一个非标准的动态一致的数值方案应用于肥胖动力学

文摘

肥胖是现代社会最重要的健康问题。在这工作,已研制出的一种非标准的有限差分格式,目的是解决数字肥胖人口动态的数学模型。这个人口模型表示为一个交互系统的耦合非线性常微分方程用于分析、理解和预测肥胖人群的动态。提出离散方案的建设开发,使其与原有的动态一致微分方程模型。自从总人口在这个数学模型是假定常数,该方案已经构造满足守恒定律和积极条件有关。数值比较的竞争标准这里开发方案和欧拉方法的有效性提出非标准数值方案。数值例子表明,非标准差分方法是一个不错的选择来解决数值不同数学模型的基本性质人群需要满足以模拟现实世界。

1。介绍

非线性常微分方程组是用来在数学模型不同的疾病流行病学(见[1])。在这些模型中,一般变量代表的易感人群,感染,恢复,传播疾病向量,等等。由于系统描述了不同类型的群体的进化,在所需的时间是一个解决方案。理想的情况是获得解析解,但在大多数情况下,这是不可能实现的目标。因此,有必要把数值方法获得数值模拟。

传统的计划,如向前欧拉、龙格-库塔和其他数值方法用来解决非线性初始值的问题,有时失败产生振荡,分岔,混沌,虚假的稳定状态(2]。方法用自适应步长,也可能会失败3]。一种方法来避免这类数值不稳定的建设标准有限差分方案。这种技术,由Mickens [4,5),带来了很多应用非标准方法已经应用于各种问题在科学和工程6- - - - - -14]的数字解决方案的解决方案保存属性的连续模型,此外,在某些情况下,可以使用大时间步大小。此外,它已被证明,非标准的有限差分方案,使用创建的规则生成Mickens [4),通常提供准确数值解微分方程。

本文的目的是开发一个非标准的有限差分数值不稳定(NSFD)计划免费为了获得一个数学模型的数值解婴儿肥胖常人口规模呈现在15]。这个人口互动模型表示为一个耦合的非线性常微分方程组展览两个稳定状态:一个微不足道的稳定状态被称为肥胖自由平衡(OFE)和一个非平凡的稳定状态被称为肥胖流行平衡(OEE)。构建的一般哲学NSFD方案是动态获得数值解符合基本的连续模型。这意味着所有的关键,定性属性的解决方案还应满足的微分方程组解的离散方案(16]。

非标准的设计方案并不是一个简单的任务,事实上,许多计划可能为一个模型开发和几个能不能收敛。因此创新参与这项工作是建设NSFD计划,这样连续动态模型的属性是一致的,积极性和保护的人。所有不同的参数值的数值模拟表明,这里开发NSFD方案保存数值稳定在较大区域相比,较小的区域的其他标准的数值方法。然而,理论证明这个事实是不可能由于难以控制的雅可比矩阵的特征值的解析表达式对应的线性化平衡点。评论是很重要的,大多数先前的非标准方法的应用》已经完成一个,两个,三个方程,理论分析更容易。

自从亚种群绝不负,拟议中的NSFD计划旨在满足积极条件。此外,由于人口的数学模型是假定常数,NSFD计划了为了总是完全满足相关的守恒定律(17]。

本文的组织如下。节2的数学模型的进化超重和肥胖人口。的建设提出NSFD数值方案进行部分3。节4,一个基本的分析数学模型的稳定性是发达地区的使用数据瓦伦西亚,西班牙。此外,NSFD数值模式的数值分析。数值模拟的NSFD方案报告也在本节中,为了显示其计算优势。提出了讨论和结论部分5。

