文摘

张量场可视化的挑战是提供简单且易于理解的表示数据不同定向和空间。我们探索使用张量的微分算子来提取特征字段。这些特性可以用来生成的框架表示的数据准确地描述全球场结构。以前,向量场运营商如梯度、散度和旋度曾被用于流场的可视化。在本文中,我们使用归纳这些运营商定位和张量场退化点进行分类和分区字段到地区同类的行为。我们描述的实现特征提取和展示我们的新技术在合成数据集的2、3和4。

1。介绍

许多向量和张量场的可视化方法涉及密度减少输入数据稀疏的特性,更容易显示和理解。拓扑向量场可视化方法还试图减少输入数据的结构的简单表示字段的临界点(如疫源地的源和汇,或漩涡的中心,例子)和一些分离流线(分界线)。这些点和曲线组成的骨架描述流场(1]。这种流骨架是简洁和直观表示的向量场。相比之下,直接可视化的向量场的符号或流线往往导致分散视觉上的混乱。提高拓扑特征提取的鲁棒性,一些向量场可视化方法应用特征提取分解原始字段。一个特定的分解,亥姆霍兹分解,允许将流场分为divergence-free(螺线管型的)和curl-free(无旋)部分。这些部分可以单独进行分析强劲识别不同类型的临界点。

一些拓扑张量场可视化的发展进行了概括的概念向量场拓扑。简并点(在二维张量领域)和退化线(三维张量领域)通常被定义的张量的特征向量。hyperstreamlines分界线在张量的情况下,或积分曲线的特征向量场。也可能是由一个简化的张量场表示计算标量场的张量不变量,并通过提取山脊线的标量。

在本文中,我们提出一个新颖的方法来张量场可视化构建在我们之前开发的张量分解方法(2]。我们不依赖于特征值和特征向量的计算和很多其他方法一样。我们也不确定性或概率hyperstreamlines痕迹。相反,我们基于微分算子生成于标量场的广义向量场从现有的运营商。与这些标量字段,我们能够定位和分类功能的字段和字段分割成区域均匀的行为。在这种方法中,特征点是isocontours局部极值和分段曲线。这种方法的好处是非常普遍的对张量。与我们先前文献[2),这项工作描述这段数据可视化方法和显式地提取特征点。我们现在也能够识别附加功能(螺旋和马鞍),而早期的研究只关注该领域的源和汇。

本文的其余部分组织如下。节2,我们回顾以前的工作矢量和张量场的可视化,特别关注利用亥姆霍兹向量场方法分解。节3,我们描述高阶张量的微分算子及其泛化。节4,我们目前的详细配方广义亥姆霍兹张量分解的字段。节5,我们描述我们的实验在合成张量可视化领域,讨论算法的性能。最后,节6,我们目前的结论和讨论未来的工作领域。

2。以前的工作

亥姆霍兹分解已在许多问题的解决方案使用流体力学和电磁学和最近也被证明是有用的向量场拓扑分析。Polthier和就3,4)使用一个离散的亥姆霍兹分解在向量场强劲定位奇异点。因为他们处理不规则网格上定义的向量场,他们需要仔细定义散度和旋度运营商。在我们的方法中,因为我们只考虑数据定期笛卡尔网格,我们使用标准的有限差分近似微分算子。通等。5)描述向量场在多尺度框架通过定义一个向量场规模空间的不同的尺度空间的螺线和无旋场。然后他们分别平滑的矢量场平滑这些组成字段。他们能够证明这种方法保留了奇点比平滑直接输入字段。他们也增强功能领域的单独放大组件的分解。李等人。6)用亥姆霍兹分解段二维离散向量场。他们用格林函数方法计算分解,然后对于每一个关键时刻,他们发现影响使用图的地区。在他们的工作,临界点的定义标量流和潜在的功能。

