时间最优控制系统的使用CAS小波系数

文摘

本文认为控制问题的解决方案的一个波动方程初边值问题与时间声音的速度。控制问题是确定最优的声音速度函数抑制系统的振动能量通过最小化给定性能指标。能量的最小化性能测量声音的速度是受到系统的运动方程与施加的初始和边界条件。利用模态空间技术,分布参数系统的最优控制简化为双线性定常统括参数系统的最优控制。小波方法评价模式提出了双线性系统的最优控制和轨迹。方法采用有限CAS小波近似模态控制和状态变量。展示数值计算方法的有效性在减少的能量系统。

1。介绍

动态稳定性相关的参数共振结构动力学是一个非常重要的因素。例如,参数共振造成的不稳定性被认为是在1940年著名的塔科马港市桥坍塌的原因(1]。一个合适的控制系数可能对这一现象提供一个有效的保护。

控制系数是一个非常有效的方法在结构由椭圆方程(1]。然而,没有多少信息是了解控制产生的影响系数双曲方程(2,3]。在本文中,我们研究结构动态系统的控制问题由一个双曲型方程的控制是一个与时间有关的系数。

模型被认为是在这个领域的工作是出于近期发展智能材料(4]。这些材料的性能可以通过改变外部字段,如电,磁,或温度;这是被称为相变。

一个结构用这样的材料被认为是控制由瞬态干扰消除结构通过改变材料性能的变形响应。的模态动态结构是由一个标量波动方程,在控制变量是在中速度。基本的双线性最优控制问题成为系统的能量函数的最小化在给定的时间内以最低的声音的速度。使用模态扩展,分布参数系统的最优控制是减少双线性时变集中参数系统的最优控制。参数化方法用于近似可变状态和控制变量的每个组件使用finite-term与未知的小波系数。因此,二次问题转化为数学规划问题与未知系数的最小化为目标,给问题的次优解。未知系数的最优性必要条件推导出的线性代数方程组解决方案是用来获得最优控制声音的速度和最佳的状态函数。

双线性系统是一种非线性系统的最优控制等相关问题更难以解决比线性系统。在文学,许多作者(5- - - - - -9用尽了各种方法来克服困难的解决双线性系统。本文重点将获得最优状态解波动方程由一个使用CAS小波双线性系统利用一些需要这种类型的小波的性质10,11]。相比,女修道院的傅里叶级数等方法或有限元素,中科院与局部属性启用任意小波函数(即使不连续)近似更有效率。证明该方法的有效性,计算结果将显示确认该方法显著减少的能量系统。

2。最优控制问题设置

让是一个开放的、有界单连通的子集维欧氏空间。让表示一个给定的时间间隔随着时间有限的终端。考虑到波动方程,定义: 在哪里是拉普拉斯算符,扰动的位置和时间。波速度被认为是时间的函数。为简单起见,我们满足的边界和初始条件: 在哪里 和。

让容许控制集合 与波动方程(2。1)是修改后的能量在终端时间: 在哪里,,正在考虑常数满足条件和。右边最后一学期(2。5在控制能量)是一个惩罚项。

最优控制问题规定如下:确定最优控制函数 这样 主题(2。1)和(2。2)。

3所示。在模态空间控制问题

我们提出问题作为一个有限的控制问题常微分方程组采用模态空间扩张。让 在哪里标准化的形式与特征值吗。这意味着满足eignvalue-problem 它可以显示形成一个标准正交集合,因此满足 与初始条件 的扩张(3所示。1),性能指标 最优控制问题(2。6)现在修改如下:确定 这样 主题(3所示。3)和(3所示。4)。

4所示。CAS小波的性质

4.1。中科院小波

小波已经被许多科学家和工程师来解决使用几个问题在信号和图像处理等领域,控制问题,随机问题。小波构造的数学函数使用膨胀和翻译的一个函数称为母小波用和必须满足特定的要求。如果膨胀参数和翻译参数是,我们有以下的家庭小波: 限制和离散值,例如,,,和和是正整数,给吗 在哪里形成一个基础。如果和,那么很明显,集形成一组标准正交基。