2。数学模型

在[15),一个动态肥胖婴儿超重和肥胖人口的演变模型。这个连续模型是基于婴儿人口分割成六个亚种群。在这个模型中,表示正常体重儿童的比例,表示潜在的儿童的比例,即儿童高的习惯不健康食品的消费,但仍正常体重,代表儿童超重的比例,表示肥胖儿童的比例,饮食、和表示超重儿童的比例表示对饮食肥胖儿童的比例。模型是由下列非线性常微分方程组: 模型的定常参数在哪里吗(1) :社会传播率高不健康食品的消费,由于社会环境的压力,(2) :系统或人口流入率成反比的平均时间由系统中的个体,(3) :速度,潜在的个人移动超重的族群,(4) :速率的超重个体成为肥胖个体连续食用不健康食品,(5) :速率超重个体饮食变成了一个正常体重的个体,(6) :速度,一个超重的个人停止或减少不健康食品的消费,也就是说,个人饮食、(7) :速度,一个超重的个人饮食失败,也就是说,个人简历不健康食品的消费很高,(8) :速度一个肥胖个体停止或减少不健康食品的消费,(9) :速度一个肥胖个体饮食失败,(10) :速度一个肥胖个体饮食成为超重个体饮食。在这个模型中,由于人口不断规范化得到统一, 我们定义(2.2与系统(相关)的守恒定律2.1NSFD),必须满足方程的数值方案。

3所示。非标准的有限差分离散化

为了避免动态不一致性等振荡和数值不稳定在这一节中,一个NSFD方案解决数字系统(2.1)是构造。一个数值方案被称为NSFD如果至少满足下列条件之一(8,18]:(1)使用非局部近似(4,5,7];(2)离散化的衍生品不是传统和非负函数 称为分母函数(19]。离散化是基于时间导数的近似的一阶广义提出方案。如果,我们定义一个等价的导数 在哪里是一个非负实值函数中定义(3.1)。注意,上面的定义与传统的导数的定义是一致的。事实上 一个函数的一个例子满足上述条件(见[4,19])。

3.1。NSFD建设方案

在本节中,主要目标是构建一个动态一致的数值离散方案解决系统(2.1)。请注意,所有的模型变量(亚种群)和参数是积极的。因此,为了获得一个动态离散方案一致,我们必须确保生成的离散方案都是积极的,是必要的,以避免scheme-dependent不稳定。此外,由于人口是假定常数,NSFD方案应满足相关的守恒定律(17]。将考虑在这些方面的建设以下数值方案。

让我们表示的,,,,,的近似,,,,,分别为和该计划的时间步长。使用(3.2),一阶数值方案获得的解决方案,,,,,的模型(2.1)是由隐格式如下: 重新安排后,我们得到下面的显式形式: 分母函数选为在哪里 与为了保证积极条件。然而,积极性也可以保证传统如果。因此本文在什么时候,我们使用。

3.1的话。注意,人口必须计算在一个特定的顺序。这个顺序的计算是一个通用的形式特性NSFD方法(4,16,19]。

3.2的话。的公司(2.2)系统(2.1)引入了更多的复杂性,以满足,如果相同的词出现在不止一个微分方程,那么它必须在所有方程离散建模相同的方式(4,17]。

3.2。属性和NSFD方案计算

它可以看到从系统(3.5)- (3.10),我们构建了一个NSFD方案模型(2.1)有以下属性:(1)积极性。如果,,,,,,然后,,,,,,尽管因为这;(2)满足守恒定律,即持续的人口。从系统(3.4一个人, 通过感应,如果它遵循 现在,观察到的亚种群必须计算方案(3.5)- (3.10按照以下顺序):(1)选择值,,,,,,这样;(2)确定从(3.5)使用和;(3)计算从(3.6),,,;(4)获得从(3.7)使用,,,,;(5)找到从(3.8),,,,;(6)得到从(3.9)使用,,;(7)计算从(3.10)的值,和。注意的连续形式的计算是一个通用的特征NSFD计划(17]。此外,它可以看出局部截断误差的主要部分与每个方程关联系统(3.2)是订单,确认构造NSFD方案一阶准确。

4所示。数值结果和动态一致性

在本节中,一些理论的属性超重和肥胖人口动态的数学模型提出了(15)为特定组的参数值进行了研究,为了知道先验正确的行为,需要从相对应的数值解NSFD数值方案(3.4)。此外,本节是用于显示数值的动态一致性和数值的优势开发NSFD方案和其他一些比较知名的数值方法。选择的值的参数集模型(2.1)是用于15,如表所示1在一周的规模。

4.1。数值稳定的数学模型

的线性稳定性分析系统(2.1)的一组特定的参数值是这里开发为了检查数值动态连续模型之间的一致性和NSFD离散方案。更一般的稳定性分析尚未执行自通用参数的解析表达式。然而,几组值的参数用于显示数值前面提到的动态一致性。

