文摘

1,3 -丙二醇形成规模化的甘油biodissimilation批文化()国内外1,3 -丙二醇,添加甘油的目的是尽可能多地获得1,3-PD越好。国内外1,3 -丙二醇的屈服强度性能指标和生物量的初始浓度,甘油,和终端时间控制向量,我们提出一个最优控制模型受到多级非线性动力系统和约束的连续状态。计算方法是构造寻求上述模型的解决方案。首先,我们将最优控制问题转换为一个固定的终端。其次,我们抄写最优控制模型转化为一个无约束的基于惩罚函数和状态空间的延伸。最后,通过简单的控制功能近似函数,我们将无约束最优控制问题转换为一个序列的非线性规划问题,可以解决基于使用梯度优化技术。算法的收敛性分析和最优性函数也进行调查。数值结果表明,采用最优控制,1的浓度,在终端时间3-PD可以增加,相比以前的结果。

1。介绍

1,3 -丙二醇形成规模化的生物转化甘油()国内外1,3 -丙二醇最近收到越来越多的关注在世界各地由于其环境安全,区域特异性高、廉价原料,和理论摩尔收率相对较高1]。许多研究已经进行了包括细胞生长动力学的定量描述多个禁忌,底物消耗和产品形成的代谢溢出动力学(2- - - - - -4),开环衬底输入和pH值逻辑控制(5),enzyme-catalytic还原途径和运输的甘油和1,探索跨细胞膜(6),生化系统的参数识别7和反馈控制和脉冲喂养8)模型的连续文化,喂养策略甘油(9),和最优控制10和最优性条件11在馈料式文化。

与连续和feed-batch文化相比,甘油发酵批文化中可以获得最高的生产浓度和摩尔收益率1,3-PD甘油(12]。所以非线性动力系统在这个文化近年来被广泛认为是(13- - - - - -15]。1,3 -丙二醇形成规模化的甘油biodissimilation批文化()国内外1,3 -丙二醇,添加甘油的目的是尽可能多地获得1,3-PD越好。本文基于前面的模型在16国内外1,3 -丙二醇),屈服强度性能指标和生物量的初始浓度,甘油和终端时间控制向量,我们提出一个最优控制模型受到多级非线性动力系统和约束的连续状态。计算方法是构造寻求解决上述模型两个方面。一方面将最优控制问题转换为一个固定的终端时间和转录成一个无约束的基于惩罚函数和状态空间的延伸;另一方面,通过简单的控制功能近似函数,我们将无约束最优控制问题转换为一个序列的非线性规划问题,可以解决基于使用梯度优化技术。算法的收敛性分析和最优性函数也进行调查。数值结果表明,采用最优控制,1的浓度,在终端时间3-PD可以增加,相比以前的结果。

本文组织如下。节2非线性动力系统的批处理提出了文化。节3,我们提出一个最优控制模型,开发一种计算的方法来解决最优控制模型,并证明算法的收敛性。部分4说明了数值结果。最后,结论部分提供了5。

2。非线性动力系统

我们之前的文献的基础上(见[16]),质量平衡的生物量、衬底、和产品批文化可以制定以下非线性动力系统: 在哪里,,,,,国内外生物质、甘油、1,3 -丙二醇酯,在时间和乙醇浓度吗分别在核反应堆。表示初始状态发酵过程的终端时间。状态向量。细胞的比生长速率,具体消费衬底,和特定的形成率的产品,,由下列方程表示的基础上(13,16]:

在批处理文化中,初始浓度的生物量、甘油和终端时间可选为控制变量。让是控制向量。系统的解决方案(2.1)对控制向量定义为。

基于事实的发酵,存在临界浓度,外细胞停止生长,生物量,甘油,1,3-PD、乙酸和乙醇。因此,它是生物学上有意义的限制生物量的浓度,甘油,产品,文化在一组液体的体积和控制向量容许控制集合定义分别如下:

让表示连续有界函数的空间与价值观,配备了sup-norm拓扑,,,,在那里是欧几里得范数。

3所示。最优控制问题

使用屈服强度的最优控制问题,在终端时间3-PD成本函数,基于多级非线性动力系统控制(2.1),可以制定如下:

从解决方案参数的连续依赖性理论和我们之前的文献(见[16]),我们知道是连续相对于,所以上是连续的。此外,是一个封闭的有界凸子集的。因此我们知道最优控制必须存在,也就是说,这样,尽管。

3.1。可微性的控制向量

在本节,我们的目标是展示解决方案的可微性和梯度信息系统(2.1)对控制向量。首先,我们将讨论函数的一些性质。

命题3.1。系统(2.1),和是连续的在一个开放的组在。

证明。它遵循了功能检查通过定义和(2.3)。

使用定理I-1-4和II-1-2 [17),我们可以证明这个系统(2.1)有一个独特的解决方案和解决方案满足的积分方程 和系统的初始值(2.1),由于可微性对初始向量, 在哪里的向量与0除了1项th条目,是矩阵的th列,。从这个猜测,我们得到以下的结果。

