Kirchhoff-Type非线性静态梁的数值算法

文摘

一个边值问题是一束积分微分方程构成。找到一个近似的解决方案利用伽辽金法和雅可比非线性迭代过程。证明一个定理的算法错误。

1。介绍

1.1。问题的陈述

我们认为这个方程 与条件 在这里,和有一些积极的常数,是一个给定的函数,是我们想定义的函数。

1.2。问题的背景

方程(1.1)是静止的问题联系在一起 由Woinowsky-Krieger提出(1)作为一个模型可扩展的铰链梁的挠度。在这里,,,,和分别表示静止的紧张关系,杨氏弹性模量、密度、横截面惯性矩,梁的截面尺寸和长度。非线性项在括号中是古典Euler-Bernoulli的修正方程 在梁的振动引起的张力变化在偏转不考虑。这个非线性项是首次提出的基尔霍夫(2广义达朗贝尔的经典模型。因此(1.3)通常被称为Kirchhoff-type方程动态光束。请注意,Arosio [3调用函数的积分基尔霍夫校正(简单地说,修正),使一个合理的说法修正是固有的物理现象。

工作处理的数学方面(1.3)及其泛化 以及一些修改(1.3)和(1.5)属于球4,5],胆汁[6),亨利克·德·布里托(7),迪基(8),B.-Z。郭郭,w . [9],Kouemou-Patcheu [10],Medeiros [11),德梅内塞斯et al。12],Panizzi [13],佩雷拉[14,给别人。调查的主题有关的问题的解的存在性和唯一性4,5,9- - - - - -14),其渐近行为6- - - - - -8,10),稳定和控制问题9),等等。

梁的静态Kirchhoff-type方程,其一般形式比(1.1),即 被认为是在马15,16),非线性边界条件下的可解性进行了研究。

基尔霍夫方程的近似解的话题,本文关注,被Choo,钟17),Choo et al。18),克拉克et al。19],克里斯蒂和Geveci [20.)动态光束,而马(16和蔡21研究了静态情况下的问题。说更确切的说,有限差分和有限元研究了伽辽金近似解和相应的误差估计推导(17,18]。数值分析的解决方案移动边界进行(梁19]。semidiscrete的稳定性和收敛性的问题,充分离散伽辽金近似处理(20.]。为了解决非线性边界条件的问题,马(16应用差分法和高斯-赛德尔迭代过程。最后,在[21)的离散化问题,尤其是有限差分、有限元及光谱方法,而非线性系统方程的牛顿迭代和其他方法。

在本文中,数值算法构造及其总误差估计(1.1)。允许我们给出公式来计算误差的上界使用问题的初始数据。算法包括金近似减少三次代数方程组问题解决的非线性雅可比迭代过程的手段。我们也使用Cardano公式由于当前迭代近似表示已经找到近似显式形式。

1.3。假设

让每个存在一个积分 ,让不平等 完成与和一些已知的阳性常数。

假设存在一个解决方案的问题(1.1)- (1.2)可表示的一个系列 满足方程组的系数

2。该算法

2.1。伽辽金法

一个近似解的问题(1.1)- (1.2)将寻求一系列有限的形式 的系数由伽辽金方法定义的系统

顺便说一下,这里注意,巨大的文学是可用的(例如,看到22- - - - - -25])的应用伽辽金方法第二和第四阶的微分方程。

2.2。雅可比迭代法

解决非线性系统(2.2)我们使用雅可比迭代法26] 在哪里表示th迭代近似的,。

固定,(2.3)是一个三次方程对(这里是用体重只是为了方便)。使用Cardano公式[27),我们表达通过th迭代近似 在哪里

我们考虑的算法应该被理解为计算由公式(2.4)。有,,我们构造问题的近似解

2.3。算法误差的定义

让我们比较近似解(2.6)th截断的精确解(1.9) 这意味着算法误差被定义为不同 我们写一笔吗 在哪里有限元离散误差和吗雅可比过程误差相等,分别

3所示。该算法误差

我们自己估算的任务标准算法的误差。为此我们必须估计错误的伽辽金法和雅可比的过程。

3.1。伽辽金方法错误

让我们扩大成一个系列。把(2.10),(2.7)和(2.1考虑到我们写 在哪里 由于(3所示。1)我们有 我们将回到(3所示。3)后,而现在我们表示 和重写(1.10)和(2.2)的形式和。因为由于(3所示。4),(3所示。2)和(3所示。6)我们有因此和。减去两个互相平等,(3所示。2)考虑在内,我们获得我们乘和求和。使用(3所示。4),(3所示。5),不平等从(3所示。6),我们看到

Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不平等,因此我们

我们估计不平等(的右边3所示。8)。相乘后(1.10)和加法的关系结束了在一个案例中在另一个,我们来为这两种情况下常见的公式 在哪里,或,。因此

让我们把,,在(3.10),并使用这一事实。我们获得 在哪里

现在假设,,在(3.10),并使用除了这个不平等,我们得到 在哪里

的使用(3.11)和(3.13)(3所示。8给我们带来了不平等 在一起(3所示。3)给

让我们用(3.12)和(3.14)(3.16)和应用条件(1.8),也为级数收敛积分判别法。因此,如果我们获得的有限元离散误差估计 的系数,,和不依赖于和定义

3.2。雅可比过程错误

把(2.10),(2.1)和(2.6)考虑在内,我们代表作为一个系列 在哪里

系列(3.19)暗示了公式 以后使用。

让我们重写(2.4)的形式 并介绍考虑雅可比矩阵 摘要(这是第二个概念与c·雅可比的名字,1804 - 1851)。

建立过程的收敛条件(3.22)我们必须估计矩阵的范数。由于(2.4),(2.9)和(3.22)这个矩阵的主对角线上有0, 至于nondiagonal元素,他们定义的公式 使用的关系 根据(2.5),我们重写(3.25)作为平等 适用于后者平等估计从第一个获得关系(3.26)和(2.5)。也使用这一事实的最大价值函数,,等于。因此,我们获得的不平等 这是实现nondiagonal矩阵的元素吗。

让我们使用向量和矩阵准则,分别和为向量和矩阵。假设任意设置的值,,矩阵的元素满足的条件。为此,通过(3.28),(3.24)和(1.8),它是充分的 然后,根据压缩映射原理,系统的(2.2)有一个独特的解决方案,迭代过程(2.4)收敛,,,速度的符号(3.20)定义的不平等。从这个和(3.21我们获得雅可比过程误差的估计

结论本节中,我们想触及一个辅助的问题。让我们看看条件(3.29)将改变如果我们申请积分判别法的收敛级数和忽视在求和符号。此外,我们限制自己的情况是一个整数数量和使用不平等呢。然后使用积分的公式,,(28),而不是(3.29),我们得到

3.3。算法误差

我们估计错误(2.8)。由(2.9)我们有 因此应用程序(3.17)和(3.30)给出了不平等

得到的结果可以概括如下。

定理3.1。让和一定数量的间隔。假设的条件部分1.3和限制(3.29)或(3.31)的整数是能够实现的。然后由不平等(算法误差估计3.33),系数,,和计算公式(3.18)。