众所周知,一个平衡点是一个渐近稳定节点当且仅当雅可比矩阵的特征值的实部相关系统在平衡评估点是负的。

系统(2.1)有两个稳定状态;OFE和OEE。特定的表中给出的参数的值1对于系统(2.1),获得以下平衡分:

雅可比矩阵的特征值评价OFE点和积极的OEE点如表所示2。OFE点是不稳定的,因为特征值是正的。另一方面,OEE的一点是局部渐近稳定的,因为所有的部分系统的雅可比矩阵的特征值(2.1在OEE点)评估是负的。因此,动态一致的数值方案应该复制这连续的数值行为模型。节4.2,这一事实将被检查。

4.2。数值模拟

本节是用于显示数值的动态一致性和数值的优势开发NSFD方案。一个基本的属性应该满足NSFD数值方案(3.5)- (3.10),以便动态一致的是,他们不动点应该是相同的平衡分连续模型(2.1)。平衡的NSFD数值方案(3.4)获得通过设置为零的左手边系统(3.4)。很容易证明NSFD数值方案(3.4)有相同的两个稳定状态;任何一组的连续模型参数值。

数值模拟参数的不同的价值观进行调查的动态一致性发达NSFD数值方案(3.4)。在图1可以看出,NSFD计划(3.4)收敛于相同的OEE的连续模型使用的特定的值参数表所示1。

另外在图2可以看出,尽管初始条件接近OFE点,数值解移动远离这个平衡点,表明数值不稳定的OFE点和NSFD数值方案的一致性与连续模型(2.1)。

4.3。NSFD方案的数值比较

为了研究的影响时间步长NSFD数值方案和动态一致性相关的局部稳定性,谱半径雅可比矩阵的对应NSFD计划的线性化和欧拉计划为不同的时间步长计算系统(2.1)。使用一般的参数值,得到一个一般的雅可比矩阵。然而,功能谱半径之间的关系和时间步长提供了大量的复杂的解析表达式。因此,为了研究数字的动态一致性NSFD计划,特定的一组表中给出的参数的值1(但规模年)用于数值结果。然而,其他组的参数值被用来确认前面的数值结果。

众所周知,收敛的充分必要条件的定点计划是雅可比矩阵的谱半径满足。在表3的谱半径雅可比矩阵的OEE NSFD和欧拉计划的不同时间点的步骤提出了。表3比较收敛的性质与NSFD欧拉计划方案集成系统(使用时2.1)受相同的初始条件和参数值。很明显从表3NSFD方案更具竞争力的数值稳定性。在所有这些模拟,NSFD计划被认为是单调收敛到正确的地方病平衡点。然而,欧拉为时间步长不收敛。龙格-库塔四阶方案改进欧拉计划获得的结果,但对时间步大小无法收敛当特定的表中给出的参数的值1使用。像预期的那样在其他数值模拟与几个不同的参数值,龙格-库塔四阶方法比欧拉计划,自收敛达到较大的时间步长。

表3比较的收敛性质欧拉计划与NSFD方案参数的一组特定的值从一个实际的应用。然而,使用了一些不同的参数值和数值结果表明,这里开发NSFD方案保存数值稳定在较大的地区相比,较小的区域的欧拉数值方案。然而,理论证明这个事实是不可能由于难以控制的雅可比矩阵的特征值的解析表达式对应的线性化平衡点。评论是很重要的,大多数先前的非标准方法的应用》已经完成一个,两个,三个方程,理论分析更容易。在图3,可以看出NSFD方案收敛和欧拉方案不正确但收敛的OEE点振荡时间步长。在图4,描述NSFD方案收敛于正确的OEE点时间步长,但在这种情况下,欧拉无法收敛。最后,图5表明NSFD方案收敛于OEE点只采取积极的价值观。然而,它可以观察到一些例程从MATLAB包产生不正确的负值。

5。讨论和结论

在本文中,我们应用NSFD方法开发一个方案来解决数值肥胖人口动态的数学模型。这种相互作用的种群模型表示成一个耦合的非线性常微分方程组可以用来分析、理解和预测的动态超重和肥胖人群。