命题3.2。偏导数和存在,是连续的。此外,初值问题的唯一解吗

由于命题的结果3所示。2,我们可以获得的价值和。下列命题公式计算的值。

命题3.3。偏导数存在,是连续的。此外,

证明。的存在性和连续性可以直接获得的功能和隐函数定理。接下来,我们推导出公式(3所示。4),,我们有: 然后,通过积分中值定理,存在一个常数,这样 让,然后 我们获得期望的结果。

3.2。模型转换

最优控制问题(3所示。5因为终端)不是一个标准的情况是免费的。使用方法(6.8.1节18),(3所示。5)可以被转换成一个固定的终端。治疗作为未知参数,利用变换(3所示。5)转化为(3所示。8)如下:

3.3。半无限与不等式约束优化

最优控制问题,很难处理不等式约束的连续状态,也就是说,这是一种半无限优化问题。克服困难,让 的条件,,尽管等同于转录成 在哪里。

然而,在非光滑。通过标准的优化程序(19,20.),下面的平滑技术取代与,在那里 请注意, 是一个光滑函数。让 很明显,为每一个。

我们现在定义一个近似问题用(3.13),平滑状态约束作为罚函数:

通过类似的参数中给出的(21),(3.13与()是一致的3所示。5),。在此基础上,(3所示。5)可以通过解决一系列探索近似(3.13)。每一个(3.13)被视为一个光滑的非线性数学规划问题。

3.4。优化算法

在本节内,类似于[中基于梯度的方法22,23),我们提出了一种基于梯度的算法解决(3.13)。可以通过求解常微分方程(3所示。3)和计算(3所示。4)。容许控制集合可以被称为“盒子”,因为其矩形形状,我们使用经典的梯度投影方法来应对“盒子”。

任意u上的投影可行集定义如下。的组件是由

因此,控制变量预测得到的最速下降方向在可行的设置是由 在哪里是可选的步长。

根据上面的分析,我们可以得到一个最优控制(3.13),如以下所示的算法。

算法3.4。步骤1。设定常量,是正的常数。集,计算由方程(3所示。3)和(3所示。4),如果,停止。别的,然后去一步2。步骤2。计算步长与Armijo线搜索规则,是整数,这样吗 去一步3。步骤3。如果,停止。否则,计算使用定义的方程(3.14),取代通过,去一步1。
注意,由于函数的有界性,很容易找到令人满意的(3.15)和(3.16),使用下面的子过程,它使用最后一个步长随着计算的下一个起点。

子过程的算法3所示。4
步骤1。如果,设置。其他的,。步骤2。如果满足(3.15)和(3.16)。其他的,,停止。步骤3。如果满足(3.15)和(3.16),取代通过,去一步2。如果满足(3.16)和(3.15),取代通过,去一步2。

的算法3所示。4,我们看到,是连续的,对所有,这当且仅当,也就是说,是一个最优性函数的问题(3.13)。所以,我们有如下定理保证算法的收敛性。

定理3.5。如果是这样的,,然后计算算法3所示。4使用有限数量的函数评估和任何聚点这个序列的满足。

证明。我们应用定理在[24)与立即,然后可以获得期望的结果。

3.6的话。虽然我们正在使用的方法来处理约束的连续状态类似于[中提到的一个19),还有三个主要区别。首先,我们的方法是申请批文化,而在(19)用于馈料式文化。其次,控制变量的两种方法是不同的。变量控制初始和终端分,变量控制开关时间。最后,基于我们使用梯度数值算法来解决这个问题。他们的算法是一种改进的粒子群优化(PSO)算法,基于梯度。

4所示。数值结果

根据上述模型和算法,编程软件,它适用于微生物发酵的最优控制问题批文化。列出了系统参数表1(见[9,16])。

分别列出了基本的数据,如下所示。

边界值的控制向量
更易与L,更易与L,更易与L,更易与L, ,h。

边界值的状态向量
更易与L,更易与L,更易与L,更易与L,更易与L,更易与L。更易与L,更易与L,,更易与L。

我们采用,的过程。然后,通过算法3所示。4,最优控制向量和目标函数是和54.5911,分别。数值结果表明,采用最优控制,1的浓度,在终端时间3-PD可以增加,相比以前的结果。

5。结论

本文基于前面的模型在16国内外1,3 -丙二醇),屈服强度性能指标和生物量的初始浓度,甘油,和终端时间控制向量,我们提出一个最优控制模型受到多级非线性动力系统和约束的连续状态。计算方法是构造寻求解决上述模型两个方面。算法的收敛性分析和最优性函数也进行调查。数值结果表明,采用最优控制,屈服强度,在终端时间3-PD可以增加,相比以前的结果。

我们当前的任务适应发酵过程的建模与仿真。此外,改进后的模型的稳定性和可达性需要讨论。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。10871033),中国的青年自然科学基金(没有。11001153)中国山东省自然科学基金(没有。ZR2010AQ016)和中央大学基础研究基金。