行波解KdV-Burgers-Kuramoto和非线性薛定谔方程描述伪球形表面

文摘

我们使用一个微分的几何概念系统描述表面恒定负曲率和描述一个家庭KdV-Burgers-Kuramoto伪球形表面的高斯曲率和非线性薛定谔方程常数。行波解上述方程是通过使用sech-tanh方法和吴消元法。

1。介绍

可积系统的理论数学一直是一个活跃的地区在过去的三十年。主题有基本的不同方面与力学和动力学的关系,应用数学,代数结构、理论物理、分析包括光谱理论和几何1- - - - - -3]。大多数微分几何学家有一些知识和经验与有限维可积系统,因为他们出现在sympectic几何(力学)或常微分方程(常微分方程),尽管这一理论是代数几何部分的再形成是不常见4]。

有两个完全独立的方法扩展这些想法的偏微分方程(pde):一个基于代数结构和一个基于光谱理论和分析。这些仍然不太熟悉的几何学家。

许多已知几何方程可积的方面,特别是考虑到大多数专家没有一个不错的“可积”的定义应用于帕金森病,特别是椭圆的例子。除了这些我们提到历史讨论,调和映射的方程(σ模型)从表面分成组5- - - - - -7),谐波tori在对称空间8),常平均曲率的表面在空间形式(9),等距沉浸的空间形式在其他空间形式10,11),和仿射理论领域12)和仿射最小表面(13)都是“椭圆”可积系统的例子。

围绕弦论的思想导致了一系列的深度和不完全理解表象理论之间的联系的某些代数和许多更多的可积系统的经典理论在数学(14- - - - - -16]。最近,超对称量子场理论在一个自然的方式生产模真空的空间或有新的基态几何生成的超对称性。自超对称性推广古典对称产生积分的欧拉方程通过诺特定理,连接与可积性或许并不令人意外17- - - - - -19]。然而,这并不能解释完全可积系统的使用在hyper-Kahler几何20.],Seiberg-Witten理论[21)、特殊卡勒几何和量子上同调(22]。

19世纪几何学家主要是表面的局部理论感兴趣,我们可能认为这些现代建筑的史前史。首先通过理论sine-Gordon方程出现不断高斯曲率的表面,减少波方程可以发现在三重正交系统的规范的工作(23]。

众所周知,一个微分方程(DE)一个实值函数,或者一个微分系统向量值函数,据说描述伪球形表面(pss)如果它存在的充分必要条件是光滑的实际功能,,唯一的依赖和有限数量的衍生品,这样1 - 满足的结构方程常数高斯曲率的表面 一个实值函数的德动可积的如果是一个单参数的可积性条件家庭的线性问题[24- - - - - -30.] 在这和是价值的功能,和(及其衍生物)到一个有限的秩序。因此,一个方程是动可积的如果它相当于零曲率条件 在哪里为每一个(光谱参数或特征值)。此外,据说德将严格动可积的如果是动可积和对角矩阵的条目上面介绍了和。

本文的主要目的是解释当地的微分几何表面之间的关系和演化非线性演化方程的可积性(有nle)。新的行波解KdV-Burgers-Kuramoto (KBK)和非线性薛定谔(NLS)方程描述了pss。

本文组织如下。KBK之间的对应关系,NLS方程建立了pss和他们的家庭2。节3,一个新的精确孤子解的KBK方程通过使用sech-tanh方法和吴消元法。节4,我们构造一个新的行波解上面的NLS方程通过使用相同的方法。最后,我们给出一些结论部分5。

2。描述pss的KBK和NLS方程

介绍了逆散射方法(ISM)首次Korteweg-de弗里斯方程(KdVE) [18]。后是延长Zakharov Shabat [31日)一个NLS方程的散射问题,随后由Ablowitz广义Kaup, Newell和Segur (AKNS) [32包括各种有nle。卡特et al。28]广义Konno的结果和Wadati [33)通过考虑作为一个三分量的矢量和作为一个无踪迹的矩阵1 -。上面的定义DE相当于说的德可积性条件的问题吗 在哪里是一个向量,矩阵(,)是无踪迹的 并由one-paramter家庭的1 -独立变量因变量及其衍生物。卡特et al。28]介绍了逆散射问题(ISP): 相关的可积性条件(1.3)或(2。1),由cross-differentiation获得,然后以矩阵形式 或组件形式