描述了几种拓扑张量场可视化方法在之前的文献。许多人认为主要的拓扑特征向量场(7,8]所以退化点定义为位置两个或两个以上的特征值是相等的。郑et al。9,10类别的特征点描述和数值稳定的方法来提取它们。点被加入,形成特征线。通过使用判别分析,他们能够找到关键的位置特性和subvoxel准确性。

特定于扩散张量磁共振成像方法传统上认为是标量场的拓扑结构张量不变量所定义的折痕线。Tricoche et al。11)使用这个框架应用于张量模式(这是相关特征值的偏态),和首日et al。12,13)使用分数各向异性(相关特征值的方差)(14]。另一种方法基于退化行来源于概率tractography描述了舒尔茨et al。15),以及健壮的方法,从三维数据中提取折痕的表面。从某种意义上说,我们的做法是相反的这些早期的几个方法。而不是提取标量场和分析与微分算子的临界点,我们运用张量场本身的微分算子,然后计算标量值的结果。

3所示。背景

在以下部分中,我们将定义散度、旋度,笛卡儿张量的梯度由海因伯克尔(16]。我们还将展示这些微分算子提取的有用性临界点和张量场的特征进行分类。我们考虑如图的特性1与我们使用的功能分类。这些特性显示为一个单一的三维二阶张量字段描述一个螺旋,鞍点,来源,漩涡,漩涡。

3.1。张量符号

的订单张(称为排名在一些文学)的数量指标需要指定每个元素。order0由标量的张量,订单1的张量是由向量表示。订单2张量可以表示成一个矩阵。高阶张量可以表示成多路数组。张量的维空间,每个索引可以之一不同的值。在三维空间中,一个订单张量就组件。一般来说,一个张量也可能有两个不同类型的指标,协变和逆变,通常表示使用下标和标。笛卡儿张量,这些是等价的,所以他们将只使用下标表示指数。

在编写一个表达式包含张量,我们将使用爱因斯坦求和约定。这意味着重复指标要乘以成对和求和所有可能的值,

将用的偏导数的象征,

这个符号允许张量方程表达在一个非常紧凑的方式。例如,熟悉的3 d向量场散度算子 这是作为在向量微积分符号,将给出在索引符号。

3.2。张量场散度

一般来说,订单的散度张量场是一个秩序张量场。为在爱因斯坦的符号,散度 这个符号表示所有可能的值的指数的张量分量是分化对指数和求和。注意,当该领域由完全对称张量,散度张量也完全对称的。

散度算子频繁出现在守恒定律。我们可以理解的意义张量场散度的质量守恒定律。考虑到体积元如图3和速度场。质量流量进入左脸和通量的右脸,在那里是材料密度。如果质量是守恒的,它是必需的,或。对于更一般的流与非零和组件,如果我们以极限为体积,盒子趋于0时,保护财产可以写成的积分 散度的定义是什么。

现在考虑流场的情况下造成一个二阶张量场的作用在。通量的左侧将给定的体积,右边是由通量。质量守恒定律的一维情况下导致的条件。通过差异化的产品规则,我们得到这依赖的变化率和条款,取决于的变化率。条款,取决于的变化率,特点是分歧的。

在索引符号,运用差异化的产品规则, 右边第一项,,取决于的散度,第二个任期取决于的梯度。这也可以重写为矢量计算的条款。

在扩散的背景下,散度出现在菲克第二定律 这是一个声明扩散过程由质量守恒的浓度梯度和扩散张量场。扩大(3.7)使用乘积法则(3.6),很容易看到,如果浓度梯度非零常数,然后质量只能是守恒的如果张量场的散度为零。

我们认为极值(本地最小值和最大值)张量场的散度的大小是一个类型的临界点,描述的结构张量场。

3.3。张量场的旋度

订单的旋度在三维张量场是订单张量场。订单4例中,它被定义为 在哪里是排列张量 排列张量通常是用来定义向量叉乘。这导致了向量微积分符号。张卷发可以分析的散度是在(3.6)。在这种情况下,结果是特征的部分由于空间不同的张量场是哪一个,

