文摘
本文考虑一类半线性近似能控性的延迟控制系统所描述的边界控制的半群配方。建立了充分条件近似能控性提供了近似相应的线性系统的可控性。
1。介绍
在本文中,我们考虑的边界控制系统由下列延迟微分方程描述: 在系统状态以巴拿赫空间值;控制功能在另一个巴拿赫空间需要值和为;是一个封闭,人口定义线性算子;是一个线性算子的巴拿赫空间;是一个线性有界算子;是一个非线性扰动函数,在哪里所有连续函数的巴拿赫空间来自哪里来具有最小上界的常态。对于任何和,被定义为为。
在大多数应用程序中,状态空间是一个空间的功能在某些领域欧几里得空间的,是一个偏微分算子,是一个偏微分算子作用于边界的。
几个抽象设置开发与边界描述控制系统控制;看到不停(1],Fattorini [2],Lasiecka [3沃什伯恩],[4]。在本文中,我们使用设置了(2),讨论系统的近似能控性(1。1)。
规范的空间和是用和,分别。在其他空间,我们使用标准符号等分指数空间名称,,。
让被定义的线性算子 我们对以下假设在整个论文。(H1) 的限制来是连续相对于图形规范。(H2)操作员是一个解析半群的无穷小发电机吗为在。(H3)存在一个线性连续算子和积极的常数这样 (H4)为每一个和,一个。同时,存在一个积极的功能与这样 (H5)存在一个正数这样 对所有和。
下面的系统称为相应的线性系统(1。6)
近似为半线性控制系统的能控性与分布式控制已经广泛研究在不同条件下的文献;看到法布尔et al。5],费尔南德斯和Zuazua [6),李和勇7],Mahmudov [8],Naito [9),塞德曼(10王],[11,12),和许多其他论文。然而,只有少数论文处理近似边界为半线性控制系统的能控性,特别是半线性延迟控制系统;中遇到的主要困难是合适的积分方程的建设申请定点定理的不同版本。Balachandran和Anandhi13)考虑边界控制积分微分的系统的可控性,汉族和公园14]研究了边界非线性系统的能控性与非局部初始条件。MacCamy et al。15讨论了热方程的近似能控性。本文的目的是研究一类半线性时滞系统的近似能控性和边界控制。
2。温和的解决方案
解决方案的系统(1。6),我们的意思是温和的解决方案,解决方案的空间。在下面,我们提供的存在性和唯一性定理(1。6)。
定理2.1。如果(H1)——(H5)得到满足,然后系统(1。6为每个控制)有一个独特的解决方案。
证明。定义
和定义。很容易知道满足
让。然后,是巴拿赫空间上确界常态。对于任何,定义一个操作符如下:
我们需要证明是定义良好的。首先,我们证明对于任何和。事实上,我们已经从(H5),在那里。对于任何和,我们有
和,在那里。
请注意,
这
结合(2。5)和(2。6),我们证明对于任何和。
接下来,我们证明地图成换句话说,对于任何。采取,与,然后
自是一个解析半群(2。6)意味着
而且,从(2。5),我们有
请注意,和作为根据估计
我们有作为,因此,。
现在,我们证明是一个收缩映射足够大吗。事实上,对于任何,
因此,
同样的,
通过数学归纳法,我们
因此,
和是一个收缩映射足够大吗。意味着收缩映射原则有一个独特的定点独特的解决方案(1。6)。定理的证明是完整的。
3所示。近似能控性
解决方案(1。6)是用强调的初始时间,初始状态和控制功能。被称为系统状态在时间吗对应于初始条和控制功能。一组 被称为可及的系统(集1。6)时间对应于初始条。是关闭的在。
定义3.1。系统(1。6)大约是可控的如果 对于任何。
定义3.2。系统(1。6)据说大约零可控如果对任何和,有一个控制功能这样。
类似于非线性系统(1。6),我们定义可及的系统(集1。7)时间对应于最初的一对作为。近似能控性和近似零能控性系统(1。7)也可以定义类似。
考虑系统的近似能控性(1。6),我们需要两个新操作符。对于任何与,,被定义为: 在哪里的解决方案(1。6与最初的一对和控制功能的定义。
以下结果提供了充分条件的近似能控性系统(1。6)。
定理3.3。假设系统(1。7在间隔)大约是可控的对于任何。如果存在一个函数这样 然后系统(1。6)大约是可控的。
证明。我们需要表明,可及的系统(集1。6)时间巴拿赫空间密度换句话说, 对于任何。为此,给出任何和。自(1。7)大约是可控的,存在一个控制功能这样 请注意,,我们可以选择一个序列这样和 让。的近似能控性(1。7)意味着一个控制存在这样 定义 然后。重复这个过程,我们有三个序列,,这样,, 解决方案(1。6)控制功能是 因此, 对于足够大这样。因此,(3.4),和完成的证据。
下一个定理是近似零能控性的系统(1。6)。
定理3.4。假设系统(1。7)大约是零间隔可控对于任何,(3.3)是满意的。然后系统(1。6)大约是零可控。
证明。对于任何和,我们需要证明存在一个控制功能这样。因为系统(1。7)大约是零可控,有一个控制功能这样。选择一个序列在定理的证明3.3。让。存在一个控制功能这样
由于假设(1。7)大约是零可控。
类似于定理的证明3.3,我们获得三个序列,,这样,,
请注意,
我们有
定理的证明是完整的。
4所示。例子
在本节中,我们提供了一个例子来说明结果的应用于部分3。
例4.1。考虑下面的热控制系统:
在哪里是一个有界和开放的欧几里得空间的子集足够光滑的边界。
制定该系统作为边界控制系统(1。1),我们让,,,,,。操作员是由,。然后生成一个解析半群在。操作员是跟踪运营商这是定义良好和属于为每一个。显然,假设(H1)和(H2)感到满意。定义了线性算子通过,在那里是唯一解狄利克雷边值问题
它证明了在1),每,(4所示。2)有一个独特的解决方案令人满意的。这表明(H3)满意。它证明了在4),存在一个正的常数独立的和这样
对所有和。换句话说,(H4)持有。因此,系统(4所示。1)可以制定形式(1。6)。因为相应的线性系统(4所示。1)
大约是在任何时间间隔可控与;参见[15]。它遵循从定理3.3系统(4所示。1)大约是可控的如果非线性摄动函数满足(H5)。