我们会限制自己的情况。更准确地说,我们说的德描述了一种pss如果它是一个存在的充分必要条件的功能,,根据及其衍生物,,这样的1 - (1.1)满足结构方程(1.2pss)。这个定义可以看出,每个非平凡解德,一个指标上定义的高斯曲率。

大家都知道,在很长一段时间内,sine-Gordon (SG)方程描述了pss。在本文中,我们扩展相同的分析包括KBK和NLS方程。

例子:让是一个可微的表面,通过坐标参数化,。(一)KBK方程
考虑 的功能和满足的方程 然后是一种pss当且仅当吗满足KBK方程 在哪里,,是常数。

(b) NLS方程
考虑 然后是一种pss当且仅当吗满足NLS方程

3所示。KBK方程行波解

现在我们将找到行波的解决方案KBK方程(2。8)。KBK方程的解决方案拥有它们的实际应用;这就是为什么如此多的方法,如Wiss-Tabor-Carnevale转换方法(34],tanh-function方法[35),截断展开法(36),等等,已经应用于获得KBK方程的解决方案。在本节中,我们获得一个新的行波解类通过使用sech-tanh KBK方程方法(37,38)和吴消元法(39]。算法的主要思想如下。假设有一个PDE的形式 在哪里是一个多项式。通过假设行波解的形式 在哪里,常数参数确定,是一个任意常数,从两个方程(3所示。1)和(3所示。2我们获得的颂歌 在哪里。根据sech-tanh方法(37- - - - - -41),我们假设(3所示。3)正式行波具有以下解决方案: 在哪里和是常数待定。然后我们进行如下。(我)将最高位非线性项和线性偏导数(最高位3所示。3)收益的价值。(2)用(3所示。4)(3所示。3),我们获得一个多项式方程涉及,为(与是正整数)。(3)设置的常数项系数,获得的方程(2)为零,我们获得一个代数方程组对未知的数字,,,,为。(iv)使用Mathematica和吴邦国委员长的消除方法,代数方程(3)能够解决。这些收益率孤波解系统(3所示。3)。我们的话,上述方法产量包括方面的解决方案或,以及它们的组合。有不同形式的那些通过其他方法,比如齐次平衡法(42,43]。我们假设的形式正式解决方案 在哪里,是常量参数确定后,是一个任意常数。用(3所示。5)和(2。8),我们获得的颂歌

(我)我们假设(3所示。6)有以下正式解决方案:

(2)从(3所示。6)和(3所示。7),我们得到

(3)设定的系数为和为零,我们有以下的超定的方程的未知数,,,,,,,,。

(iv)我们现在解决上述方程组(3所示。8)通过使用Mathematica和吴消元法,并得到以下解决方案: 用(3所示。9)(3所示。7),我们得到

4所示。NLS方程的行波解

现在我们将找到行波的解决方案NLS方程(2.10)。方程(2.10)可以用真正的形式写的如下: 我们假设的形式正式解决方案 在哪里,是常量参数确定后,是一个任意常数。用(4.2)(4.1),我们得到两个常微分方程:

(我)将最高位非线性项和线性偏导数(最高位4.3)的收益率。然后(4.3)有以下正式解决方案:

(2)借助数学软件,用(4.4)(4.3),然后我们获得一个多项式方程涉及为,

(3)设置的常数项系数为,,获得的方程(2)为零,我们获得一个代数方程组对未知的数字,,,,,,。

(iv)现在我们解决以上组(4.5)通过使用Mathematica和吴消元法,并得到以下解决方案: 用(4.6)(4.4),我们得到 然后NLS方程的解决方案(2.10)的形式

5。结论

我们发现KBK之间的关系,pss的NLS方程和他们的家庭。数学的帮助下,许多旅行解决方案KBK和NLS方程的伪球形类通过使用sech-tanh方法和吴消元法。我们获得了一些新的孤波解和周期解。

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