涡街道上一个球体

文摘

我们考虑球面流,使用转换运输一些著名的周期性二维涡街头球面到达一些新的表达式涡街道上一个球体。

1。介绍

流体在一个二维平面上的涡度在一个点旋转角的两倍。点涡模型的流涡度是零除了在涡度的点本身是无限的,这有一个非零循环的点。在飞机上点漩涡的研究,和其他二维流形如圆柱体、球体,和环面,有着悠久的历史,可以追溯到19世纪与亥姆霍兹(1)起爆点涡模型和基尔霍夫(2和林3)制定哈密顿动力系统。在本文中,我们主要关注涡街道,由一个或多个周期行漩涡,最简单的就是一个无限行相同的漩涡(4]。这些重要的工程和应用地球物理,一行被用于模型拟定的大规模漩涡产生剪切层的集会后,和双行,或·冯·卡门涡街5),被用来模拟涡流脱落的虚张声势的身体后面。二维涡街的概述中可以找到标准文本等流体动力学(6,7]。

在本文中,我们感兴趣的是运输这些著名的涡街道从飞机上弯曲的二维流形,一个球体的表面。球面上很重要,因为应用程序的流向行星大气层。在他的经典专著、羊肉(6)简要概述的方法确定弯管汇上的涡旋运动的一些功能,探讨19世纪电传导,如charge-on-a-sphere问题,由玻尔兹曼、基尔霍夫Topler等可以应用的问题点漩涡球面上虽然Gromeka [8)似乎是第一个专门研究漩涡一个球体。最近,制定涡运动的街道上弯曲导管被哈雷(详细检查9),与几个后来的研究(10- - - - - -12]研究更深入涡动的制定一个球体。回顾一些工作上点漩涡漩涡球面上可以找到在13]。一个有趣的线程的研究(14- - - - - -16)涉及使用数值方法,如轮廓手术,研究涡块的运动在一个球体,尽管这些结果数值,而不是封闭表达式寻求在当前的工作中,他们所服务的丰富涡旋运动在一个球体。

剩下的论文的大纲如下。节2,我们提出我们的分析,简要概述二维涡街头部分2。1然后运送这些街道的球体部分2。2,我们看两个涡详细街道,一行共转的漩涡,一行反向旋转的漩涡。最后,在节3,我们做一些闭幕词。

2。分析

2.1。二维涡街

在平面二维水动力学,管理非粘性不可压缩液体的运动方程可以写成streamfunction作为 在哪里雅可比矩阵和二维拉普拉斯算子。streamfunction (2。1)承认稳态解的形式 对于任何函数和一些解决方案以二维流体动力学。如果我们将,(2。2)成为二维拉普拉斯方程的基本解的形式 在哪里到定点的距离吗,代表一个点力量的漩涡在,除了在自身循环的漩涡。因为除了在点涡本身,可以构建稳态解决方案(2。2)组成的多个涡尽管对于这样一个组合的漩涡是一个稳态解,每个涡多是位于一个速度引起的另一个漩涡总和为零。许多著名的稳态涡街表给出的解决方案1涡,概述街道可以在标准文本等流体动力学(6,7]。表中的第一个解决方案,这可以追溯到(4),是一个无限行相同的漩涡,每一个的力量,位于在点画在图是哪一个1(一)。如果我们把一行漩涡的优势在一行的漩涡的力量在,我们有一个排的漩涡交变信号,勾勒出图1 (b)。还有两个组合由于卡门5]在恒定的速度传播的负面的方向:对称双排交错双排,这两个由两排的漩涡,一个和其他的传播速度,对称的行和交错行速度。它是容易验证单表中的行1是静止的,双行以恒定的速度传播。计算速度涡的涡街,我们必须减去的贡献一个孤立的涡涡街的streamfunction然后评估结果表达式在涡的位置,因此,例如,对于漩涡共转一行, 使用这种方法,它可以表明,共转和反向旋转的行是静止的,而对称和交错双行中传播方向和速度和,分别。

平面的情况下,共转单行是广义平稳的有限振幅漩涡满足刘维方程(17)和有限振幅的相对旋转行漩涡满足sinh-Poisson方程(18]。

2.2。涡街道上一个球体

如果我们有一个二维涡街周期至少在一个方向,如表1,可以运输街一个球体的表面,而我们所知还没有完成之前。在下面,我们将在球形高偏振星工作与速度有关。如果我们只考虑表面运动的半径范围,我们将和径向速度为零,。如果我们引入一个streamfunction通过和,非粘性不可压缩运动方程 与径向压力梯度。在上面的,球面上的拉普拉斯算子,称为Laplace-Beltrami算子。streamfunction (2。5)承认稳态解的形式 这个配方是当然不是新的和已经被许多作者研究领域在过去的漩涡。然而,在这一点上,我们将离开先前的研究,使变量的变化,这样的时间间隔映射到。这种变化的变量,。因为我们可以把球面,或等价因此,如果是在飞机上点涡的解决方案定期在,然后转换将产生一个球面上的点涡解决方案,。如果我们把这个变换应用到二维涡街道在表1,得到相应的涡街道球体在桌子上2。我们将研究这些涡详细街道。