极值的张量场的旋度的大小是我们考虑第二种类型的临界点。

3.4。张量场梯度

订单的梯度张量场是一个秩序张量场。为,的梯度 对于order-0张量,向量微积分符号,1阶张量梯度相当于雅可比矩阵。我们不直接分析张量场的梯度,但使用它在广义亥姆霍兹分解。虽然梯度可能包含有用的信息,结果张量场是一个秩序高于该领域正在研究使它昂贵的计算和存储。

3.5。羔羊张量

羔羊向量通常用于分析湍流流动(17]。它是由在哪里是速度。圆柱绕流的羔羊矢量图所示4。

羔羊向量可以被考虑广义上的张量场向量场的作用,扩大羔羊向量的定义使用乘积法则。扩张的一部分将给出张量场的变化 样本羔羊张量情节是图的第一行所示2。它可以看到从(3.12),一般订单的羔羊张量张量场的秩序。为了降低存储要求减少,我们执行顺序获得一个低阶张量场近似。分析完成的分歧,这导致减少存储需求。我们发现,减少o(1)的(向量)近似是用于识别在张量领域的鞍点。

顺序还原过程的上下文中被Ozarslan等人并且扩散张量,但同样的想法。由张量表示的齐次多项式可以分解成球面谐波的基础上。的球面谐波系数张量可以写成一个张量分量的线性组合,导致一个线性系统可以通过最小二乘法解决。减少一个对称第三、第五和seventh-order张量一个向量是由(3.13),(3.14)和(3.15),分别 我们利用这些关系来减少订单羔羊张量的订单2,3和4个字段,分别。

因为羔羊向量不能保证是对称的,我们应用降阶对称张量的一部分。给出了对称张量的一部分 在哪里表示排列的指标。

在附录中,我们提出一个分析演示羔羊张量的能力区分马鞍从其他张量场的特征。

3.6。张量场螺旋性

沿着螺旋,螺旋性是运动或螺旋路径。螺旋性的方程是与羔羊向量相似但涉及的内积向量场和它的旋度(18]。因此,订单的螺旋性张量场是一个秩序张量场。二阶张量场,给出了螺旋性张量

样本螺旋性情节底部排图所示2。我们使用跟踪的螺旋性张量量化螺旋性的大小。极值的表明螺旋中心的位置。在附录中,我们提出一个分析这一选择的理由。

4所示。亥姆霍兹分解

亥姆霍兹分解(19向量场的,的话,是 在哪里是一个标量势场的梯度,是一个矢量流场的旋度,是一个向量场谐波。请注意,是无旋的,所以它是非常有用的隔离特性,比如当地的最大值和最小值的差异(源和汇的疫源地)没有curl-based干扰特性。同样的,螺线管型的,用于隔离漩涡的中心。谐波向量场,螺线管型的和无旋的,通常是小的大小。

亥姆霍兹分解已知扩展向量场的微分形式(通常称为霍奇分解(20.),因此反对称张量。

4.1。亥姆霍兹的张量分解字段

我们利用广义亥姆霍兹分解描述麦克格劳等。2]。使用前面定义的运营商,亥姆霍兹第二和四阶张量场的分解 就像在向量场的情况下,我们有和。张量的配方可以任意顺序,但我们现在订单2,3,4分解,因为这些都是实验的基础部分5。第二和四阶张量描述各种各样的物理现象。张量可以表示扩散系数(21,22),梗死后的纤维取向分布函数(ODF) (23),机械应力和应变24),和电磁量(25]。更抽象,张量可能代表协方差、倾斜、峰度,高阶多变量概率分布的时刻以及齐次多项式。三阶张量被用来描述表面双向反射分布函数(双向)面对重新点火应用(26]。

数值计算的目的,我们将会重塑张量字段列向量。对于每一个张量分量,字段的元素是空间坐标的矢量化词法顺序。内的组件命令向量根据词汇索引的顺序。一个输入二阶张量场,,空间维度然后向量化,已元素。

