划哈桑和道奇森(4),连12,13),郑et al。9],和Siddiqi Rehan [7,8)特殊情况我们提出的面具。

承认

这项工作是支持的本土博士奖学金计划的高等教育委员会(HEC),巴基斯坦。

引用

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