它是容易验证单表中的行2是静止的,双行以恒定的速度传播。计算速度涡的涡街,我们必须减去涡本身的贡献从streamfunctions表2然后评估结果表达式在涡的位置。自和的速度,因此它遵循二维涡街头部分2。1共转,反向旋转的行是静止的,而对称和交错双行中传播方向和速度和分别,因为因此对轴旋转稳定。

2.2.1。单共转一行

streamfunction和速度分量为一行给出相同的漩涡 为。这streamfunction绘制在图2为。当streamfunction (2。7)减少,这是一个大家庭的一部分的解决方案,而当,我们有。

的点和球的波兰人,对应和在飞机上,作为和。我们可以看到从图2 (b)两极的流在每一个看起来像一个漩涡,和(2。7)证实,在两极点漩涡,作为和作为。我们接近两极作为和作为,所以在波兰是单数,而作为和作为,所以作为为和作为为。

2.2.2。单一的反向旋转的行

一行的streamfunction和速度分量交替的漩涡 为。这streamfunction绘制在图3为。当streamfunction (2。8)减少,这是点涡限制中给出的解决方法(19),而当,我们有。

球的弧线流线,因为在这些行。的点和球的波兰人,对应和在飞机上,作为和。我们可以看到从图3 (b)两极的流在每一个看起来像流在一个角落里的角,流线像刚性墙,(2。8)确认作为和作为。我们接近两极作为和作为,而作为和作为,所以,作为和作为和作为或,对于,两个和 作为或。

2.2.3。对称和交错双行

在两极附近的streamfunction对称的双排,作为和作为,作为和作为,而作为和作为,所以,作为或和作为和作为,对于,两个和 作为或。

在两极附近的streamfunction交错双排,作为和作为,作为和(作为,而作为和作为,所以,作为和作为和作为或,对于,两个和 作为或。

2.2.4。高斯在涡度约束

自一个球体是一个封闭的紧凑的表面,它遵循从高斯定理的积分标量涡度场球面必须为零。这是一个全球性的约束涡量分布。为了满足这个约束,同时有一个无旋流,每个点涡必须抵消由另一个漩涡球面上的点。通过检验,单相对旋转和对称交错行双行满足这个约束,因为这些涡街道总涡度球面上的和发行量的漩涡,对于每个点涡,有一个点涡相反的力量,所以,发行量总和为零。单一共转行(2。7),情况更复杂。有沿着赤道点漩涡,靠近涡和streamfunction像,类似的行为在其他沿着赤道漩涡。还有两个点漩涡在两极:靠近涡streamfunction像,而靠近涡streamfunction像,发行量总和为零和约束满足单一共转一行,这样看来,这两个极地漩涡生成满足这个约束。

3所示。讨论

在前一节中,我们看到,如果我们有一个涡街在飞机上的定期在,然后转换,会产生球面上的涡街,。我们会提到20.),我们使用一个简单得多的转换运输漩涡从飞机上缸。也许令人惊讶的是,这个非常简单的方法运输涡街道从平面到球体似乎没有以前,大多数以前的研究而不是用极射赤面投影,羔羊的方法(6]提到用基尔霍夫早在1875年研究电传导球表。作为一个例子,我们这个变换应用于二维涡街道在表1获得相应的涡街道球体在桌子上2,相对应的涡街道排共转和反向旋转的漩涡在数据绘制2和3。连续共转,两个极地漩涡产生,大概是为了满足高斯涡度约束。

作为对未来可能的研究方向,我们提到的部分1平面的情况下,一些漩涡街道广义平稳的有限振幅漩涡,导致斯图亚特漩涡(17和Mallier-Maslowe漩涡18]。节中我们看到2。2,当streamfunction (2。8)连续相对旋转减少点涡中给出解决方案的限制(19),我们提出了一些有限振幅漩涡解决方案领域,相反它遵循的反向旋转的情况下可以推广到光滑的有限振幅漩涡。这将是有趣的,看看剩下的漩涡下面街道也可能广义虽然我们注意,这是有点困难的领域,因为非线性方程的解决方案在球面上,,有一个因素在右边中不存在相应的方程在飞机上,。也许因为这些额外的因素,很少有精确平稳的解决方案以球面上的流,除了[19),唯一的精确分布涡平衡(而不是点漩涡)球面上似乎确切的解决方案在一个旋转球在21,22)和两个研究麦片粥,一个涉及泛化斯图尔特漩涡的范围(23),另一个涉及的组合涡补丁和点漩涡(24]。

我们不会声称,目前的研究是详尽的,和另一个可能为未来的研究方向是由一个匿名裁判,他想知道是否涡街的解决方案可能会发现组成的双行有不同的优势。

引用

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