文摘
本文是一个扩展的最近结果m .萨巴蒂极限环的存在性和唯一性的某个类的平面微分系统,以包括其他新类。一个具体的例子展示结果的适用性。
1。介绍
我们研究平面微分系统中定义真正的飞机, 在那里,。这些微分系统的数学模型,在许多领域的应用程序(如生物学、物理学、工程学等等(1]。动力学的研究(1。1)强烈依赖于存在稳定属性,特殊解决方案的数量和位置等奇异点和非常数的孤立的周期解。特别是,如果一个吸引非常数的孤立的周期解存在,那么它占主导地位的动态系统(1。1飞机的)在一个开放的连接子集,该地区的吸引力,这样的周期解极限环。研究极限环的数量和位置,绝不,希尔伯特16问题的问题,看到2]。在某些情况下,这样一个地区的吸引力可以扩展到覆盖整个飞机,除了一个奇异点。在这种情况下的极限环是独一无二的,在系统的动态。极限环的唯一性在许多书籍和文章都已经被广泛地研究过了,看到的,例如,(3- - - - - -7)和引用。的大部分结果动力系统在平面上所关心的系统相当于古典Lienard方程 及其泛化等系统和生态系统相当于瑞利方程作为特殊情况,参见[1]。这个系统的某种程度上概括包括范德堡尔系统和其他系统可以作为一个特例。最近的结果更一般的类的系统, 相当于方程 和特殊情况和研究,例如,(3,8]。
本文使用的主要工具是最近的结果由萨巴蒂(4,5]。我们利用一对一的转换,以将系统(1。1)系统相当于(1。3)这意味着原始和转换系统的相图是等价的。为此,我们对一些条件,在系统(1。1),就相当于系统(1。3)。然后,因此,我们研究的独特性和存在极限环吸引每一个非常数的解决方案在两种情况下,当被假定为线性,当它被假定为非线性。我们应用的唯一性结果(5]的极限环(1。3)找出唯一性条件然后得到合适的附加假设条件下的极限环的存在唯一性及其吸引每一个非常数的系统解决方案(1。1)。
为方便读者,我们提到萨巴蒂的定理的陈述适用于我们的结果和一些使用定义。
让是星形的。我们说一个函数是明星的如果不会改变的迹象。我们说是严格星形状的如果,除了在原点。以下是m .萨巴蒂的定理的语句5我们应用)。
定理1.1(见[5])。让是一个严格的星形函数。然后(1。3)有一个极限环。
让我们表示的磁盘并通过它的边界。
定理1.2(见[5])。让是一个严格的星形函数 一些有界集,不恒等于任何为,那么系统(1。3)有一个极限环,它吸引着每一个非常数的解决方案。
定理1.3(见[5])。假设,和为。让,,一些有界集包含,不恒等围包括吗并满足。然后系统(1。3)有一个极限环,它吸引着每一个非常数的解决方案。
本文组织如下。节2与他们的证明,给出了主要结果。本文的主要工具应用于萨巴蒂在[所呈现的定理5上面提到的完整性)。节3我们提出一个具体的例子,说明结果的适用性。据我们所知的方法被用于研究系统的极限环的例子是新的,而不是之前。
2。主要的结果
我们研究系统(1。1)假设下的功能和满足假设H1:对于任何给定的x, z = P (x, y) 1 - 1 y和z之间的对应关系;H2:存在一个函数ϕ(x, y)这样 ,,: 。
假设意味着是可逆的对于每一个,有一个函数的逆,这样,每一个,和。
定理2.1。假设在系统(1。1)满足的假设,如果存在一个严格的星形函数这样的假设是满意,那么系统(1。1)有一个极限环。
证明。考虑到转换。这个转换,从假设之间的一一对应和,对于任何给定的。
系统(1。1)将转换到系统
但
然后系统(2。1)将在表单中
不失一般性,可能执行时间尺度改变,我们可能会限制的系统(2。3),,
因为转换的可逆性,系统的相图(1。1)相当于系统的相图(2。4),因此他们有相同数量的极限环。
应用定理1 (5),我们得出这样的结论:系统(2。4),因此系统(1。1),最多有一个极限环。
现在我们专注于系统极限环的存在(1。1)。让是一个有界集,。
定理2.2。假设在系统(1。1)满足的假设。如果存在一个严格的星形函数满足的假设与 一些有界集包含,不恒等于任何为,那么系统(1。1)有一个极限环,它吸引着每一个非常数的解决方案。
证明。利用相同的转换应用于定理的证明2。1和应用定理2的5),我们得出这样的结论:系统(2。4),因此,系统(1。1),正好有一个极限环,这吸引了每一个非常数的解决方案。
另一方面,存在类的一般类型的微分系统模型不受以前的结果,一个相当于(1。4)假设> 0。我们调查极限环的唯一性,在合适的额外的假设,它的存在吸引了每一个非常数的解决方案。这个函数在(1。4)现在被认为是非线性的、更普遍的类型,因此上面给出的是以下结果的一个特例。
让我们集合
定理2.3。假设在系统(1。1)满足的假设,如果有一个函数与
为,一个函数满足下列条件:
(1)
,(2)
一些有界集,包含,不恒等于,在那里,,(3)
,然后系统(1。1)有一个极限环,它吸引着每一个非常数的解决方案。
证明。证明完成通过应用定理3 (5]。
假设意味着函数可能形式 在那里,,所有必须积极吗。
3所示。例子
下面是一个具体的例子说明定理的适用性2。2。
3.1。例子
考虑到系统 这个函数满足的假设。系统的第二个方程可以改写形式 选择这样等于的乘数在右边,
为了找到所需的函数的表达式,我们可以假设二次多项式的一种形式未定义系数然后强加在上面的方程中,我们确定的系数。因此,函数的表达式可能是以下形式: 显然,假设满意()。此外, 这意味着是,严格的星形函数(0,0)< 0,一些有界集包含,不恒等于任何周长,因此系统具有独特的极限环。
承认
作者致以感谢大学的沙迦的支持。