我们将代表离散算子矩阵块的块对应于有限差分算子应用于一个张量分量。对3 d领域,给出了多维差别矩阵 在哪里是一个单位矩阵,是克罗内克积,是一个有限差分矩阵。我们使用中央近似衍生品的差异,在这种情况下是由 这个矩阵的定义可能会根据需要修改对张量场的边界条件。

我们可以近似二阶张量场的旋度作为 在哪里稀疏矩阵块吗 同样,一阶张量场的梯度是由 在哪里稀疏矩阵块吗 虽然我们不需要散度算子计算亥姆霍兹分解,我们将用它来识别临界点。二阶张量场的散度,的话,是 在哪里稀疏矩阵块吗

四阶张量的离散运营商是不给,因为他们包含81行,但他们很容易产生的方程在前面的部分。

执行广义亥姆霍兹分解,我们解决最小二乘问题 在哪里表示弗罗贝尼乌斯张量的标准。

使用这一事实交替,我们实现这个数值求解法方程 使用一个稳定的双共轭梯度(BiCG-stab)方法,直到达到收敛。虽然左手边的矩阵(4.12)是对称的,他们不是正定的,所以不能使用标准的共轭梯度法。没有预调节器用于本文中给出的结果。衍生品的张量分量是在每一个边界约束为零。双共轭梯度方法可以实现基本的矩阵运算,仅需要很少的临时存储。如果数据集的大小不允许矩阵和存储在内存中,矩阵乘法可以实现程序的方式。这是我们的方法用于所有的四阶张量数据处理。我们不显式解,谐波的部分领域,而是我们。由于没有合适的错误,但分解的质量可以通过检查评估的标准定义的分解是无旋的,螺线管型的,谐波(无旋和螺线管型的)。

合成second-tensor字段生成(如附录所述)从5领域每个包含一个类型的临界点(螺旋、鞍座、源、螺旋和涡)。在图所示的张量场的阴谋5通过绘制径向表面生成的吗为单位向量。

广义亥姆霍兹的张量分解的结果字段是第二和第三行图所示5。谐波领域,通常是小幅度的向量场分解,可以大量的张量跟踪,但它非常光滑几乎我们所有的合成领域的不断实验的第四行所示图5。分解的字段,似乎有一种对应的来源正定的张量和漩涡负定张量,反之亦然。例如,源分解为负涡和正源的总和(忽略了谐波部分)。涡是一个积极的漩涡和消极的来源。分解螺旋时,不仅在不同的组件符号,而是他们的用手习惯。右手螺旋分解为右撇子正螺旋和一个左撇子负螺旋。我们量化肯定/否定性张量的利用张量跟踪:负定张量和正定张量。在结果部分中,我们将使用这张脸来区分来源,漩涡,螺旋。

螺旋的分解和鞍也显示供参考,但这些临界点的位置和分类不依赖于亥姆霍兹分解。

在分析亥姆霍兹分解的结果,重要的是要记住,产生的领域并不是唯一的。你可以添加任何恒定的张量场或和减去该字段新领域并获得满足条件的分解。这一事实也让我们产生分解并保持正(或负)的明确性结果字段。例如,我们可以做和积极通过添加一个常数各向同性张量场和减去各向同性张量场。然而,我们后续可视化不依赖于技术。

微分运算符允许我们分类临界点,但分类的亥姆霍兹分解给了我们一个方法任意点在田间使用不同的错误,,由 这个函数可以用于该领域划分为两个区域。当字段是更好的近似,当,它是更好的近似。李等人。6)使用了一个类似的决定标准基于比例分割错误的向量场。的轮廓线分离成相对low-divergence和low-curl区域。

