文摘

我们将研究振荡的高阶非线性中立型时滞微分方程有界解下列类型: , , ,在那里 , , , , , , , , , 。我们获得足够的条件方程所有解的振荡。

1。介绍

在本文中,我们所关心的振荡解一定更一般的高阶非线性中立型泛函微分方程振动系数的形式 在哪里 振荡, , , , , , , , , 。习惯,一个解决方案 据说是振荡如果 不是最终积极与否最终消极。否则,称为非解决方案。一个微分方程称为振荡振荡,如果所有的解决方案。否则,它是建立。在本文中,我们限制我们的注意力实值的解决方案 。

在[1,2),有几个作者调查了线性时滞微分方程 在哪里 和 。一个经典的结果是,每个解决方案(1。2)如果振荡

在[3),玉米蛋白和Abu-Kaff调查了高阶非线性时滞微分方程 在哪里 , , , , , , , , 是连续的, 为 ,存在一个振荡函数 ,这样 , 。

在[4),Bolat和类似调查了高阶非线性微分方程 在哪里 , , , 为 , 和 是振荡函数, 为 , , , , 为 , , 是不减少的函数, 为 , 。如果 是奇数, , , 为 的,那么每一个有界解(1。5)是振荡或趋向于零 。如果 是偶数, , 存在一个连续可微的函数 然后每一个有界解(1。5)是振荡或趋向于零 。

最近,许多研究了振荡和高阶中立型泛函微分方程解的渐近行为。大多数的已知结果情况进行了研究 ,在那里 是恒等函数;见,例如,(1- - - - - -15),在引用的引用。

本文的目的是研究振荡行为的解决方案(1。1)。微分方程的一般理论,一个人可以指(5,6,12- - - - - -14]。许多引用一些应用的微分方程中可以找到2]。

摘要函数 被定义为

2。一些辅助的前题

引理2.1(见[5])。让 是一个积极的和 次可微函数在 。如果 持续的迹象,而不是在任何时间间隔等于零吗 ,那么存在一个 和一个整数 , 这样 甚至,如果 是负的,或 奇怪的,如果 是负的,, ,如果 , 为 ,如果 , 为 。

引理2.2(见[5])。让 那么在引理2。1。除了 和 对于每一个 ;然后对每一个 , ,如下:

3所示。主要结果

定理3.1。假设 是偶数,(C1)存在一个函数 这样 是连续的和不减少的和满足不平等吗 在哪里 是一个积极的常数,然后呢 (C2) ,(C3)
每一阶时滞微分方程的解 振荡。然后每一个有界解(1。1)是震荡或趋向于零 。

证明。假设(1。1)有一个有界非振动解 。不失一般性,假设 最终是积极的(证明是类似的什么时候 最终负)。也就是说, , , 为 。进一步,假设 不倾向于零 。由(1。1)和(1。7),我们有 由此可见, 严格单调,最终持续的迹象。自 是有界的,并不倾向于零 由于(C2), 。然后我们可以找到一个 这样 最终, 也有界足够大吗 。因为 甚至和 奇怪的 和 是有界的,由引理2。1,因为 (否则, 不是有界),存在一个 这样,对于 特别是,自 为 , 正在增加。自 是有界的, 由(C2)。然后,存在一个 由(1。7), 为 。我们可能发现一个 这样,对于 ,我们有 从(3所示。4)和(3所示。7),我们可以获得的结果 为 。自 被定义为 , 与 为 不等于零,应用直接引理2。2(第二部分,因为 是积极和增加),它遵循从引理2。2那 使用(C1)和(3所示。7),我们发现 , 它遵循从(3所示。4),上面的不平等 是一个最终正解的 一家有名的结果(见[14定理3.1]),微分方程 有一个最终正解。这与事实(1。1)是振荡,完成证明。

因此,从定理3所示。1和[11定理2.3)(参见[11示例3.1]),我们可以得到下面的推论。

推论3.2。如果 然后每一个有界解(1。1)是振荡或趋向于零 。

定理3.3。假设 是奇数(C2),(C3)举行。然后,每一个有界解(1。1)振荡或趋向于零 。

证明。假设(1。1)有一个有界非振动解 。不失一般性,假设 最终是积极的(证明是类似的什么时候 最终负)。也就是说, , , 为 。此外,我们假设 不倾向于零 。由(1。1)和(1。7),我们有 也就是说, 。由此可见, 严格单调,最终持续的迹象。自 ,存在一个 ,这样的 ,我们有 。自 是有界的,由于(C2)和(1。7),有一个 这样 也是有限的,对吗 。因为 奇怪的是, 是有界的,由引理2。1,因为 (否则, 不是有界),存在 ,这样的 ,我们有 。特别是,自 为 , 是减少的。自 是有界的,我们可以写什么 , 。假设 。让 。然后,存在一个常数 和一个 与 ,这样 为 。自 是有界的, 由(C1)。因此,存在一个常数 和一个 与 ,这样 为 。所以,我们可能会发现 与 ,这样 为 。从(3.14),我们有 如果我们用(3.15) 和集成 来 ,然后我们获得 在哪里 自 ,因为 和 ,我们有 为 。从(3.16),我们有 由(C3),我们得到 作为 。这是一个矛盾。所以, 是不可能的。因此, 是唯一可能的情况。也就是说, 。自 是有界的,由于(C2)和(1。7),我们得到 现在,让我们考虑的情况下 为 。由(1。1)和(1。7), 也就是说, 。它遵循 严格单调,最终持续的迹象。自 ,存在一个 ,这样的 ,我们有 。自 是有界的,由于(C2)和(1。7),有一个 这样 也是有限的,对吗 。假设 。然后, 。因此, 和 为 。从这,我们观察到 是有界的。因为 奇怪的是, 是有界的,由引理2。1,因为 (否则, 不是有界),存在一个 ,这样 为 和 。也就是说, 为 和 。特别是,对 ,我们有 。因此, 正在增加。因此,我们可以假设 。的证明 ,我们可以证明 。至于其余的,它类似于这种情况 。也就是说, 。这与我们的假设。因此,完成证明。

例3.4。我们认为差分方程的形式 在哪里 , , , , , , 。通过 , 我们检查所有定理的条件3所示。1是满意,每一个有界解(3.22)或振荡趋于0无穷。

例3.5。我们认为差分方程的形式 在哪里 , , , , , , 。因此,我们有 因为条件(C2)和(C3)的定理3所示。3感到满意,每一个有界解(3.24)或振荡趋于0无穷。