Time-Fractional电报方程的解析解

文摘

我们讨论并推导出三个基本问题的解析解所谓的time-fractional电报方程。柯西和信号问题得到解决通过拉普拉斯变换和傅里叶变换的并置变量t和x,分别。适当的结构和消极的繁华的格林函数。有界空间域的边界问题也解决了空间正弦变换和时间拉普拉斯变换,给出的解决方案的形式。

1。介绍

分数微分方程(fd)在近年来吸引了相当大的兴趣由于频繁出现在各个领域和更准确的模型部分衍生品提供的系统考虑。例如,部分衍生品已经被成功运用的频率依赖许多粘弹性材料阻尼行为的模型。他们也用在许多化学加工的建模,在工程数学生物学和许多其他问题。的历史和一个综合治疗fd提供Podlubny [1)和fd回顾一些应用程序由曼拉德(2]。

部分电报方程最近被认为是由许多作者。Cascaval et al。3]讨论了time-fractional电报方程,处理和显示适定性问题研究涉及使用Riemann-Liouville渐近方法。Orsingher和Beghin4]讨论了time-fractional电报方程和电报过程随着时间布朗,表明一些过程由time-fractional电报方程。陈等人。5还讨论了和派生的解决time-fractional电报方程的三种非齐次边界条件,通过分离变量的方法。Orsingher和赵6)认为space-fractional电报方程,获得其基本解的傅里叶变换和对称过程不连续的轨迹,其转换函数满足space-fractional电报方程。Momani [7]讨论了分析和近似解的空间——和time-fractional电报微分方程通过所谓的Adomian分解方法。Camargo et al。8]讨论了所谓的时空一般分数电报方程通过微积分的方法,讨论了解决方案通过拉普拉斯和傅里叶变换的变量和,分别。

在本文中,我们考虑以下time-fractional电报方程(TFTE) 在哪里都是正的常数,,卡普托意义上的分数阶导数的定义: 在哪里是一个连续函数。属性和更多细节卡普托的分数导数也可以找到在1,2]。

TFTE (1。1),我们将考虑三个基本问题,以下三种初始和边界条件,分别。

问题1。TFTE在整个空间域(柯西问题)

问题2。TFTE在半无限域(信号问题) 我们组在(1。1)。

问题3。TFTE bounded-space域 在这里,我们还在(1。1)。

在本文中,我们推导出解析解TFTE之前的三个问题。论文的结构如下。节2,通过使用拉普拉斯和傅里叶变换的方法,问题的基本解1是派生的。节3通过调查明确关系间的格林函数的拉普拉斯变换问题1和2问题的基本解2也是派生。问题的解析解3提出了部分4。一些结论是部分5。

2。TFTE柯西问题

我们首先关注(1。1在整个空间领域,也就是说,问题1将需要考虑,我们称之为所谓的柯西问题。

应用颞拉普拉斯和空间傅里叶变换(1。1使用初始边界条件)和(1。3),我们获得以下非齐次微分方程: 然后我们得出 在哪里 通过傅里叶变换对 我们也有 我们反傅里叶变换(2。2)获得 在哪里是对应的格林函数或基本解决方案获得当吗和分别,它的特点是(2。4)或(2。3)。

表达的格林函数,我们回忆起两双和一对傅里叶变换,拉普拉斯变换 在哪里表示所谓的赖特类型的函数()的顺序,这是定义 曼拉德,例如,(9)表明,是正的其他一般性质可以发现,在一些引用(参见[1,9- - - - - -11例如,)。

表示片面的稳定(或Levy)概率密度可以明确表达的福克斯函数(12]

然后Fourier-Laplace格林函数的变换(2。4在积分形式)可以改写

我们回到时空领域获得的关系

通过相同的技术,我们可以获得的表达:

我们回到时空领域获得的关系

我们可以确保格林函数的非负繁华都是非负的。

3所示。TFTE在半无限域的解决方案(信号问题)

在本节中,我们考虑的问题2在半无限域定义,我们称之为所谓的信号问题。

拉普拉斯变换的应用程序(1。1)和(1。5),和初始条件(1。4),我们得到 与解决方案 在哪里格林函数或信号问题的根本解决方案获得当吗,它的特点是 的拉普拉斯逆变换(3.2)的问题给出了解决方案2 从(2。6),(2。7)和(3.3),我们认识到关系 我们回到时空领域获得的关系 然后我们可以获得一个表示并证明消极繁华。

4所示。解决方案的TFTE Bounded-Space域

在本节中,我们寻求问题的解决方案3,这是定义在一个有限的领域。

以有限的正弦变换(1。1),,应用边界条件(1。7),我们得到 在哪里是一个波数, 有限的正弦变换吗。

应用拉普拉斯变换(4.1使用初始条件)和(1。6),我们得到

我们设置,然后

为(逆拉普拉斯变换4.3),我们回忆起著名的拉普拉斯变换对 在哪里是所谓的两个参数米塔格-莱弗勒函数,定义如下: 我们注意。

然后我们获得对 在哪里。

所以我们逆拉普拉斯和有限的正弦变换(4.3)获得

5。结论

在本文中,我们考虑过time-fractional电报方程。柯西问题的基本解在整个空间域和半无限域中的信号问题是通过使用Fourier-Laplace变换及其反变换。适当的结构和消极的繁华的格林函数。另一方面,解决方案的形式边界问题的一系列bounded-space Sine-Laplace变换域是派生的方法。

确认

这项工作是由NSF(对数学天元基金,不。10726061),由广东省NSF(没有。07300823),研究基金会对中国高等教育的博士项目(新教师,没有。20070561040)。

引用

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