5。结果

广义亥姆霍兹分解是在Matlab中实现,运行在一个系统与英特尔四核QX6700 2.66 GHz CPU和4 GB RAM。该算法应用于合成数据集如下所述。可以分析的拟合质量分解的谐波的大小,和。所有这三个方面应该非常接近零。拟合结果呈现在表1和2时机,结果在图8所示。

我们评估了配件质量通过生成100个随机领域,与张量均匀分布组件的范围(−1,1)。表显示的意思是,方差,和最大的每个拟合参数。随机领域及其误差的区别情节的例子所示的数字6和7。

对于所有数据集,分解遵循预期的亥姆霍兹属性。散度的螺线管型的部分是许多数量级小于输入字段的散度。同样,旋度的无旋场的一部分许多数量级小于输入字段。由此产生的谐波部分有非常小的散度和旋度。同样的观察在考虑很多随机生成的字段。拟合参数的方差很小,这表明分解在大量的字段一致的行为。

很明显从这些表的装配质量广义亥姆霍兹四阶张量分解的字段比二阶张量字段,但仍显示了一个伟大的散度和旋度的减少输入数据。

我们的可视化方法的运行时由时间计算广义亥姆霍兹分解。计时结果呈现在图的摘要8。红线显示了时间来计算一个二阶张量场的分解,形成稀疏矩阵和在内存中并使用BiCG解决正规方程。蓝线显示了相同的数据的计算时间在实现矩阵乘法和程序的方式。四阶张量场,我们不要试图构建矩阵因为它们太大了。

我们分析了源、涡流和螺旋特性生成许多合成的张量场。我们从一个向量场,其中包含一个源(如附录所述)和生成不同的螺旋旋转向量场。当旋转角度源转化为一个漩涡。我们也不同强度的螺旋特性通过添加一个各向同性组件各体素。生成的张量的几个字段显示在图的左边9。这种方法生成的数据反映了这样一个事实:这些特性(来源、螺旋和涡)躺在一个连续体。我们可以量化的位置沿着这连续使用跟踪给定的无旋部分亥姆霍兹分解。图所示中心列9时,跟踪是正螺旋vortexlike,当螺旋更sourcelike和消极。的位置和强度特性可能量化的散度无旋场的一部分,如正确的图列所示9。张量场的螺线管型的部分包含类似的信息。

我们的下一个实验涉及字段包含多个临界点。合成第二和四阶张量字段生成(如附录所述)的来源和漩涡图所示10然后总结他们,。张量字段在所有数据可视化后通过绘制径向表面为单位向量在二阶的情况下,和策划,在第三、四阶的情况下。表面是蓝色是积极的和红色的什么时候是负的。

几个有趣的观察可以从亥姆霍兹分解的结果如图11。临界点在原始图10 ()不清晰可见。总结4字段一起使它很难视觉辨别原领域的临界点,但是在分解领域,他们是相当明显的。

错误的区别功能,第二,四阶张量分解,如图12作为一个等高线图。注意,“热”,彩色区域代表了螺线管型的领域的一部分,和“酷”的颜色代表着无旋场的一部分。较小的轮廓曲线包围的临界点。的轮廓细分领域分为两个区域,甚至把附近的中心领域的临界点。这个函数可以被视为一个简单的分类器的临界点,分离的源/汇节点的漩涡中心。的isocontour不应解释为hyperstreamline,而是螺线管型的和无旋的区域之间的边界。对张量分解的普遍性秩序是反映在这两个函数的相似性。在这两种情况下,误差的不同功能段的无旋场成不相交的区域和螺线管型的行为。

前面的实验涉及由加法并且张量生成的数据字段。相同的实验应用于三阶张量字段没有可比的结果因为方向阴性结果的相消干涉,当字段添加在一起。这种效应导致结果字段临界点的位置明显不同于原来的领域。要解决这个问题,我们设计了一个新的实验,一组合成领域产生的向量场通过反复向量收缩,如附录所述。符号,如图显示的字段13,由此产生的误差差异图所示14。所有的误差差异显示类似的结果虽然的确切位置isocontour(显示为黑色线)随张量。