这里开发的NSFD方案的优点是,他们保持数值稳定为时间步长较大的地区相比,数值稳定的小区域的近似数值方法获得的其他标准。此外,该方案满足积极条件和保护法律,任何好的方案种群动态的数学模型必须满足。这些非标准方案的建设不是一个简单的任务,事实上,许多计划可能为一个模型开发和几个能不能收敛。然而,动态一致性的原则可以用于大效率限制NSFD计划为了获得高效的设计方案,这项工作已被证明。

NSFD方案这里提出在几个数值模拟进行了分析和测试。所有的数值模拟中执行这项工作表明,NSFD方案收敛于任意时间步长和满足的OEE点积极性所需数量的一个条件。最后,重要的是要备注,发达NSFD计划是易于使用和收敛性是实现更大的时间步大小比欧拉和龙格-库塔四阶方案。NSFD方案也优于MATLAB软件包的例程负值以来人口获得与这些例程。因此,自然界和社会中实际应用,数值需要谨慎,这是很重要的数值方案解决数学模型更合适,因为不真实的结果。

引用

1. f·布劳尔和c . Castillo-Chavez在种群生物学和流行病学数学模型40卷文本在应用数学施普林格,纽约,纽约,美国,2001年。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
2. j·d·兰伯特数值方法对常微分系统:初始值的问题约翰•威利& Sons奇切斯特,英国,1991年。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
3. s . m . Moghadas m·e·亚历山大·b·d·Corbett A和b . Gumel”一个positivity-preserving Mickens-type流行病模型的离散化,“《差分方程和应用程序,9卷,不。11日,第1051 - 1037页,2003年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
4. r·e·Mickens非标准微分方程的有限差分模型,世界科学、河流边,新泽西,美国,1994年。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
5. r·e·Mickens非标准的应用有限差分方案,世界科学、河流边,新泽西,美国,2000年。
6. s . m . Moghadas m·e·亚历山大,b . d . Corbett“非标准数值方案广义Gause-type捕食模型,”自然史D,卷188,不。1 - 2、134 - 151年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
7. r . Anguelov和j . M.-S。Lubuma,“非标准由外地近似有限差分法,”数学和计算机模拟,卷61,不。3 - 6,465 - 475年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. r . Anguelov和j . M.-S。Lubuma”,对数学的贡献的非标准的有限差分方法和应用,“偏微分方程的数值方法,17卷,不。5,518 - 543年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
9. w . Piyawong、e·h·Twizell和a . b . Gumel”先生的无条件收敛的有限差分方案模型,”应用数学和计算,卷146,不。2 - 3、611 - 625年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. A . b . Gumel”竞争化疗模型的数值方法两个艾滋病病毒亚型,”应用数学和计算,卷131,不。2 - 3、329 - 337年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
11. 季米特洛夫d·t·h . v . Kojouharov,“非标准的有限差分方案一般二维自治动力系统”应用数学的信,18卷,不。7,769 - 774年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
12. h·詹森和e·h·Twizell西珥的无条件收敛的离散化模型”,数学和计算机模拟,卷。58岁的没有。2、147 - 158年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
13. k . c . Patidar“使用非标准的有限差分方法,”《差分方程和应用程序,11卷,不。8,735 - 758年,2005页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
14. b . m . Chen-Charpentier季米特洛夫d·t·h . v . Kojouharov,”结合了对常微分方程的非标准数值方法与多项式右手边,“数学和计算机模拟,卷73,不。1 - 4、105 - 113年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
15. l . Jodar f . j . Santonja, g . Gonzalez-Parra”建模动力学地区婴儿肥胖的瓦伦西亚,西班牙,”计算机和数学与应用程序卷,56号3、679 - 689年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
16. r·e·Mickens“动态一致性:基本原则构造微分方程,非标准的有限差分方案”《差分方程和应用程序,11卷,不。7,645 - 653年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
17. r·e·Mickens”人口数值积分模型满足守恒定律:NSFD方法,”生物动力学杂志,1卷,不。4、427 - 436年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
18. j . M.-S。Lubuma和k . c . Patidar”贡献非标准的有限差分方法的理论和应用奇异摄动问题,”非标准的应用有限差分方案,r·e·Mickens Ed,页513 - 560,世界科学,哈肯萨克市,新泽西,美国,2005年。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
19. r·e·Mickens“分母的计算函数微分方程满足非标准的有限差分方案积极条件,”偏微分方程的数值方法,23卷,不。3、672 - 691年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet

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