CAS小波在本文中被定义为 在哪里 中科院的一组标准正交基小波形式。这意味着任何函数定义在可以扩展为 在哪里 和和是向量的

4.2。积分运算矩阵

的集成功能在(4所示。5)是由 在哪里是一个矩阵,称为操作矩阵,是由(12] 在这是一个零矩阵和和是给出的矩阵 集成两个CAS给出函数向量的乘积 产品操作矩阵小波是由中科院 的矩阵在(4所示。7),是一个由(11] 在哪里,是给出的

5。CAS-Wavelets-Based方法

重新定义小波函数在区间,我们让。然后(3所示。3),(3所示。4)和(3所示。5),分别

使用扩张(4所示。5)给 在哪里,,,,是向量定义为(4所示。7)。此外, 用(5。5)(5。1)的收益率 因此

使用(4.12)导致

乘(5。8)集成和使用(4.11)给 或 前提是 的存在。用方程(5。4)和(5。5)方程(3所示。5)转换性能指标成一个函数的因此优化,我们解决

6。数值例子

考虑到波动方程 与初始条件

为了说明,以下参数被认为: 最优控制性能指标的计算并与控制器的性能指标,,,。结果总结在表1。

观察,提出控制是有效的显著降低问题的性能指标。

7所示。结论

波动方程的控制,控制被认为是一个与时间有关的系数。模态空间技术简化了分布参数系统的最优控制的最优控制一个双线性定常统括参数系统。加勒金CAS小波方法被开发来解决这个双线性最优控制问题。的主要方面提出方法驻留在优化问题转化为数学规划问题的最优性必要条件派生的代数方程组。一个测试的例子,其中包括一个变量系数和一维双曲型方程,证明了Galerkin-Wavelet方法求解的有效性由双线性系统的最优控制问题。此外,数值模拟表明,最优控制过程导致了大量的双线性系统的阻尼能量。

这种方法可以延长治疗更一般设置系数和相关的。即波速度函数是一个可控的函数形式(13]。

引用

1. 诉Berdichersky诉Jikov, g . Papanicolcou Eds。均质化卷,50名系列数学应用科学的进步世界科学出版、河流边,新泽西,美国,1999年。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
2. k . a . Lurie“控制线性双曲方程的系数通过spacio-temporal组件”均质化卷,50名系列数学应用科学的进步,页285 - 315,世界科学、河流边,新泽西,美国,1999年。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
3. k . a . Lurie”一些新的动态材料理论的进步,”杂志的弹性,卷72,不。1 - 3、229 - 239年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
4. Hurlebaus和l .高卢,“智能结构动力学、”机械系统和信号处理,20卷,不。2、255 - 281年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. a . Chambolle和f . Santosa控制时间波动方程的系数,”ESAIM:控制、优化和变分法,8卷,第392 - 375页,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
6. h·r·乔希”最优控制对流速度系数的抛物型问题,“非线性分析:理论、方法及应用,卷63,不。5 - 7,1383 - 1390年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. 伦哈特,m .梁,诉Protopopescu”波动方程识别问题,通过最优控制”分布参数和随机系统的控制卷,141联合会会议论文集,页79 - 84,Kluwer学术出版商、波士顿、质量,美国,1999年。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. f . Maestre A Munch和p·佩德雷加尔,“时空设计阻尼波动方程问题,“暹罗在应用数学》杂志上,卷68,不。1,第132 - 109页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
9. m . Tatari和m . Dehghan”标识的抛物型偏微分方程控制功能在指定边界数据,”计算机和数学与应用程序,53卷,不。12日,第1942 - 1933页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. m . Razzaghi和美国Yousefi正弦余弦积分小波运算矩阵及其应用变分法,“国际系统科学杂志》上,33卷,不。10日,805 - 810年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
11. 美国Yousefi和a . Banifatemi”弗雷德霍姆积分方程的数值解通过使用CAS小波,“应用数学和计算,卷183,不。1,第463 - 458页,2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
12. h . Danfu和美国Xufeng积分微分方程的数值解通过使用CAS小波运算矩阵集成,”应用数学和计算,卷194,不。2、460 - 466年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. m .梁“双线性波动方程的最优控制,”在应用科学中数学模型和方法,9卷,不。1,45 - 68年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet

版权

版权©2009 Taher Abualrub等。这是一个开放分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。