五张量字段生成的订单2和4的转换和总结如图的字段5。原领域的真实临界点的位置如图所示15。二阶张量场如图16和错误的区别如图17与isocontour被绘制成厚的黑线。数据18和19显示字段的结果可视化使用填充等高线和十字架标记临界点的位置。情节包含轮廓误差不同,但改变了彩色地图来区分这些图像从先前的结果。这些情节也包含极值和填充轮廓跟踪的螺旋性张量和羔羊的散度张量。螺旋性轮廓充满了紫色,和地方maxima用cyan-colored十字架。鞍形轮廓充满了绿色,和当地maxima是用黄色的十字架。螺旋分在绿色但是可能发生内部来源或红色或蓝色的轮廓的漩涡。

一些伪轮廓确实发生,但其中一些是由于边界效应,如图18 (b),一些非常小,如在图(18日)。由于发生一些意想不到的轮廓生成张量场的过程。例如,周围地区多个漩涡像鞍点,这是反映在图上18 (c)。在所有情况下,我们能够正确地识别和分类的临界点都呈现在原始的字段。

还要注意订单2和4之间的相似度结果数据18和19。这表明,在未来的工作中这些相同的微分算子可能适用于张量订单5和更高的领域。

6。结论

微分算子可以提供直观的和有用的结构张量信息字段。具体地说,当地山峰散度和旋度的大小对应于张量场的临界点。我们引入了概括的螺旋性和羔羊向量识别螺旋线和张量领域的鞍点。这些措施的有效性验证分析,证明合成张量的订单2,3,4。我们还提出了一种分段张量法领域以一种有意义的方式通过分离曲线大概分区字段为无旋和螺线管型的区域。

给出的配方我们一般对张量的订单,不需要计算特征值。然而,处理时间为四阶张量场高,和未来的工作将包括利用约束,如对称,以减少问题的计算复杂性。

使用这些操作符,我们开发了skeleton-like可视化提供张量的简洁和直观表示字段。分离曲线和局部极值的微分算子形成一个稀疏的骨架表示领域仍然是全球领域的结构信息。这些方法对于分析和张量可视化领域持有承诺简化这些丰富而复杂的数据集。相比之下,张量的直接可视化领域可能掩盖临界点由于造成视觉上的混乱。

在未来的工作中,我们计划改善性能的亥姆霍兹分解利用CPU或GPU的并行性,并利用当地(而不是全球)优化方法,如移动最小二乘法。

附录

一个。

考虑到向量场,,,,。这些代表一个源,涡、鞍、螺旋,螺旋,分别。张量字段可以被重复收缩构造这些向量场,例如,。我们应用这些5的实验组合基础领域和应用离散数值近似微分算子的数据。在本附录中,我们提出一个封闭羔羊的张量分析(鞍检测)和螺旋性张量(螺旋检测)应用于源时,涡、鞍形、螺旋。由于使用的微分算子线性算子,是旋转不变,翻译和规模,也可以进行类似的分析领域由这五个基本字段的组合。

. 1。检测鞍点

节3,我们描述鞍检测使用一个向量场的散度计算通过减少羔羊的顺序张量的张量场。羔羊的表达式为每个组件向量给出了二阶张量字段在表3。表达式的差异减少羔羊张量第二,第三和四阶领域给出了表4,5,6,分别。注意,在这些表中,常量通过是积极的。对于二阶的情况,这是微不足道的区别其他特性的鞍鞍自各地的散度为零,在所有其他情况下,二次多项式。

订单3和4的字段,散度不再是零,但鞍凹度可以从其他功能分化的差异,显示在图20.。因此,我们定位和分类鞍点的局部极大值羔羊张量差异。

由信用证。检测螺旋

表达式的螺旋性的第二,第三和四阶领域给出了表4,5,6,分别。在所有情况下,区分其他功能的螺旋是微不足道的只是非零的时候是螺旋形的。