文摘
李dilogarithm积分()及其相关功能和被定义为局部可积函数在实线。一些隆起和neutrix犹如这些函数和其他函数。
1。介绍
dilogarithm积分被定义为 (见[1])。更普遍的是,我们有 为。
相关的功能和是由 在哪里表示亥维赛的功能。
接下来,我们定义的分布通过 及其相关的分布和是由
卷积的经典定义两个函数的乘积和如下。
定义1.1。让 和 是功能。然后卷积 被定义为 对所有点积分的存在。
它是容易的,如果定义然后存在存在, 如果和 存在,那么 定义1。1可以扩展到定义卷积两个分布的和在用下面的定义;看到凝胶'fand希洛夫[2]。
定义1.2。让 和 分布在 。然后卷积 由方程定义 对于任意的在,只要和满足下面的条件:(一)要么或有界的支持,(b)的支持和有界在同一边。
由此可见,如果卷积按照这个定义,然后(存在1。7)和(1。8)感到满意。
为了扩展定义1。2分布不满足条件(a)或(b),让是一个函数,3,满足的条件:
(我),
(2),
(3),
(iv)。
这个函数然后定义为 为。
以下定义的非交换neutrix卷积是在4]。
定义1.3。让
和
分布在
,让
为
。非交换neutrix卷积
被定义为序列的neutrix限制吗
,提供了限制
在这个意义上存在
对所有在,在那里neutrix,看到van der Corput [5),域积极的实数和范围实数,忽略函数有限线性的函数
和所有功能正常意义上的收敛于零趋向于无穷。
特别是,如果
存在,我们说non-commutative卷积的存在。
很容易看出任何结果证明与原卷积的定义与neutrix卷积的新定义。还请注意,由于缺乏对称性的定义一般来说non-commutative neutrix卷积。
以下结果证明(4),首先表明neutrix卷积是一种泛化的卷积。
定理1.4。让和分布在条件,满足条件(a)或(b)的凝胶'fand希洛夫的定义。然后neutrix卷积存在,
定理1.5。让和分布在并假设neutrix卷积的存在。然后neutrix卷积存在,
但是要注意,并不一定等于什么但是我们有以下定理。
定理1.6。让和分布在并假设neutrix卷积的存在。如果存在,等于对所有在,然后存在,
2。主要结果
我们定义的函数通过 为和。特别是,我们定义的函数通过 为。
下面的定理被证明在6]。
定理2.1。曲线玲珑 为和 为。
我们现在证明以下定理的推广2。1。
定理2.2。曲线玲珑和存在, 为,和 为。
证明。很明显,如果。
当,我们有
证明(2。5)。
接下来,使用(1。8)和(2。5),我们有
和(2。6)。
推论2.3。曲线玲珑和存在, 为,和 为。
证明。方程(2。9)和(2.10)获得应用一个类似的过程用于获取(2。5)和(2。6)。
接下来的两个定理,证明了在6),为了证明这一点,我们的组可以忽略函数扩展到包括有限的线性和功能为和。
定理2.4。卷积存在, 为。
定理2.5。卷积存在, 为。
证明一些进一步的结果之前,我们需要下面的引理。
引理2.6。如果为,然后
证明。因为 当,我们有 和(2.13)。
定理2.7。neutrix卷积存在的时候和 为。
证明。我们把。然后卷积存在的定义1。1和
在哪里
因此,使用引理2。6,我们有
此外,它很容易看到
和(2.16从()之前2.17),(2.19)和(2.20),证明定理。
定理2.8。neutrix卷积存在的时候和 为。
证明。使用定理1。5和1。6,我们有
在那里,在分部积分,我们有什么
很明显,
它现在遵循从(2.23)和(2.24),
方程(2.21直接从()现在是2.16)和(2.22),证明定理。
推论2.9。neutrix卷曲的和存在的时候和 为
证明。方程(2.26)获得应用一个类似的过程用于获取(2.16)和(2.21)。
推论2.10。neutrix卷曲的和存在的时候和 为。
证明。自从neutrix卷积产品分配之外,我们有 和(2.27从()之前2.16)和(2。5)。方程(27)应用类似的过程获得的情况(2.27)。
推论2.11。neutrix卷曲的和存在的时候和 为
证明。方程(2.29从()之前2.21)和(2。6)。方程(29)应用类似的过程获得的情况(2.29)。
承认
大学这项研究受到了费特党卫军。西里尔和Methodius在斯科普里,马其顿共和国,项目没有。08-3619/8。